Subgroups — #6524815

Order 512.

4400 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 429 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3496	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#3226	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#2547	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#25885	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#25703	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#24002	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#21786	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#21386	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂²×H(5,𝔽₂)	—	2	1	no	—
10	#3496	—	2	16	no	—
11	C₂×#547	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂×#546	—	2	4	no	—
13	C₂×D₄²	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×#537	—	2	1	no	—
15	C₂×#534	—	2	2	no	—
16	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
18	C₂²×#124	—	2	1	no	—
19	C₂²×#121	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#3226	—	2	16	no	—
22	C₂×#500	C₂²	1	4	yes	complemented
23	C₂×#486	C₂²	1	4	yes	complemented
24	C₂×#480	C₂²	1	8	yes	complemented
25	C₂×#474	C₂²	1	8	yes	complemented
26	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	complemented
27	#2547	—	2	4	no	—
28	#2547	C₂²	1	8	yes	complemented
29	C₂×#397	—	2	2	no	—
30	C₂×#391	—	2	1	no	—
31	C₂×#380	C₂²	1	4	yes	complemented
32	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
33	#2033	C₂²	1	32	yes	complemented
34	#1988	C₂²	1	4	yes	complemented
35	#1982	C₂²	1	4	yes	complemented
36	#1954	C₂²	1	8	yes	complemented
37	#1874	C₂²	1	8	yes	complemented
38	#1852	C₂²	1	16	yes	complemented
39	#1786	C₂²	1	16	yes	complemented
40	#1779	C₂²	1	4	yes	complemented
41	C₄×#102	C₂²	1	8	yes	complemented
42	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	16	no	—
43	C₂×H(5,𝔽₂)	—	4	8	no	—
44	C₂×H(5,𝔽₂)	—	4	8	no	—
45	C₂²×#41	—	2	4	no	—
46	C₂²×#41	—	2	2	no	—
47	C₂³×Q₈	—	2	1	no	—
48	C₂³×D₄	—	2	4	no	—
49	C₂³×D₄	—	2	4	no	—
50	C₂³×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂³×D₄	C₂³	1	4	yes	—
52	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
53	#547	—	2	16	no	—
54	#547	—	2	16	no	—
55	#546	—	2	64	no	—
56	D₄²	—	2	16	no	—
57	D₄²	—	2	16	no	—
58	#537	—	2	16	no	—
59	#534	—	2	32	no	—
60	#532	—	2	8	no	—
61	#532	D₄	1	16	yes	—
62	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
64	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
65	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×#124	—	2	8	no	—
68	C₂×#124	—	2	2	no	—
69	C₂×#124	—	4	8	no	—
70	C₂×#123	—	2	8	no	—
71	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
72	C₂×#121	—	2	4	no	—
73	C₂×#121	—	2	4	no	—
74	C₂×#121	—	2	2	no	—
75	C₂×#121	—	2	32	no	—
76	C₂×#121	—	2	4	no	—
77	C₂×#121	C₂³	1	8	yes	—
78	C₂×#121	C₂³	1	4	yes	—
79	C₂×#120	—	2	8	no	—
80	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
81	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
82	C₂×C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
83	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
84	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
85	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
86	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
89	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
91	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
92	C₂²×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
93	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
94	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	#500	—	2	16	no	—
96	#486	—	2	16	no	—
97	#480	—	2	32	no	—
98	#474	—	2	32	no	—
99	#431	—	2	8	no	—
100	C₂×#107	C₂³	1	16	yes	—
101	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
102	C₂×#102	C₂³	1	16	yes	—
103	C₂×#102	C₂³	1	16	yes	—
104	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
105	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	16	yes	—
106	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
107	#397	—	2	16	no	—
108	#391	—	2	8	no	—
109	#380	—	2	8	no	—
110	#380	C₂³	1	16	yes	—
111	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
112	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
113	C₂×#95	—	2	1	no	—
114	C₂×#95	—	2	4	no	—
115	#340	C₂³	1	16	yes	—
116	C₂⁵	—	2	4	no	—
117	C₂⁵	C₂×D₄	1	2	yes	—
118	H(5,𝔽₂)	—	4	128	no	—
119	C₂×#41	—	2	32	no	—
120	C₂×#41	—	2	16	no	—
121	C₂×#41	—	4	16	no	—
122	C₂×#41	—	4	16	no	—
123	C₂×#41	—	4	8	no	—
124	C₂×#41	—	4	8	no	—
125	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
126	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
127	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
128	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
129	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
130	C₂²×D₄	—	2	32	no	—
131	C₂²×D₄	—	2	32	no	—
132	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
133	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
134	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
135	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
136	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
137	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
138	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
139	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
140	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
141	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
142	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
143	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
