Subgroups — #6558990

Order 512.

2451 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 363 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×Q₈×SD₁₆	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#3358	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	Q₈×#127	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#36457	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#30277	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
6	#28541	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
7	#28520	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
8	#28415	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
9	#28381	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
10	#23796	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
11	#20572	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×Q₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#550	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×D₄×Q₈	—	2	2	no	—
15	C₂×D₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
16	Q₈×SD₁₆	—	2	16	no	—
17	#3358	—	2	16	no	—
18	C₂×#498	C₂²	1	6	yes	—
19	C₂×#486	C₂²	1	6	yes	—
20	C₂×#475	C₂²	1	6	yes	—
21	C₂×#476	C₂²	1	6	yes	—
22	C₂×#474	C₂²	1	6	yes	—
23	C₂×#459	C₂²	1	6	yes	—
24	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₄×SD₁₆	C₂²	1	6	yes	—
26	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	6	yes	—
27	#2868	C₂²	1	3	yes	—
28	#2858	C₂²	1	3	yes	—
29	#2563	C₂²	1	3	yes	—
30	#2548	C₂²	1	3	yes	—
31	#2542	—	2	6	no	—
32	#2542	C₂²	1	6	yes	—
33	#2491	—	2	6	no	—
34	#2341	—	2	2	no	—
35	C₄×#127	C₂²	1	3	yes	—
36	C₄×#124	C₂²	1	3	yes	—
37	C₄²×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#2095	C₂²	1	3	yes	—
39	#2094	C₂²	1	3	yes	—
40	#2094	C₂²	1	6	yes	—
41	#2094	C₂²	1	12	yes	—
42	#2092	C₂²	1	6	yes	—
43	#2014	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#2012	C₂²	1	6	yes	—
45	#2011	C₂²	1	3	yes	—
46	#1972	C₂²	1	12	yes	—
47	#1959	C₂²	1	6	yes	—
48	#1847	C₂²	1	6	yes	—
49	#1770	C₂²	1	6	yes	—
50	#1767	C₂²	1	3	yes	—
51	#1744	C₂²	1	3	yes	—
52	C₂²×#41	—	2	1	no	—
53	C₂³×Q₈	—	2	2	no	—
54	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×D₈	C₂³	1	6	yes	—
56	Q₈²	—	2	8	no	—
57	#550	—	2	8	no	—
58	D₄×Q₈	—	2	8	no	—
59	D₄×Q₈	—	2	8	no	—
60	D₄×Q₈	—	4	16	no	—
61	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	3	no	—
62	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	6	no	—
63	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	6	yes	—
64	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	3	yes	—
65	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂×#127	C₂³	1	3	yes	—
67	C₂×#124	—	2	6	no	—
68	C₂×#124	C₂³	1	3	yes	—
69	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	12	no	—
70	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	6	no	—
71	C₂×#121	—	2	3	no	—
72	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
73	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
74	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	3	yes	—
75	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄×D₄	—	2	6	no	—
77	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	6	yes	—
78	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	3	yes	—
79	#498	—	2	24	no	—
80	#486	—	2	24	no	—
81	#476	—	2	24	no	—
82	#475	—	2	24	no	—
83	#474	—	2	24	no	—
84	#459	—	2	24	no	—
85	C₈×Q₈	D₄	1	16	yes	complemented
86	C₄×SD₁₆	—	2	24	no	—
87	C₄×D₈	—	2	24	no	—
88	C₂×#107	C₂³	1	6	yes	—
89	C₂×#106	C₂³	1	12	yes	—
90	C₂×#106	C₂³	1	6	yes	—
91	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	6	yes	—
92	C₂×#103	C₂³	1	6	yes	—
93	C₂×#102	C₂³	1	2	yes	—
94	C₂×#102	C₂³	1	6	yes	—
95	C₂×#102	C₂³	1	6	yes	—
96	C₂×#102	C₂³	1	12	yes	—
97	C₂×#97	C₂³	1	6	yes	—
98	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	6	yes	—
99	#399	—	2	12	no	—
100	#394	—	2	6	no	—
101	#393	—	2	6	no	—
102	#391	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	#390	—	2	6	no	—
