Subgroups — #6531048

Order 512.

4012 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 394 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3497	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#3227	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#2567	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#25834	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#25649	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#24061	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#21818	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#21386	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂²×2₋¹⁺⁴	—	2	1	no	—
10	#3497	—	2	16	no	—
11	C₂×#550	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂×D₄×Q₈	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×#548	—	2	4	no	—
14	C₂×#537	—	2	2	no	—
15	C₂×#537	—	2	1	no	—
16	C₂×#532	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#3227	—	2	16	no	—
21	C₂×#498	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×#486	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#481	C₂²	1	8	yes	—
24	C₂×#476	C₂²	1	8	yes	—
25	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
26	#2567	—	2	4	no	—
27	#2567	C₂²	1	8	yes	—
28	C₂×#395	—	2	2	no	—
29	C₂×#391	—	2	1	no	—
30	C₂×#389	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×#384	—	2	1	no	—
32	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#2058	C₂²	1	16	yes	—
34	#2041	C₂²	1	16	yes	—
35	#1988	C₂²	1	4	yes	—
36	#1984	C₂²	1	8	yes	—
37	#1982	C₂²	1	4	yes	—
38	#1874	C₂²	1	8	yes	—
39	#1864	C₂²	1	32	yes	—
40	#1817	C₂²	1	4	yes	—
41	C₄×#102	C₂²	1	8	yes	—
42	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	16	no	—
43	C₂×2₋¹⁺⁴	—	4	8	no	—
44	C₂×2₋¹⁺⁴	—	4	8	no	—
45	C₂²×#41	—	2	4	no	—
46	C₂²×#41	—	2	4	no	—
47	C₂²×#41	—	2	2	no	—
48	C₂³×Q₈	—	2	4	no	—
49	C₂³×Q₈	—	2	1	no	—
50	C₂³×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
51	#550	—	2	16	no	—
52	#550	—	2	16	no	—
53	D₄×Q₈	—	2	16	no	—
54	D₄×Q₈	—	2	16	no	—
55	#548	—	2	64	no	—
56	#537	—	2	16	no	—
57	#537	—	2	32	no	—
58	#532	—	2	32	no	—
59	#532	—	2	8	no	—
60	#532	D₄	1	16	yes	—
61	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
62	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
63	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
65	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×#127	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×#124	—	2	4	no	—
69	C₂×#124	—	2	2	no	—
70	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
71	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
72	C₂×#121	—	2	4	no	—
73	C₂×#121	—	2	2	no	—
74	C₂×#121	—	2	4	no	—
75	C₂×#121	—	2	8	no	—
76	C₂×#121	C₂³	1	4	yes	—
77	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
78	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	4	yes	—
79	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
80	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
81	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
82	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	8	yes	—
83	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
84	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
85	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
86	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
87	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
89	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
91	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	#498	—	2	16	no	—
94	#486	—	2	16	no	—
95	#481	—	2	32	no	—
96	#476	—	2	32	no	—
97	#431	—	2	8	no	—
98	C₂×#106	C₂³	1	16	yes	—
99	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
100	C₂×#102	C₂³	1	16	yes	—
101	C₂×#102	C₂³	1	16	yes	—
102	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
103	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
104	#395	—	2	16	no	—
105	#391	—	2	8	no	—
106	#389	—	2	8	no	—
107	#389	C₂³	1	16	yes	—
108	#384	—	2	8	no	—
109	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
110	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
111	C₂×#95	—	2	1	no	—
112	C₂×#95	—	2	4	no	—
113	#340	C₂³	1	16	yes	—
114	#336	C₂³	1	16	yes	—
115	2₋¹⁺⁴	—	4	128	no	—
116	C₂×#41	—	2	32	no	—
117	C₂×#41	—	2	32	no	—
118	C₂×#41	—	2	16	no	—
119	C₂×#41	—	4	16	no	—
120	C₂×#41	—	4	16	no	—
121	C₂×#41	—	4	16	no	—
122	C₂×#41	—	4	16	no	—
123	C₂×#41	—	4	8	no	—
124	C₂×#41	—	4	8	no	—
125	C₂²×Q₈	—	2	32	no	—
126	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
127	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
128	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
129	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
130	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
131	C₂²×Q₈	—	4	16	no	—
132	C₂²×Q₈	—	4	16	no	—
