Subgroups — #6520220

Order 512.

3404 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 434 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3205	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#3100	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#35166	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#2541	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#28458	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#28397	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#28301	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#25721	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#20533	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#537	—	2	2	no	—
11	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×#127	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×#121	—	2	2	no	—
15	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#3205	—	2	16	no	—
17	C₂×#493	C₂²	1	4	yes	complemented
18	C₂×#493	C₂²	1	8	yes	complemented
19	C₂×#486	C₂²	1	4	yes	complemented
20	#3100	—	2	16	no	—
21	C₂×#480	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×#474	C₂²	1	4	yes	complemented
23	C₂×#459	C₂²	1	4	yes	complemented
24	C₂×#459	C₂²	1	8	yes	complemented
25	C₂×#447	C₂²	1	8	yes	—
26	C₂×#447	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	8	yes	complemented
28	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
29	#2856	C₂²	1	4	yes	—
30	#2656	—	2	2	no	—
31	#2542	C₂²	1	4	yes	complemented
32	#2541	—	2	4	no	—
33	#2541	C₂²	1	8	yes	—
34	#2541	C₂²	1	4	yes	complemented
35	#2540	—	2	4	no	—
36	C₂×#392	—	2	2	no	—
37	C₂×#390	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#2093	C₂²	1	8	yes	complemented
40	#2011	C₂²	1	8	yes	complemented
41	#2011	C₂²	1	16	yes	complemented
42	#1970	C₂²	1	16	yes	complemented
43	#1957	C₂²	1	8	yes	complemented
44	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	8	yes	complemented
45	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
46	C₂²×#41	—	2	2	no	—
47	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
48	C₂³×D₄	—	2	4	no	—
49	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
50	C₂³×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂⁴×C₄	—	2	1	no	—
53	C₂²×D₈	C₂³	1	8	yes	—
54	C₂²×D₈	C₂³	1	16	yes	—
55	#537	—	4	16	no	—
56	#532	—	2	8	no	—
57	#532	—	2	8	no	—
58	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂×#127	—	2	8	no	—
60	C₂×#127	—	2	4	no	—
61	C₂×#127	—	2	2	no	—
62	C₂×#127	—	4	8	no	—
63	C₂×#127	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×#127	C₂³	1	8	yes	—
66	C₂×#127	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂×#124	—	2	2	no	—
68	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
69	C₂×#121	—	2	8	no	—
70	C₂×#121	—	2	2	no	—
71	C₂×#121	—	2	16	no	—
72	C₂×#121	—	2	8	no	—
73	C₂×#121	—	4	16	no	—
74	C₂×#121	C₂³	1	4	yes	—
75	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
76	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
77	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
78	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
79	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
80	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
81	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
83	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
84	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	#493	—	2	16	no	—
87	#493	—	4	16	no	—
88	#486	—	2	16	no	—
89	#480	—	2	16	no	—
90	#474	—	2	16	no	—
91	#459	—	2	16	no	—
92	#459	—	2	32	no	—
93	#447	—	2	16	no	—
94	#447	—	2	32	no	—
95	C₄×D₈	—	2	32	no	—
96	#431	D₄	1	16	yes	complemented
97	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	—
98	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
99	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
100	C₂×#102	C₂³	1	16	yes	—
101	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
102	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
103	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	8	yes	—