104	#390	—	2	6	no	—
105	#390	—	2	6	no	—
106	#390	C₂³	1	6	yes	—
107	#390	C₂³	1	6	yes	—
108	#390	C₂³	1	3	yes	—
109	#388	—	2	6	no	—
110	#384	—	2	6	no	—
111	#384	C₂³	1	3	yes	—
112	#384	C₂³	1	6	yes	—
113	#382	C₂³	1	3	yes	—
114	#380	—	2	6	no	—
115	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	6	yes	—
116	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
117	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
118	C₄³	C₂³	1	3	yes	—
119	#336	C₂³	1	6	yes	—
120	#336	C₂³	1	1	yes	characteristic
121	#336	C₂³	1	3	yes	—
122	C₂×#41	—	4	4	no	—
123	C₂×#41	—	4	8	no	—
124	C₂²×Q₈	—	2	6	no	—
125	C₂²×Q₈	—	2	3	no	—
126	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
127	C₂²×Q₈	—	4	16	no	—
128	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
130	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
131	C₂²×D₄	—	2	3	no	—
132	C₂²×D₄	—	2	3	no	—
133	C₂²×D₄	C₂⁴	1	3	yes	—
134	C₂²×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
135	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
136	C₂³×C₄	—	2	3	no	—
137	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
138	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
139	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
140	C₂×D₈	—	2	12	no	—
141	C₂×D₈	—	2	12	no	—
142	C₂×D₈	—	4	6	no	—
143	C₂²×C₈	C₂⁴	1	6	yes	—
144	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
145	C₄⋊Q₈	—	2	12	no	—
146	C₄⋊Q₈	—	2	12	no	—
147	C₄⋊Q₈	—	2	12	no	—
148	C₄⋊Q₈	—	4	24	no	—
149	C₄⋊Q₈	—	4	12	no	—
150	#127	—	2	4	no	—
151	#127	—	2	12	no	—
152	#124	—	2	6	no	—
153	#124	—	4	3	no	—
154	#124	—	8	12	no	—
155	C₂²⋊Q₈	—	4	48	no	—
156	C₂²⋊Q₈	—	4	24	no	—
157	#121	—	4	12	no	—
158	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
159	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
160	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
161	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
162	C₄×D₄	—	2	12	no	—
163	C₄×D₄	—	2	12	no	—
164	C₄×D₄	—	2	12	no	—
165	C₄×D₄	—	4	24	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
172	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
173	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
174	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
175	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
182	C₂×C₄²	—	2	3	no	—
183	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	6	yes	—
184	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	6	yes	—
185	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
186	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
188	#107	—	2	12	no	—
189	#106	—	2	12	no	—
190	#106	—	2	24	no	—
191	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	24	yes	—
192	#103	—	2	12	no	—
193	#102	—	2	4	no	—
194	#102	—	2	12	no	—
195	#102	—	2	12	no	—
196	#102	—	2	24	no	—
197	#97	—	4	6	no	—
198	C₄×C₈	C₂×D₄	1	24	yes	—
199	#95	—	2	2	no	—
200	#95	—	2	6	no	—
201	#95	C₂×D₄	1	6	yes	—
202	C₂⁴	—	2	2	no	—
203	C₂⁴	—	2	3	no	—
204	#41	—	8	16	no	—
205	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
206	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
207	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
208	C₂×Q₈	—	4	12	no	—
209	C₂×Q₈	—	4	6	no	—
210	C₂×Q₈	—	4	24	no	—
211	C₂×Q₈	—	8	6	no	—
212	C₂×Q₈	—	8	32	no	—
213	C₂×Q₈	#127	1	4	yes	—
214	C₂×Q₈	AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
215	C₂×Q₈	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
216	C₂×D₄	—	2	8	no	—
217	C₂×D₄	—	2	2	no	—
218	C₂×D₄	—	2	2	no	—
219	C₂×D₄	—	2	6	no	—
220	C₂×D₄	—	2	2	no	—
221	C₂×D₄	—	2	2	no	—
222	C₂×D₄	—	2	3	no	—
223	C₂×D₄	—	2	6	no	—
224	C₂×D₄	—	2	2	no	—
225	C₂×D₄	—	2	3	no	—
226	C₂×D₄	—	4	4	no	—
227	C₂×D₄	—	4	6	no	—
228	C₂×D₄	—	4	6	no	—
229	C₂×D₄	—	4	12	no	—
230	C₂×D₄	—	4	4	no	—
231	C₂×D₄	—	8	6	no	—
232	C₂×D₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