133	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
134	C₂²×Q₈	—	8	4	no	—
135	C₂²×Q₈	SD₁₆	1	8	yes	—
136	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
137	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
138	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
139	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
140	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
141	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
142	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
143	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
144	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
145	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
146	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
147	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
148	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
149	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
152	C₂²×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
153	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
154	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
155	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
156	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
157	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
158	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
159	#127	—	2	16	no	—
160	#127	—	2	4	no	—
161	#127	C₂×D₄	1	8	yes	—
162	#124	—	2	32	no	—
163	#124	—	2	16	no	—
164	C₂²⋊Q₈	—	2	32	no	—
165	C₂²⋊Q₈	—	2	64	no	—
166	#121	—	2	32	no	—
167	#121	—	2	32	no	—
168	#121	—	2	64	no	—
169	#121	—	2	16	no	—
170	#121	—	2	8	no	—
171	#121	C₂×D₄	1	16	yes	—
172	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
173	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
174	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
175	C₄×D₄	—	2	32	no	—
176	C₄×D₄	—	2	16	no	—
177	C₄×D₄	—	2	16	no	—
178	C₄×D₄	—	2	16	no	—
179	C₄×D₄	—	2	8	no	—
180	C₄×D₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
194	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
195	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
196	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
197	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
198	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
199	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
200	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
201	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
202	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
203	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
204	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
205	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
206	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
207	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
208	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
209	#106	—	2	32	no	—
210	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
211	#102	—	2	32	no	—
212	#102	—	2	32	no	—
213	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
214	C₄×C₈	—	2	8	no	—
215	#95	—	2	4	no	—
216	#95	—	2	16	no	—
217	C₂⁴	—	2	4	no	—
218	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
219	#41	—	4	128	no	—
220	#41	—	4	128	no	—
221	#41	—	4	64	no	—
222	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
223	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
224	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
225	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
226	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
227	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
228	C₂×Q₈	—	4	128	no	—
229	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
230	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
231	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
232	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
233	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
234	C₂×Q₈	—	8	16	no	—
235	C₂×Q₈	C₂×SD₁₆	1	16	yes	—
236	C₂×D₄	—	2	16	no	—
237	C₂×D₄	—	2	16	no	—
238	C₂×D₄	—	2	16	no	—
239	C₂×D₄	—	2	8	no	—
240	C₂×D₄	—	2	8	no	—
241	C₂×D₄	—	2	4	no	—
242	C₂×D₄	—	2	16	no	—
243	C₂×D₄	—	4	8	no	—
244	C₂×D₄	—	4	8	no	—
245	C₂×D₄	—	4	8	no	—
246	C₂×D₄	—	4	8	no	—
247	C₂×D₄	—	4	4	no	—
248	C₂×D₄	—	4	4	no	—
249	C₂×D₄	—	8	4	no	—
250	C₂×D₄	—	8	8	no	—
251	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
252	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
260	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
261	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
262	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
263	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
264	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
265	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