104	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
105	#399	—	2	8	no	—
106	#392	—	2	16	no	—
107	#392	—	2	8	no	—
108	#390	—	2	8	no	—
109	#390	—	2	4	no	—
110	#390	C₂³	1	8	yes	—
111	#390	C₂³	1	8	yes	—
112	#384	C₂³	1	4	yes	—
113	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
114	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
115	C₂×#95	D₄	1	2	yes	—
116	#336	C₂³	1	8	yes	—
117	C₂⁵	—	2	1	no	—
118	C₂⁵	—	2	2	no	—
119	C₂×#41	—	4	8	no	—
120	C₂×#41	—	4	16	no	—
121	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
122	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
123	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
124	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
125	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
126	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
127	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
128	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
129	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
130	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
131	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
132	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
133	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
134	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
135	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
136	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
137	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
138	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
139	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
140	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
141	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
142	C₂²×D₄	—	8	8	no	—
143	C₂²×D₄	—	8	4	no	—
144	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
145	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
146	C₂²×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
147	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
148	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
149	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
150	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
151	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
152	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
153	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
154	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
156	C₂×D₈	—	2	16	no	—
157	C₂×D₈	—	2	16	no	—
158	C₂×D₈	—	2	32	no	—
159	C₂×D₈	—	4	8	no	—
160	C₂×D₈	—	4	16	no	—
161	C₂×D₈	—	4	16	no	—
162	C₂²×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
163	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
164	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
165	#127	—	2	16	no	—
166	#127	—	2	8	no	—
167	#127	—	2	8	no	—
168	#127	—	2	4	no	—
169	#127	—	2	4	no	—
170	#127	—	4	8	no	—
171	#127	—	4	8	no	—
172	#127	—	4	16	no	—
173	#127	—	4	8	no	—
174	#124	—	4	8	no	—
175	C₂²⋊Q₈	—	4	32	no	—
176	#121	—	2	8	no	—
177	#121	—	2	8	no	—
178	#121	—	4	8	no	—
179	#121	—	4	32	no	—
180	#121	—	4	64	no	—
181	#121	—	4	32	no	—
182	C₄×D₄	—	2	8	no	—
183	C₄×D₄	—	2	8	no	—
184	C₄×D₄	—	2	8	no	—
185	C₄×D₄	—	2	8	no	—
186	C₄×D₄	—	4	8	no	—
187	C₄×D₄	—	4	8	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	D₈	1	16	yes	complemented
193	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
194	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
195	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
196	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
197	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
198	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
199	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
200	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
201	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
202	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
203	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
