Subgroups — #6558981

Order 512.

2733 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 383 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×Q₈×D₈	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#3358	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	Q₈×#127	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#36465	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#30276	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
6	#28527	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
7	#28508	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
8	#28397	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
9	#28369	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
10	#23798	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
11	#20569	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#550	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×D₄×Q₈	—	2	2	no	—
14	C₂×D₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×D₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#548	—	2	2	no	—
17	Q₈×D₈	—	2	16	no	—
18	#3358	—	2	16	no	—
19	C₂×#500	C₂²	1	6	yes	—
20	C₂×#486	C₂²	1	6	yes	—
21	C₂×#474	C₂²	1	6	yes	—
22	C₂×#474	C₂²	1	6	yes	—
23	C₂×#474	C₂²	1	6	yes	—
24	C₂×#459	C₂²	1	6	yes	—
25	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	6	yes	—
27	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	6	yes	—
28	#2868	C₂²	1	3	yes	—
29	#2858	C₂²	1	3	yes	—
30	#2542	—	2	6	no	—
31	#2542	C₂²	1	3	yes	—
32	#2542	C₂²	1	6	yes	—
33	#2541	C₂²	1	3	yes	—
34	#2540	—	2	6	no	—
35	C₄×#127	C₂²	1	3	yes	—
36	C₄×#127	C₂²	1	3	yes	—
37	C₄²×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#2093	C₂²	1	3	yes	—
39	#2093	C₂²	1	6	yes	—
40	#2093	C₂²	1	12	yes	—
41	#2093	C₂²	1	3	yes	—
42	#2093	C₂²	1	6	yes	—
43	#2011	C₂²	1	3	yes	—
44	#2011	C₂²	1	6	yes	—
45	#2011	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#1970	C₂²	1	12	yes	—
47	#1957	C₂²	1	6	yes	—
48	#1845	C₂²	1	6	yes	—
49	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	6	yes	—
50	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	3	yes	—
51	#1744	C₂²	1	3	yes	—
52	C₂²×#41	—	2	1	no	—
53	C₂³×Q₈	—	2	1	no	—
54	C₂³×Q₈	—	2	2	no	—
55	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂²×D₈	C₂³	1	6	yes	—
57	#550	—	2	8	no	—
58	D₄×Q₈	—	2	8	no	—
59	D₄×Q₈	—	2	8	no	—
60	D₄×Q₈	—	2	8	no	—
61	D₄×Q₈	—	4	16	no	—
62	#548	—	4	16	no	—
63	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	6	no	—
64	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	3	yes	—
65	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	6	yes	—
66	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂×#127	C₂³	1	3	yes	—
68	C₂×#127	C₂³	1	3	yes	—
69	C₂×#124	—	2	6	no	—
70	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	6	no	—
71	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	12	no	—
72	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	3	no	—
73	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	6	no	—
74	C₂×#121	—	2	6	no	—
75	C₂×#121	—	2	3	no	—
76	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
77	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₄×D₄	—	2	6	no	—
79	C₂×C₄×D₄	—	2	6	no	—
80	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	6	yes	—
81	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	3	yes	—
82	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	3	yes	—
83	#500	—	2	24	no	—
84	#486	—	2	24	no	—
85	#474	—	2	24	no	—
86	#474	—	2	24	no	—
87	#474	—	2	24	no	—
88	#459	—	2	24	no	—
89	C₈×Q₈	D₄	1	16	yes	complemented
90	C₄×D₈	—	2	24	no	—
91	C₄×D₈	—	2	24	no	—
92	C₂×#107	C₂³	1	6	yes	—
93	C₂×#107	C₂³	1	6	yes	—
94	C₂×#107	C₂³	1	12	yes	—
95	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	6	yes	—
96	C₂×#102	C₂³	1	6	yes	—
97	C₂×#102	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂×#102	C₂³	1	12	yes	—
99	C₂×#102	C₂³	1	6	yes	—
100	C₂×#102	C₂³	1	6	yes	—
101	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	6	yes	—
102	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	6	yes	—
103	#399	—	2	6	no	—