266	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
267	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
268	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
269	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
270	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
271	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
272	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
273	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
274	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	8	yes	—
275	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
276	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
277	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
278	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
279	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
280	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
281	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
282	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
283	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
284	C₂×C₈	—	2	8	no	—
285	C₂×C₈	—	2	16	no	—
286	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
287	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
288	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
293	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
294	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
295	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
296	C₄⋊C₄	—	8	16	no	—
297	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
298	C₄⋊C₄	2₋¹⁺⁴	1	8	yes	complemented
299	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
300	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
301	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
302	C₄²	—	2	8	no	—
303	C₄²	—	2	8	no	—
304	C₄²	—	4	8	no	—
305	C₄²	#120	1	8	yes	—
306	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
307	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
308	C₂³	—	2	2	no	—
309	C₂³	—	2	2	no	—
310	C₂³	—	2	8	no	—
311	C₂³	—	4	8	no	—
312	C₂³	—	4	8	no	—
313	C₂³	—	4	4	no	—
314	C₂³	—	4	4	no	—
315	C₂³	C₂×#120	1	2	yes	—
316	C₂³	C₂²×SD₁₆	1	2	yes	—
317	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
318	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
319	Q₈	—	2	32	no	—
320	Q₈	—	4	32	no	—
321	Q₈	—	4	16	no	—
322	Q₈	—	8	16	no	—
323	D₄	—	2	16	no	—
324	D₄	—	4	32	no	—
325	D₄	—	4	32	no	—
326	D₄	—	4	8	no	—
327	D₄	—	4	16	no	—
328	D₄	—	8	8	no	—
329	D₄	—	8	16	no	—
330	C₂×C₄	—	2	4	no	—
331	C₂×C₄	—	2	4	no	—
332	C₂×C₄	—	2	2	no	—
333	C₂×C₄	—	2	16	no	—
334	C₂×C₄	—	2	4	no	—
335	C₂×C₄	—	2	8	no	—
336	C₂×C₄	—	2	8	no	—
337	C₂×C₄	—	2	4	no	—
338	C₂×C₄	—	2	8	no	—
339	C₂×C₄	—	2	8	no	—
340	C₂×C₄	—	4	4	no	—
341	C₂×C₄	—	4	64	no	—
342	C₂×C₄	—	4	16	no	—
343	C₂×C₄	—	4	4	no	—
344	C₂×C₄	—	4	4	no	—
345	C₂×C₄	—	4	4	no	—
346	C₂×C₄	—	4	4	no	—
347	C₂×C₄	—	4	32	no	—
348	C₂×C₄	—	4	8	no	—
349	C₂×C₄	—	4	4	no	—
350	C₂×C₄	—	8	4	no	—
351	C₂×C₄	—	8	8	no	—
352	C₂×C₄	#450	1	16	yes	—
353	C₂×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	C₂×#120	1	4	yes	—
355	C₂×C₄	C₂×#120	1	4	yes	—
356	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	8	yes	—
357	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	4	yes	—
358	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
359	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
360	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
361	C₈	—	4	8	no	—
362	C₂²	—	2	2	no	—
363	C₂²	—	2	4	no	—
364	C₂²	—	2	4	no	—
365	C₂²	—	2	2	no	—
366	C₂²	—	4	8	no	—
367	C₂²	—	4	8	no	—
368	C₂²	—	4	8	no	—
369	C₂²	—	8	8	no	—
370	C₂²	—	8	8	no	—
371	C₂²	C₂×#450	1	4	yes	—
372	C₂²	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
373	C₂²	#3486	1	2	yes	—
374	C₂²	C₂³×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
375	C₂²	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
376	C₂²	#3585	1	2	yes	—
377	C₄	—	2	2	no	—
378	C₄	—	2	8	no	—
379	C₄	—	2	4	no	—
380	C₄	—	4	8	no	—
381	C₄	—	4	8	no	—
382	C₄	—	4	4	no	—
383	C₄	—	8	4	no	—
384	C₄	C₂×#450	1	8	yes	—
385	C₄	#3499	1	4	yes	—
386	C₂	—	2	4	no	—
387	C₂	—	8	8	no	—
388	C₂	#35666	1	1	yes	characteristic
389	C₂	C₂²×#450	1	1	yes	characteristic
390	C₂	#60369	1	1	yes	characteristic
391	C₂	#61820	1	2	yes	—
392	C₂	#61825	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂×#3497	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄×Q₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#3227	C₂	semidirect
3. C₂×#2567	C₂	semidirect
4. #25834	C₂	semidirect
5. #25649	C₂	semidirect
6. #24061	C₂	semidirect
7. #21818	C₂	semidirect
8. #21386	C₂	semidirect
298. C₄⋊C₄	2₋¹⁺⁴	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3497	2
C₂×#3227	2
C₂×#2567	2
#25834	2
#25649	2
#24061	2
#21818	2
#21386	2