204	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
205	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
206	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
207	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
208	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
209	#107	—	2	16	no	—
210	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	16	yes	complemented
211	#102	—	2	16	no	—
212	#102	—	2	16	no	—
213	#102	—	2	32	no	—
214	C₂²⋊C₈	C₂×D₄	1	16	yes	—
215	C₄×C₈	—	4	8	no	—
216	C₄×C₈	C₂×D₄	1	16	yes	complemented
217	#95	C₂×D₄	1	8	yes	—
218	C₂⁴	—	2	4	no	—
219	C₂⁴	—	2	2	no	—
220	C₂⁴	—	2	4	no	—
221	C₂⁴	—	2	4	no	—
222	C₂⁴	—	4	2	no	—
223	C₂⁴	—	4	4	no	—
224	C₂⁴	—	4	4	no	—
225	C₂⁴	—	4	4	no	—
226	C₂⁴	—	4	8	no	—
227	C₂⁴	—	4	2	no	—
228	C₂⁴	—	4	4	no	—
229	C₂⁴	—	4	4	no	—
230	C₂⁴	—	4	8	no	—
231	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
232	#41	—	8	32	no	—
233	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
234	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
235	C₂×D₄	—	2	4	no	—
236	C₂×D₄	—	2	4	no	—
237	C₂×D₄	—	2	4	no	—
238	C₂×D₄	—	2	8	no	—
239	C₂×D₄	—	2	4	no	—
240	C₂×D₄	—	2	2	no	—
241	C₂×D₄	—	2	8	no	—
242	C₂×D₄	—	2	8	no	—
243	C₂×D₄	—	2	4	no	—
244	C₂×D₄	—	2	8	no	—
245	C₂×D₄	—	2	8	no	—
246	C₂×D₄	—	4	16	no	—
247	C₂×D₄	—	4	2	no	—
248	C₂×D₄	—	4	32	no	—
249	C₂×D₄	—	4	4	no	—
250	C₂×D₄	—	4	4	no	—
251	C₂×D₄	—	4	8	no	—
252	C₂×D₄	—	4	16	no	—
253	C₂×D₄	—	4	2	no	—
254	C₂×D₄	—	4	4	no	—
255	C₂×D₄	—	4	4	no	—
256	C₂×D₄	—	4	8	no	—
257	C₂×D₄	—	4	8	no	—
258	C₂×D₄	—	4	4	no	—
259	C₂×D₄	—	4	32	no	—
260	C₂×D₄	—	4	16	no	—
261	C₂×D₄	—	4	8	no	—
262	C₂×D₄	—	4	16	no	—
263	C₂×D₄	—	8	16	no	—
264	C₂×D₄	—	8	4	no	—
265	C₂×D₄	—	8	16	no	—
266	C₂×D₄	—	8	8	no	—
267	C₂×D₄	—	8	8	no	—
268	C₂×D₄	—	8	8	no	—
269	C₂×D₄	—	8	64	no	—
270	C₂×D₄	—	8	16	no	—
271	C₂×D₄	—	8	16	no	—
272	C₂×D₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
273	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
275	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
277	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
278	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
279	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
280	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
281	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
282	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
283	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
284	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
285	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
286	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
287	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
288	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
289	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	16	yes	—
290	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	8	yes	—
291	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
292	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
293	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
294	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
295	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
296	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
297	D₈	—	4	32	no	—
298	D₈	—	8	32	no	—
299	C₂×C₈	—	2	8	no	—
300	C₂×C₈	—	2	8	no	—
301	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	16	yes	—
302	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
303	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
304	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
305	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
306	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
307	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
308	C₄⋊C₄	C₂×D₈	1	32	yes	—
309	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
310	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
312	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
