Subgroups — #6537002

Order 512.

2095 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 371 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×Q₈×D₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#2984	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	Q₈×#121	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#29878	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
5	#28683	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
6	#28194	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
7	#25478	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
8	#24709	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
9	#23697	C₂	1	3	yes	maximal
10	#22738	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	Q₈×#102	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	C₂×D₄×Q₈	—	2	2	no	—
13	C₂×D₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	Q₈×D₈	—	2	8	no	—
16	C₂×#500	C₂²	1	3	yes	—
17	C₂×#474	C₂²	1	6	yes	—
18	#2984	—	2	8	no	—
19	C₂×#446	C₂²	1	3	yes	—
20	C₂×#446	C₂²	1	3	yes	—
21	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	3	yes	—
24	C₂×#432	C₂²	1	3	yes	—
25	C₂×#431	C₂²	1	3	yes	—
26	#2857	C₂²	1	6	yes	—
27	#2546	C₂²	1	6	yes	—
28	#2538	C₂²	1	6	yes	—
29	#2429	—	2	6	no	—
30	#2417	—	2	6	no	—
31	Q₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
32	Q₈×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
33	C₄×#121	C₂²	1	6	yes	—
34	#2087	C₂²	1	3	yes	—
35	#2087	C₂²	1	6	yes	—
36	#2087	C₂²	1	6	yes	—
37	#2076	C₂²	1	6	yes	—
38	#2076	C₂²	1	3	yes	—
39	#2065	C₂²	1	6	yes	—
40	#2054	C₂²	1	3	yes	—
41	#2034	C₂²	1	6	yes	—
42	#1999	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	#1990	C₂²	1	6	yes	—
44	#1988	C₂²	1	6	yes	—
45	#1948	C₂²	1	6	yes	—
46	#1944	C₂²	1	12	yes	—
47	#1936	C₂²	1	12	yes	—
48	#1834	C₂²	1	3	yes	—
49	#1802	C₂²	1	6	yes	—
50	C₄×#106	C₂²	1	3	yes	—
51	C₄×#102	C₂²	1	6	yes	—
52	C₂³×Q₈	—	2	2	no	—
53	C₂³×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×D₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	D₄×Q₈	—	2	8	no	—
56	D₄×Q₈	—	2	8	no	—
57	D₄×Q₈	—	4	16	no	—
58	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	6	no	—
59	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	6	yes	—
60	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	6	no	—
61	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	6	no	—
62	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	6	no	—
63	C₂×#121	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
65	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
66	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
67	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	3	yes	—
69	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	3	yes	—
70	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₄×D₄	—	2	6	no	—
72	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	6	yes	—
73	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	3	yes	—
74	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
75	#500	—	2	12	no	—
76	#474	—	2	24	no	—
77	#446	—	2	12	no	—
78	#446	—	2	12	no	—
79	C₈×Q₈	—	2	4	no	—
80	C₈×Q₈	D₄	1	8	yes	complemented
81	C₄×D₈	—	2	12	no	—
82	#432	—	2	12	no	—
83	#431	—	2	12	no	—
84	C₂×#107	C₂³	1	3	yes	—
85	C₂×#107	C₂³	1	6	yes	—
86	C₂×#106	C₂³	1	6	yes	—
87	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
88	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
89	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
90	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
91	C₂×#102	C₂³	1	6	yes	—
92	C₂×#102	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂×#102	C₂³	1	6	yes	—
94	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
96	C₂×#97	C₂³	1	6	yes	—
97	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	3	yes	—
98	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	3	yes	—
99	#398	—	2	12	no	—
100	#396	—	2	12	no	—
101	#391	—	2	6	no	—
102	#391	—	2	6	no	—
103	#390	C₂³	1	6	yes	—
104	#389	—	2	6	no	—
105	#389	—	2	6	no	—
106	#389	C₂³	1	6	yes	—
107	#389	C₂³	1	12	yes	—