104	#399	—	2	12	no	—
105	#392	—	2	6	no	—
106	#390	—	2	6	no	—
107	#390	—	2	6	no	—
108	#390	—	2	6	no	—
109	#390	C₂³	1	1	yes	characteristic
110	#390	C₂³	1	3	yes	—
111	#390	C₂³	1	6	yes	—
112	#390	C₂³	1	6	yes	—
113	#384	—	2	6	no	—
114	#384	C₂³	1	3	yes	—
115	#384	C₂³	1	3	yes	—
116	#384	C₂³	1	6	yes	—
117	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	6	yes	—
118	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
119	C₄³	C₂³	1	3	yes	—
120	#336	C₂³	1	1	yes	characteristic
121	#336	C₂³	1	3	yes	—
122	#336	C₂³	1	6	yes	—
123	C₂×#41	—	4	4	no	—
124	C₂×#41	—	4	8	no	—
125	C₂²×Q₈	—	2	3	no	—
126	C₂²×Q₈	—	2	6	no	—
127	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
128	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
129	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
130	C₂²×Q₈	—	4	16	no	—
131	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
133	C₂²×D₄	—	2	3	no	—
134	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
135	C₂²×D₄	—	2	3	no	—
136	C₂²×D₄	C₂⁴	1	3	yes	—
137	C₂²×D₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
139	C₂³×C₄	—	2	3	no	—
140	C₂³×C₄	—	2	3	no	—
141	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
142	C₂×D₈	—	2	4	no	—
143	C₂×D₈	—	2	4	no	—
144	C₂×D₈	—	2	12	no	—
145	C₂×D₈	—	2	4	no	—
146	C₂×D₈	—	2	12	no	—
147	C₂×D₈	—	4	6	no	—
148	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
149	C₂²×C₈	C₂⁴	1	6	yes	—
150	C₄⋊Q₈	—	2	12	no	—
151	C₄⋊Q₈	—	2	12	no	—
152	C₄⋊Q₈	—	2	12	no	—
153	C₄⋊Q₈	—	4	24	no	—
154	#127	—	2	4	no	—
155	#127	—	2	6	no	—
156	#127	—	2	12	no	—
157	#127	—	4	3	no	—
158	#124	—	4	24	no	—
159	C₂²⋊Q₈	—	4	12	no	—
160	C₂²⋊Q₈	—	4	24	no	—
161	C₂²⋊Q₈	—	4	24	no	—
162	C₂²⋊Q₈	—	4	48	no	—
163	#121	—	4	12	no	—
164	#121	—	4	24	no	—
165	C₄×Q₈	D₈	1	16	yes	complemented
166	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
167	C₄×D₄	—	2	12	no	—
168	C₄×D₄	—	2	12	no	—
169	C₄×D₄	—	2	12	no	—
170	C₄×D₄	—	2	12	no	—
171	C₄×D₄	—	4	24	no	—
172	C₄×D₄	—	4	24	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
179	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
180	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
182	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
186	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
187	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
188	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
189	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
190	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	6	yes	—
191	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	6	yes	—
192	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
194	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
195	#107	—	2	12	no	—
196	#107	—	2	12	no	—
197	#107	—	2	24	no	—
198	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	24	yes	—
199	#102	—	2	4	no	—
200	#102	—	2	12	no	—
201	#102	—	2	12	no	—
202	#102	—	2	12	no	—
203	#102	—	2	24	no	—
204	C₄×C₈	—	4	6	no	—
205	C₄×C₈	C₂×D₄	1	24	yes	—
206	#95	C₂×D₄	1	6	yes	—
207	C₂⁴	—	2	2	no	—
208	C₂⁴	—	2	1	no	—
209	C₂⁴	—	2	3	no	—
210	#41	—	8	16	no	—
211	C₂×Q₈	—	4	12	no	—
212	C₂×Q₈	—	4	6	no	—
213	C₂×Q₈	—	4	12	no	—
214	C₂×Q₈	—	4	24	no	—
215	C₂×Q₈	—	8	16	no	—
216	C₂×Q₈	—	8	32	no	—
217	C₂×Q₈	#127	1	4	yes	—
218	C₂×Q₈	C₂×D₈	1	8	yes	—
219	C₂×D₄	—	2	8	no	—
220	C₂×D₄	—	2	2	no	—
221	C₂×D₄	—	2	2	no	—
222	C₂×D₄	—	2	2	no	—
223	C₂×D₄	—	2	6	no	—
224	C₂×D₄	—	2	2	no	—
225	C₂×D₄	—	2	2	no	—
226	C₂×D₄	—	2	2	no	—
227	C₂×D₄	—	2	3	no	—
228	C₂×D₄	—	2	6	no	—
229	C₂×D₄	—	2	2	no	—
230	C₂×D₄	—	2	1	no	—
231	C₂×D₄	—	2	3	no	—
232	C₂×D₄	—	4	4	no	—
233	C₂×D₄	—	4	12	no	—
234	C₂×D₄	—	4	6	no	—
235	C₂×D₄	—	4	6	no	—
236	C₂×D₄	—	4	4	no	—
237	C₂×D₄	—	4	12	no	—
238	C₂×D₄	—	4	12	no	—
239	C₂×D₄	—	8	6	no	—
240	C₂×D₄	—	8	6	no	—
241	C₂×D₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
242	C₂×D₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
243	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
250	C₂²×C₄	—	4	24	no	—
251	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
252	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