233	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	24	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
241	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
246	SD₁₆	—	2	16	no	—
247	D₈	—	4	24	no	—
248	C₂×C₈	—	2	6	no	—
249	C₂×C₈	—	2	2	no	—
250	C₂×C₈	—	2	2	no	—
251	C₂×C₈	—	2	6	no	—
252	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
253	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	12	yes	—
254	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
255	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
256	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
257	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
258	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
259	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
260	C₄⋊C₄	—	4	24	no	—
261	C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
262	C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
263	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
264	C₄⋊C₄	#127	1	12	yes	—
265	C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	4	24	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	4	6	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
270	C₂²⋊C₄	—	8	12	no	—
271	C₄²	—	2	12	no	—
272	C₄²	—	2	12	no	—
273	C₄²	—	2	3	no	—
274	C₄²	—	2	2	no	—
275	C₄²	—	2	3	no	—
276	C₄²	—	4	6	no	—
277	C₄²	C₂²×D₄	1	12	yes	—
278	C₂³	—	2	4	no	—
279	C₂³	—	4	2	no	—
280	C₂³	—	4	2	no	—
281	C₂³	—	4	4	no	—
282	C₂³	—	4	4	no	—
283	C₂³	—	4	3	no	—
284	C₂³	—	4	3	no	—
285	C₂³	—	4	3	no	—
286	C₂³	—	4	6	no	—
287	C₂³	—	4	6	no	—
288	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
289	Q₈	—	2	4	no	—
290	Q₈	—	4	2	no	—
291	Q₈	—	8	24	no	—
292	Q₈	—	16	6	no	—
293	Q₈	#496	1	16	yes	—
294	D₄	—	2	4	no	—
295	D₄	—	2	4	no	—
296	D₄	—	4	16	no	—
297	D₄	—	4	2	no	—
298	D₄	—	4	6	no	—
299	D₄	—	4	2	no	—
300	D₄	—	4	6	no	—
301	D₄	—	8	12	no	—
302	D₄	—	16	6	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	6	no	—
306	C₂×C₄	—	2	6	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	6	no	—
309	C₂×C₄	—	2	6	no	—
310	C₂×C₄	—	4	1	no	—
311	C₂×C₄	—	4	1	no	—
312	C₂×C₄	—	4	3	no	—
313	C₂×C₄	—	4	1	no	—
314	C₂×C₄	—	4	6	no	—
315	C₂×C₄	—	4	12	no	—
316	C₂×C₄	—	4	2	no	—
317	C₂×C₄	—	4	6	no	—
318	C₂×C₄	—	8	24	no	—
319	C₂×C₄	—	8	12	no	—
320	C₂×C₄	C₂×#127	1	6	yes	—
321	C₂×C₄	C₂×#127	1	6	yes	—
322	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	12	yes	—
323	C₂×C₄	#577	1	4	yes	—
324	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	#585	1	1	yes	characteristic
328	C₈	—	2	4	no	—
329	C₈	—	2	12	no	—
330	C₂²	—	4	4	no	—
331	C₂²	—	4	8	no	—
332	C₂²	—	8	4	no	—
333	C₂²	—	8	2	no	—
334	C₂²	—	8	2	no	—
335	C₂²	—	8	3	no	—
336	C₂²	—	8	6	no	—
337	C₂²	—	8	6	no	—
338	C₂²	—	8	3	no	—
339	C₂²	—	8	3	no	—
340	C₂²	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
341	C₂²	#3486	1	1	yes	characteristic
342	C₂²	#3489	1	1	yes	characteristic
343	C₂²	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
344	C₂²	C₂×#577	1	2	yes	—
345	C₄	—	2	4	no	—
346	C₄	—	2	6	no	—
347	C₄	—	4	2	no	—
348	C₄	—	4	6	no	—
349	C₄	—	8	1	no	—
350	C₄	—	8	6	no	—
351	C₄	—	8	3	no	—
352	C₄	C₂×#496	1	12	yes	—
353	C₄	#3486	1	2	yes	—
354	C₄	#3489	1	2	yes	—
355	C₂	—	8	4	no	—
356	C₂	—	16	3	no	—
357	C₂	#35927	1	1	yes	characteristic
358	C₂	C₂²×#496	1	1	yes	characteristic
359	C₂	#60646	1	1	yes	characteristic
360	C₂	#61843	1	2	yes	—
361	C₂	#62150	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄²×Q₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×Q₈×SD₁₆	C₂	semidirect
2. C₂×#3358	C₂	semidirect
3. Q₈×#127	C₂	semidirect
4. #36457	C₂	semidirect
5. #30277	C₂	semidirect
6. #28541	C₂	semidirect
7. #28520	C₂	semidirect
8. #28415	C₂	semidirect
9. #28381	C₂	semidirect
10. #23796	C₂	semidirect
11. #20572	C₂	semidirect
85. C₈×Q₈	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×Q₈×SD₁₆	2
C₂×#3358	2
Q₈×#127	2
#36457	2
#30277	2
#28541	2
#28520	2
#28415	2
#28381	2
#23796	2
#20572	2