144	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
145	C₂²×D₄	D₈	1	8	yes	—
146	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
147	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
148	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
149	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
150	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
151	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
152	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
153	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
154	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
155	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
156	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
159	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
160	C₂²×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
161	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
162	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
163	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
164	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
165	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
166	#127	—	2	4	no	—
167	#127	C₂×D₄	1	8	yes	—
168	#124	—	2	16	no	—
169	#124	—	4	32	no	—
170	#123	—	2	64	no	—
171	C₂²⋊Q₈	—	2	32	no	—
172	#121	—	2	32	no	—
173	#121	—	2	32	no	—
174	#121	—	2	32	no	—
175	#121	—	2	16	no	—
176	#121	—	2	16	no	—
177	#121	—	2	8	no	—
178	#121	—	2	16	no	—
179	#121	C₂×D₄	1	16	yes	—
180	#120	—	2	64	no	—
181	C₄×D₄	—	2	16	no	—
182	C₄×D₄	—	2	16	no	—
183	C₄×D₄	—	2	8	no	—
184	C₄×D₄	—	2	8	no	—
185	C₄×D₄	—	2	8	no	—
186	C₄×D₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
196	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
197	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
198	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
199	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
200	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
201	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
202	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
203	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
204	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
205	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
206	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
207	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
208	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
209	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
210	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
211	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
212	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
213	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
214	#107	—	2	32	no	—
215	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
216	#102	—	2	32	no	—
217	#102	—	4	16	no	—
218	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
219	C₂²⋊C₈	—	4	16	no	—
220	C₄×C₈	—	2	8	no	—
221	#95	—	2	4	no	—
222	#95	—	2	16	no	—
223	C₂⁴	—	2	4	no	—
224	C₂⁴	—	2	4	no	—
225	C₂⁴	—	2	16	no	—
226	C₂⁴	—	2	4	no	—
227	C₂⁴	—	4	4	no	—
228	C₂⁴	—	4	4	no	—
229	C₂⁴	—	4	8	no	—
230	C₂⁴	—	4	8	no	—
231	C₂⁴	—	8	8	no	—
232	C₂⁴	—	8	8	no	—
233	C₂⁴	C₂×D₈	1	8	yes	—
234	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
235	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
236	#41	—	4	128	no	—
237	#41	—	4	64	no	—
238	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
239	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
240	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
241	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
242	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
243	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
244	C₂×Q₈	—	8	16	no	—
245	C₂×D₄	—	2	32	no	—
246	C₂×D₄	—	2	16	no	—
247	C₂×D₄	—	2	16	no	—
248	C₂×D₄	—	2	8	no	—
249	C₂×D₄	—	2	8	no	—
250	C₂×D₄	—	2	8	no	—
251	C₂×D₄	—	2	8	no	—
252	C₂×D₄	—	2	4	no	—
253	C₂×D₄	—	2	16	no	—
254	C₂×D₄	—	2	32	no	—
255	C₂×D₄	—	4	128	no	—
256	C₂×D₄	—	4	16	no	—
257	C₂×D₄	—	4	128	no	—
258	C₂×D₄	—	4	16	no	—
259	C₂×D₄	—	4	8	no	—
260	C₂×D₄	—	4	8	no	—
261	C₂×D₄	—	4	4	no	—
262	C₂×D₄	—	4	4	no	—
263	C₂×D₄	—	8	4	no	—
264	C₂×D₄	—	8	8	no	—
265	C₂×D₄	—	8	32	no	—
266	C₂×D₄	C₂×D₈	1	16	yes	—
267	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
268	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
269	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
270	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
271	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
272	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
273	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
274	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
275	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
276	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
277	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
278	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
279	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
280	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
281	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
282	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
283	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
284	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
285	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
286	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
287	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