257	D₈	—	2	16	no	—
258	D₈	—	4	24	no	—
259	C₂×C₈	—	2	2	no	—
260	C₂×C₈	—	2	2	no	—
261	C₂×C₈	—	2	6	no	—
262	C₂×C₈	—	2	6	no	—
263	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
264	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	12	yes	—
265	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
266	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
267	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
268	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
269	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
270	C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
271	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
272	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
273	C₄⋊C₄	—	4	24	no	—
274	C₄⋊C₄	#127	1	12	yes	—
275	C₄⋊C₄	C₂×D₈	1	24	yes	—
276	C₂²⋊C₄	—	4	6	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	4	6	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
279	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
280	C₂²⋊C₄	—	4	24	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
282	C₂²⋊C₄	—	4	24	no	—
283	C₄²	—	2	2	no	—
284	C₄²	—	2	3	no	—
285	C₄²	—	2	3	no	—
286	C₄²	—	4	6	no	—
287	C₄²	C₂×D₈	1	24	yes	—
288	C₄²	C₂²×D₄	1	12	yes	—
289	C₂³	—	2	4	no	—
290	C₂³	—	2	2	no	—
291	C₂³	—	4	4	no	—
292	C₂³	—	4	2	no	—
293	C₂³	—	4	1	no	—
294	C₂³	—	4	2	no	—
295	C₂³	—	4	1	no	—
296	C₂³	—	4	2	no	—
297	C₂³	—	4	4	no	—
298	C₂³	—	4	2	no	—
299	C₂³	—	4	6	no	—
300	C₂³	—	4	3	no	—
301	C₂³	—	4	3	no	—
302	C₂³	—	4	3	no	—
303	C₂³	—	4	6	no	—
304	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
305	Q₈	—	8	12	no	—
306	Q₈	—	8	24	no	—
307	Q₈	#493	1	16	yes	—
308	D₄	—	2	4	no	—
309	D₄	—	2	4	no	—
310	D₄	—	2	4	no	—
311	D₄	—	4	16	no	—
312	D₄	—	4	2	no	—
313	D₄	—	4	6	no	—
314	D₄	—	4	2	no	—
315	D₄	—	4	2	no	—
316	D₄	—	4	6	no	—
317	D₄	—	8	24	no	—
318	D₄	—	8	12	no	—
319	D₄	—	16	6	no	—
320	C₂×C₄	—	2	2	no	—
321	C₂×C₄	—	2	6	no	—
322	C₂×C₄	—	2	6	no	—
323	C₂×C₄	—	2	2	no	—
324	C₂×C₄	—	2	6	no	—
325	C₂×C₄	—	4	1	no	—
326	C₂×C₄	—	4	6	no	—
327	C₂×C₄	—	4	3	no	—
328	C₂×C₄	—	4	6	no	—
329	C₂×C₄	—	4	2	no	—
330	C₂×C₄	—	4	12	no	—
331	C₂×C₄	—	8	12	no	—
332	C₂×C₄	—	8	24	no	—
333	C₂×C₄	—	8	12	no	—
334	C₂×C₄	C₂×#127	1	6	yes	—
335	C₂×C₄	C₂×#127	1	6	yes	—
336	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	4	yes	—
337	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	12	yes	—
338	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	12	yes	—
339	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	#585	1	1	yes	characteristic
343	C₈	—	2	4	no	—
344	C₈	—	2	12	no	—
345	C₂²	—	4	2	no	—
346	C₂²	—	4	4	no	—
347	C₂²	—	4	8	no	—
348	C₂²	—	4	4	no	—
349	C₂²	—	8	2	no	—
350	C₂²	—	8	4	no	—
351	C₂²	—	8	2	no	—
352	C₂²	—	8	1	no	—
353	C₂²	—	8	2	no	—
354	C₂²	—	8	1	no	—
355	C₂²	—	8	3	no	—
356	C₂²	—	8	6	no	—
357	C₂²	—	8	6	no	—
358	C₂²	—	8	3	no	—
359	C₂²	—	8	3	no	—
360	C₂²	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
361	C₂²	#3486	1	1	yes	characteristic
362	C₂²	#3489	1	1	yes	characteristic
363	C₂²	C₂³×D₈	1	2	yes	—
364	C₂²	#3586	1	2	yes	—
365	C₄	—	2	4	no	—
366	C₄	—	2	12	no	—
367	C₄	—	2	6	no	—
368	C₄	—	8	1	no	—
369	C₄	—	8	3	no	—
370	C₄	—	8	6	no	—
371	C₄	C₂×#493	1	12	yes	—
372	C₄	#3486	1	2	yes	—
373	C₄	#3489	1	2	yes	—
374	C₂	—	8	4	no	—
375	C₂	—	8	2	no	—
376	C₂	—	16	3	no	—
377	C₂	#35927	1	1	yes	characteristic
378	C₂	C₂²×#493	1	1	yes	characteristic
379	C₂	#60651	1	1	yes	characteristic
380	C₂	#61817	1	2	yes	—
381	C₂	#62095	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄²×Q₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×Q₈×D₈	C₂	semidirect
2. C₂×#3358	C₂	semidirect
3. Q₈×#127	C₂	semidirect
4. #36465	C₂	semidirect
5. #30276	C₂	semidirect
6. #28527	C₂	semidirect
7. #28508	C₂	semidirect
8. #28397	C₂	semidirect
9. #28369	C₂	semidirect
10. #23798	C₂	semidirect
11. #20569	C₂	semidirect
89. C₈×Q₈	D₄	semidirect
165. C₄×Q₈	D₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×Q₈×D₈	2
C₂×#3358	2
Q₈×#127	2
#36465	2
#30276	2
#28527	2
#28508	2
#28397	2
#28369	2
#23798	2
#20569	2