313	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
314	C₄²	—	2	8	no	—
315	C₄²	—	4	4	no	—
316	C₄²	#127	1	8	yes	—
317	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
318	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
319	C₂³	—	2	2	no	—
320	C₂³	—	2	1	no	—
321	C₂³	—	2	1	no	—
322	C₂³	—	2	4	no	—
323	C₂³	—	4	8	no	—
324	C₂³	—	4	16	no	—
325	C₂³	—	4	4	no	—
326	C₂³	—	4	2	no	—
327	C₂³	—	4	2	no	—
328	C₂³	—	4	4	no	—
329	C₂³	—	4	8	no	—
330	C₂³	—	4	8	no	—
331	C₂³	—	4	4	no	—
332	C₂³	—	4	4	no	—
333	C₂³	—	4	4	no	—
334	C₂³	—	4	4	no	—
335	C₂³	—	4	4	no	—
336	C₂³	—	4	4	no	—
337	C₂³	—	4	8	no	—
338	C₂³	—	4	8	no	—
339	C₂³	—	8	8	no	—
340	C₂³	—	8	4	no	—
341	C₂³	—	8	16	no	—
342	C₂³	—	8	8	no	—
343	C₂³	—	8	8	no	—
344	C₂³	—	8	16	no	—
345	C₂³	—	8	4	no	—
346	C₂³	—	8	8	no	—
347	C₂³	C₂×#127	1	2	yes	—
348	C₂³	C₂²×D₈	1	4	yes	—
349	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
350	Q₈	—	8	8	no	—
351	D₄	—	2	8	no	—
352	D₄	—	4	8	no	—
353	D₄	—	4	4	no	—
354	D₄	—	4	8	no	—
355	D₄	—	4	8	no	—
356	D₄	—	4	16	no	—
357	D₄	—	8	64	no	—
358	D₄	—	8	8	no	—
359	D₄	—	8	8	no	—
360	D₄	—	8	16	no	—
361	D₄	—	8	16	no	—
362	D₄	—	8	16	no	—
363	D₄	—	8	8	no	—
364	D₄	—	16	16	no	—
365	C₂×C₄	—	2	8	no	—
366	C₂×C₄	—	2	4	no	—
367	C₂×C₄	—	2	8	no	—
368	C₂×C₄	—	2	1	no	—
369	C₂×C₄	—	2	1	no	—
370	C₂×C₄	—	2	8	no	—
371	C₂×C₄	—	4	4	no	—
372	C₂×C₄	—	4	16	no	—
373	C₂×C₄	—	4	2	no	—
374	C₂×C₄	—	4	4	no	—
375	C₂×C₄	—	4	4	no	—
376	C₂×C₄	—	4	8	no	—
377	C₂×C₄	—	8	4	no	—
378	C₂×C₄	—	8	16	no	—
379	C₂×C₄	—	8	16	no	—
380	C₂×C₄	#493	1	16	yes	complemented
381	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
382	C₂×C₄	C₂×#127	1	4	yes	—
383	C₂×C₄	C₂×#127	1	4	yes	—
384	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	16	yes	—
385	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	8	yes	—
386	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
387	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
388	C₂×C₄	#585	1	2	yes	—
389	C₈	—	2	16	no	—
390	C₂²	—	2	4	no	—
391	C₂²	—	2	4	no	—
392	C₂²	—	2	2	no	—
393	C₂²	—	2	2	no	—
394	C₂²	—	4	8	no	—
395	C₂²	—	4	4	no	—
396	C₂²	—	8	16	no	—
397	C₂²	—	8	4	no	—
398	C₂²	—	8	2	no	—
399	C₂²	—	8	2	no	—
400	C₂²	—	8	8	no	—
401	C₂²	—	8	8	no	—
402	C₂²	—	8	8	no	—
403	C₂²	—	8	8	no	—
404	C₂²	—	8	4	no	—
405	C₂²	—	8	4	no	—
406	C₂²	—	8	4	no	—
407	C₂²	—	8	4	no	—
408	C₂²	—	8	4	no	—
409	C₂²	—	8	4	no	—
410	C₂²	—	16	16	no	—
411	C₂²	C₂×#493	1	4	yes	—
412	C₂²	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
413	C₂²	#3484	1	1	yes	characteristic
414	C₂²	#3487	1	1	yes	characteristic
415	C₂²	C₂³×D₈	1	2	yes	—
416	C₂²	#3585	1	2	yes	—
417	C₄	—	2	16	no	—
418	C₄	—	2	4	no	—
419	C₄	—	2	2	no	—
420	C₄	—	8	2	no	—
421	C₄	—	8	4	no	—
422	C₄	C₂×#493	1	8	yes	—
423	C₄	#3488	1	4	yes	—
424	C₂	—	2	4	no	—
425	C₂	—	8	4	no	—
426	C₂	—	16	4	no	—
427	C₂	—	16	4	no	—
428	C₂	#35565	1	1	yes	characteristic
429	C₂	C₂²×#493	1	1	yes	characteristic
430	C₂	#60644	1	1	yes	characteristic
431	C₂	#61559	1	2	yes	—
432	C₂	#61880	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×C₄⋊C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3205	C₂	semidirect
2. C₂×#3100	C₂	semidirect
3. #35166	C₂	semidirect
4. C₂×#2541	C₂	semidirect
5. #28458	C₂	semidirect
6. #28397	C₂	semidirect
7. #28301	C₂	semidirect
8. #25721	C₂	semidirect
9. #20533	C₂	semidirect
17. C₂×#493	C₂²	semidirect
18. C₂×#493	C₂²	semidirect
19. C₂×#486	C₂²	semidirect
22. C₂×#474	C₂²	semidirect
23. C₂×#459	C₂²	semidirect
24. C₂×#459	C₂²	semidirect
27. C₂×C₄×D₈	C₂²	semidirect
31. #2542	C₂²	semidirect
34. #2541	C₂²	semidirect
39. #2093	C₂²	semidirect
40. #2011	C₂²	semidirect
41. #2011	C₂²	semidirect
42. #1970	C₂²	semidirect
43. #1957	C₂²	semidirect
44. C₈×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
96. #431	D₄	semidirect
192. C₂×C₄⋊C₄	D₈	semidirect
210. C₄⋊C₈	C₂×D₄	semidirect
216. C₄×C₈	C₂×D₄	semidirect
380. C₂×C₄	#493	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3205	2
C₂×#3100	2
#35166	2
C₂×#2541	2
#28458	2
#28397	2
#28301	2
#25721	2
#20533	2