108	#388	—	2	6	no	—
109	#386	—	2	6	no	—
110	#384	C₂³	1	6	yes	—
111	#380	—	2	6	no	—
112	#380	—	2	6	no	—
113	#380	C₂³	1	6	yes	—
114	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
115	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
116	#340	C₂³	1	3	yes	—
117	#340	C₂³	1	12	yes	—
118	#340	C₂³	1	6	yes	—
119	#340	C₂³	1	6	yes	—
120	#340	C₂³	1	1	yes	characteristic
121	#340	C₂³	1	6	yes	—
122	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
123	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
124	C₂²×Q₈	—	2	6	no	—
125	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
126	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
127	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
128	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	3	yes	—
129	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
131	C₂²×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
132	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
133	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
134	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
135	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
136	C₂×D₈	—	2	4	no	—
137	C₂×D₈	—	2	2	no	—
138	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×C₈	C₂⁴	1	3	yes	—
140	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
141	C₂²×C₈	C₂⁴	1	3	yes	—
142	C₄⋊Q₈	—	2	12	no	—
143	C₄⋊Q₈	—	2	12	no	—
144	C₄⋊Q₈	—	4	24	no	—
145	C₂²⋊Q₈	—	4	24	no	—
146	C₂²⋊Q₈	—	4	24	no	—
147	C₂²⋊Q₈	—	4	24	no	—
148	#121	—	2	4	no	—
149	#121	—	2	4	no	—
150	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
151	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
152	C₄×Q₈	—	2	6	no	—
153	C₄×Q₈	—	2	6	no	—
154	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
155	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
156	C₄×Q₈	#41	1	4	yes	—
157	C₄×D₄	—	2	12	no	—
158	C₄×D₄	—	2	12	no	—
159	C₄×D₄	—	4	24	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
167	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
168	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
169	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
170	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
171	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
177	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
178	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
179	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
180	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
181	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
182	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
183	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
184	#107	—	2	6	no	—
185	#107	—	2	12	no	—
186	#106	—	2	12	no	—
187	C₄⋊C₈	—	2	6	no	—
188	C₄⋊C₈	—	2	6	no	—
189	C₄⋊C₈	—	2	6	no	—
190	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	12	yes	—
191	#102	—	2	12	no	—
192	#102	—	2	12	no	—
193	#102	—	2	4	no	—
194	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
195	C₂²⋊C₈	—	2	6	no	—
196	#97	—	2	12	no	—
197	C₄×C₈	—	2	6	no	—
198	C₄×C₈	C₂×D₄	1	12	yes	—
199	#95	—	2	6	no	—
200	#95	—	2	6	no	—
201	#95	—	2	6	no	—
202	#95	—	2	12	no	—
203	C₂⁴	—	2	2	no	—
204	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
206	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
207	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
208	C₂×Q₈	—	4	12	no	—
209	C₂×Q₈	—	4	12	no	—
210	C₂×Q₈	—	4	12	no	—
211	C₂×Q₈	—	8	32	no	—
212	C₂×Q₈	#121	1	4	yes	—
213	C₂×Q₈	AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
214	C₂×D₄	—	2	8	no	—
215	C₂×D₄	—	2	2	no	—
216	C₂×D₄	—	2	2	no	—
217	C₂×D₄	—	2	2	no	—
218	C₂×D₄	—	2	2	no	—
219	C₂×D₄	—	2	2	no	—
220	C₂×D₄	—	4	4	no	—
221	C₂×D₄	—	4	4	no	—
222	C₂×D₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
223	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	3	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
238	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
244	D₈	—	2	8	no	—
245	C₂×C₈	—	2	6	no	—
246	C₂×C₈	—	2	2	no	—