288	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
289	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
290	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
291	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
292	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
293	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
294	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
295	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
296	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
297	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
298	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
299	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
300	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
301	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
302	C₂×C₈	—	2	8	no	—
303	C₂×C₈	—	2	16	no	—
304	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
305	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
306	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
307	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
308	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
309	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
310	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
311	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
312	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
313	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
314	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
315	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
316	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
317	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
318	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
319	C₄²	—	4	8	no	—
320	C₄²	#120	1	8	yes	—
321	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
322	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
323	C₂³	—	2	2	no	—
324	C₂³	—	2	2	no	—
325	C₂³	—	2	8	no	—
326	C₂³	—	2	4	no	—
327	C₂³	—	2	8	no	—
328	C₂³	—	2	4	no	—
329	C₂³	—	2	16	no	—
330	C₂³	—	2	8	no	—
331	C₂³	—	4	16	no	—
332	C₂³	—	4	32	no	—
333	C₂³	—	4	8	no	—
334	C₂³	—	4	8	no	—
335	C₂³	—	4	4	no	—
336	C₂³	—	4	4	no	—
337	C₂³	—	8	4	no	—
338	C₂³	—	8	8	no	—
339	C₂³	—	8	4	no	—
340	C₂³	—	8	16	no	—
341	C₂³	—	8	16	no	—
342	C₂³	—	16	16	no	—
343	C₂³	—	16	16	no	—
344	C₂³	C₂×#120	1	2	yes	—
345	C₂³	C₂²×D₈	1	8	yes	—
346	C₂³	C₂²×D₈	1	2	yes	—
347	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
348	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
349	Q₈	—	4	16	no	—
350	Q₈	—	8	16	no	—
351	D₄	—	2	16	no	—
352	D₄	—	2	32	no	—
353	D₄	—	4	64	no	—
354	D₄	—	4	32	no	—
355	D₄	—	4	8	no	—
356	D₄	—	4	16	no	—
357	D₄	—	8	8	no	—
358	D₄	—	8	16	no	—
359	C₂×C₄	—	2	4	no	—
360	C₂×C₄	—	2	2	no	—
361	C₂×C₄	—	2	8	no	—
362	C₂×C₄	—	2	4	no	—
363	C₂×C₄	—	2	8	no	—
364	C₂×C₄	—	2	8	no	—
365	C₂×C₄	—	4	4	no	—
366	C₂×C₄	—	4	32	no	—
367	C₂×C₄	—	4	4	no	—
368	C₂×C₄	—	4	4	no	—
369	C₂×C₄	—	4	16	no	—
370	C₂×C₄	—	4	32	no	—
371	C₂×C₄	—	4	4	no	—
372	C₂×C₄	—	4	4	no	—
373	C₂×C₄	—	4	4	no	—
374	C₂×C₄	—	4	4	no	—
375	C₂×C₄	—	4	4	no	—
376	C₂×C₄	—	4	4	no	—
377	C₂×C₄	—	8	8	no	—
378	C₂×C₄	—	8	4	no	—
379	C₂×C₄	—	8	8	no	—
380	C₂×C₄	—	8	8	no	—
381	C₂×C₄	#447	1	16	yes	—
382	C₂×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
383	C₂×C₄	C₂×#120	1	4	yes	—
384	C₂×C₄	C₂×#120	1	4	yes	—
385	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	4	yes	—
386	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
387	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
388	C₂×C₄	#585	1	4	yes	—
389	C₈	—	4	8	no	—
390	C₂²	—	2	4	no	—
391	C₂²	—	2	2	no	—
392	C₂²	—	2	2	no	—
393	C₂²	—	2	4	no	—
394	C₂²	—	2	8	no	—
395	C₂²	—	2	16	no	—
396	C₂²	—	4	8	no	—
397	C₂²	—	4	4	no	—
398	C₂²	—	4	4	no	—
399	C₂²	—	4	8	no	—
400	C₂²	—	4	8	no	—
401	C₂²	—	4	8	no	—
402	C₂²	—	8	16	no	—
403	C₂²	—	8	8	no	—
404	C₂²	—	8	8	no	—
405	C₂²	—	16	32	no	—
406	C₂²	C₂×#447	1	4	yes	—
407	C₂²	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
408	C₂²	#3485	1	2	yes	—
409	C₂²	C₂³×D₈	1	1	yes	characteristic
410	C₂²	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
411	C₂²	#3586	1	2	yes	—
412	C₄	—	2	2	no	—
413	C₄	—	2	4	no	—
414	C₄	—	4	4	no	—
415	C₄	—	4	8	no	—
416	C₄	—	8	4	no	—
417	C₄	—	8	4	no	—
418	C₄	C₂×#447	1	8	yes	—
419	C₄	#3500	1	4	yes	—
420	C₂	—	2	4	no	—
421	C₂	—	4	8	no	—
422	C₂	—	8	8	no	—
423	C₂	#35616	1	1	yes	characteristic
424	C₂	C₂²×#447	1	1	yes	characteristic
425	C₂	#60370	1	1	yes	characteristic
426	C₂	#61694	1	2	yes	—
427	C₂	#61722	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂×#3496	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#3226	C₂	semidirect
3. C₂×#2547	C₂	semidirect
4. #25885	C₂	semidirect
5. #25703	C₂	semidirect
6. #24002	C₂	semidirect
7. #21786	C₂	semidirect
8. #21386	C₂	semidirect
17. C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	semidirect
22. C₂×#500	C₂²	semidirect
23. C₂×#486	C₂²	semidirect
24. C₂×#480	C₂²	semidirect
25. C₂×#474	C₂²	semidirect
26. C₂×#431	C₂²	semidirect
28. #2547	C₂²	semidirect
31. C₂×#380	C₂²	semidirect
32. C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
33. #2033	C₂²	semidirect
34. #1988	C₂²	semidirect
35. #1982	C₂²	semidirect
36. #1954	C₂²	semidirect
37. #1874	C₂²	semidirect
38. #1852	C₂²	semidirect
39. #1786	C₂²	semidirect
40. #1779	C₂²	semidirect
41. C₄×#102	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3496	2
C₂×#3226	2
C₂×#2547	2
#25885	2
#25703	2
#24002	2
#21786	2
#21386	2