247	C₂×C₈	—	2	1	no	—
248	C₂×C₈	—	2	3	no	—
249	C₂×C₈	—	2	6	no	—
250	C₂×C₈	—	2	2	no	—
251	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
252	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	6	yes	—
253	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
254	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
255	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
256	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
257	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
258	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
259	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
260	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
261	C₄⋊C₄	—	4	24	no	—
262	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
263	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
264	C₄⋊C₄	—	8	6	no	—
265	C₄⋊C₄	#121	1	12	yes	—
266	C₄⋊C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
267	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
270	C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
271	C₂²⋊C₄	—	8	6	no	—
272	C₄²	—	2	6	no	—
273	C₄²	—	2	6	no	—
274	C₄²	—	2	3	no	—
275	C₄²	—	2	3	no	—
276	C₄²	—	4	12	no	—
277	C₄²	C₂²×D₄	1	6	yes	—
278	C₄²	C₂×#41	1	6	yes	—
279	C₂³	—	2	1	no	—
280	C₂³	—	2	1	no	—
281	C₂³	—	2	2	no	—
282	C₂³	—	2	2	no	—
283	C₂³	—	2	4	no	—
284	C₂³	—	4	2	no	—
285	C₂³	—	4	2	no	—
286	C₂³	—	4	2	no	—
287	C₂³	—	4	2	no	—
288	C₂³	—	4	2	no	—
289	C₂³	—	4	2	no	—
290	C₂³	#578	1	2	yes	—
291	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
292	Q₈	—	4	12	no	—
293	Q₈	—	8	24	no	—
294	Q₈	#469	1	16	yes	—
295	D₄	—	2	4	no	—
296	D₄	—	2	4	no	—
297	D₄	—	4	16	no	—
298	D₄	—	4	2	no	—
299	D₄	—	4	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	3	no	—
301	C₂×C₄	—	2	3	no	—
302	C₂×C₄	—	2	3	no	—
303	C₂×C₄	—	2	1	no	—
304	C₂×C₄	—	2	3	no	—
305	C₂×C₄	—	2	3	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	4	no	—
308	C₂×C₄	—	2	6	no	—
309	C₂×C₄	—	2	3	no	—
310	C₂×C₄	—	4	12	no	—
311	C₂×C₄	—	4	2	no	—
312	C₂×C₄	—	4	2	no	—
313	C₂×C₄	—	4	1	no	—
314	C₂×C₄	—	4	1	no	—
315	C₂×C₄	—	4	2	no	—
316	C₂×C₄	—	4	12	no	—
317	C₂×C₄	—	4	6	no	—
318	C₂×C₄	—	4	6	no	—
319	C₂×C₄	—	4	6	no	—
320	C₂×C₄	—	4	6	no	—
321	C₂×C₄	—	4	6	no	—
322	C₂×C₄	—	4	6	no	—
323	C₂×C₄	—	8	24	no	—
324	C₂×C₄	C₂×#121	1	6	yes	—
325	C₂×C₄	C₂×#121	1	6	yes	—
326	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	12	yes	—
327	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
331	C₈	—	2	2	no	—
332	C₈	—	2	6	no	—
333	C₈	—	4	3	no	—
334	C₈	—	4	1	no	—
335	C₂²	—	2	2	no	—
336	C₂²	—	2	4	no	—
337	C₂²	—	4	1	no	—
338	C₂²	—	4	1	no	—
339	C₂²	—	4	2	no	—
340	C₂²	—	4	4	no	—
341	C₂²	—	4	4	no	—
342	C₂²	—	4	4	no	—
343	C₂²	—	8	2	no	—
344	C₂²	—	8	2	no	—
345	C₂²	—	8	2	no	—
346	C₂²	—	8	2	no	—
347	C₂²	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
348	C₂²	#3486	1	2	yes	—
349	C₂²	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
350	C₂²	C₂×#578	1	1	yes	characteristic
351	C₂²	#3584	1	1	yes	characteristic
352	C₄	—	2	6	no	—
353	C₄	—	4	3	no	—
354	C₄	—	4	3	no	—
355	C₄	—	4	1	no	—
356	C₄	—	4	4	no	—
357	C₄	—	8	6	no	—
358	C₄	—	8	6	no	—
359	C₄	C₂×#469	1	12	yes	—
360	C₄	#3486	1	1	yes	characteristic
361	C₄	#3499	1	1	yes	characteristic
362	C₄	#3523	1	2	yes	—
363	C₂	—	4	2	no	—
364	C₂	—	8	4	no	—
365	C₂	#35700	1	1	yes	characteristic
366	C₂	C₂²×#469	1	1	yes	characteristic
367	C₂	#60459	1	1	yes	characteristic
368	C₂	#61837	1	2	yes	—
369	C₂	#61840	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	#1999	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄×Q₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×Q₈×D₈	C₂	semidirect
2. C₂×#2984	C₂	semidirect
3. Q₈×#121	C₂	semidirect
4. #29878	C₂	semidirect
5. #28683	C₂	semidirect
6. #28194	C₂	semidirect
7. #25478	C₂	semidirect
8. #24709	C₂	semidirect
10. #22738	C₂	semidirect
11. Q₈×#102	C₂	semidirect
80. C₈×Q₈	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×Q₈×D₈	2
C₂×#2984	2
Q₈×#121	2
#29878	2
#28683	2
#28194	2
#25478	2
#24709	2
#23697	2
#22738	2
Q₈×#102	2