Subgroups — #6559753

Order 512.

1332 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 426 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	Q₈×#125	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#36447	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#30307	C₂	1	3	yes	maximal
4	#29314	C₂	1	3	yes	maximal
5	#28814	C₂	1	3	yes	maximal
6	#28811	C₂	1	3	yes	maximal
7	#28792	C₂	1	3	yes	maximal
8	#28790	C₂	1	3	yes	maximal
9	#28691	C₂	1	3	yes	maximal
10	#23836	C₂	1	3	yes	maximal
11	#22740	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	#22738	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
13	Q₈×#107	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
14	Q₈×#106	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
15	#20569	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
16	C₂×#499	C₂²	1	6	yes	—
17	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#2859	C₂²	1	3	yes	—
20	#2859	C₂²	1	3	yes	—
21	#2571	C₂²	1	3	yes	—
22	#2552	C₂²	1	3	yes	—
23	#2552	C₂²	1	3	yes	—
24	#2552	C₂²	1	3	yes	—
25	#2508	—	2	3	no	—
26	#2507	—	2	3	no	—
27	#2507	—	2	3	no	—
28	#2506	—	2	3	no	—
29	#2351	—	2	1	no	—
30	Q₈×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
31	Q₈×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
32	Q₈×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
33	Q₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	Q₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	Q₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	Q₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₄×#125	C₂²	1	3	yes	—
38	C₄×#125	C₂²	1	3	yes	—
39	C₄²×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#2085	C₂²	1	3	yes	—
41	#2085	C₂²	1	6	yes	—
42	#2085	C₂²	1	3	yes	—
43	#2085	C₂²	1	3	yes	—
44	#2085	C₂²	1	3	yes	—
45	#2059	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#2059	C₂²	1	3	yes	—
47	#2059	C₂²	1	3	yes	—
48	#2059	C₂²	1	3	yes	—
49	#2059	C₂²	1	6	yes	—
50	#2059	C₂²	1	6	yes	—
51	#1991	C₂²	1	6	yes	—
52	#1948	C₂²	1	3	yes	—
53	#1948	C₂²	1	3	yes	—
54	#1948	C₂²	1	3	yes	—
55	#1948	C₂²	1	3	yes	—
56	#1947	C₂²	1	3	yes	—
57	#1947	C₂²	1	3	yes	—
58	#1947	C₂²	1	3	yes	—
59	#1947	C₂²	1	3	yes	—
60	#1942	C₂²	1	6	yes	—
61	#1941	C₂²	1	6	yes	—
62	#1845	C₂²	1	3	yes	—
63	#1844	C₂²	1	3	yes	—
64	#1834	C₂²	1	3	yes	—
65	#1834	C₂²	1	3	yes	—
66	C₄×#107	C₂²	1	3	yes	—
67	C₄×#107	C₂²	1	3	yes	—
68	C₄×#106	C₂²	1	3	yes	—
69	C₄×#106	C₂²	1	3	yes	—
70	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	3	yes	—
71	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	3	yes	—
72	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	3	yes	—
73	#1744	C₂²	1	3	yes	—
74	C₂×#125	—	2	3	no	—
75	C₂×#125	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂×#125	C₂³	1	3	yes	—
77	C₂×#125	C₂³	1	6	yes	—
78	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
79	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
80	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
81	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
82	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	#499	—	4	12	no	—
86	C₈×Q₈	Q₈	1	8	yes	—
87	C₈×Q₈	Q₈	1	8	yes	—
88	C₂×#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂×#107	C₂³	1	3	yes	—
90	C₂×#107	C₂³	1	3	yes	—
91	C₂×#107	C₂³	1	3	yes	—
92	C₂×#107	C₂³	1	6	yes	—
93	C₂×#106	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂×#106	C₂³	1	3	yes	—
95	C₂×#106	C₂³	1	3	yes	—
96	C₂×#106	C₂³	1	3	yes	—
97	C₂×#106	C₂³	1	6	yes	—
98	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
99	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
100	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	6	yes	—
101	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	3	yes	—
102	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	3	yes	—
103	#400	—	2	6	no	—
104	#398	—	2	6	no	—
105	#398	—	2	6	no	—
106	#398	—	2	6	no	—
107	#389	—	2	3	no	—
108	#389	—	2	3	no	—
109	#389	—	2	3	no	—
110	#389	—	2	3	no	—
111	#389	—	2	3	no	—
112	#389	—	2	3	no	—
113	#389	—	2	3	no	—
114	#389	—	2	3	no	—
115	#389	—	2	3	no	—
116	#389	—	2	3	no	—
117	#389	—	2	3	no	—
118	#389	—	2	3	no	—
119	#389	—	2	3	no	—
120	#389	—	2	3	no	—
121	#389	C₂³	1	1	yes	characteristic
122	#389	C₂³	1	3	yes	—
123	#389	C₂³	1	3	yes	—
124	#389	C₂³	1	3	yes	—
125	#389	C₂³	1	6	yes	—
126	#387	—	2	3	no	—
127	#387	—	2	3	no	—
128	#387	—	2	3	no	—
129	#387	—	2	3	no	—
130	#384	—	2	3	no	—
131	#384	—	2	3	no	—
132	#384	—	2	3	no	—
133	#384	C₂³	1	3	yes	—
134	#384	C₂³	1	3	yes	—
135	#384	C₂³	1	3	yes	—
136	#384	C₂³	1	3	yes	—
137	#382	—	2	3	no	—
138	#382	—	2	3	no	—
139	#382	C₂³	1	3	yes	—
140	#382	C₂³	1	3	yes	—
141	C₄×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
142	C₄×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
143	C₄×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
144	C₄×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
145	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	3	yes	—
146	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	3	yes	—
147	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
148	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
149	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
150	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
151	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
152	C₄³	C₂³	1	3	yes	—
153	#340	C₂³	1	1	yes	characteristic
154	#340	C₂³	1	1	yes	characteristic
155	#340	C₂³	1	3	yes	—
156	#340	C₂³	1	3	yes	—
157	#340	C₂³	1	3	yes	—
158	#340	C₂³	1	3	yes	—
159	#340	C₂³	1	6	yes	—
160	#340	C₂³	1	6	yes	—
161	#340	C₂³	1	3	yes	—
162	#340	C₂³	1	3	yes	—
163	#336	C₂³	1	3	yes	—
164	#336	C₂³	1	3	yes	—
165	#336	C₂³	1	1	yes	characteristic
166	#336	C₂³	1	3	yes	—
167	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
169	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
170	C₂²×C₈	C₂⁴	1	3	yes	—
171	C₂²×C₈	C₂⁴	1	3	yes	—
172	#125	—	2	2	no	—
173	#125	—	2	2	no	—
174	#125	—	2	6	no	—
175	#125	—	4	3	no	—
176	#125	—	4	6	no	—
177	#125	—	4	6	no	—
178	#125	—	8	6	no	—
179	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
180	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
181	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
182	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
183	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
184	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
185	C₄×Q₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
186	C₄×Q₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
196	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
197	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
198	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
199	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
200	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
201	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
202	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
203	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
204	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
205	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
206	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
207	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
208	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
209	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
210	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
211	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
212	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
213	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
214	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
215	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
216	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
217	C₂×C₄²	—	2	3	no	—
218	C₂×C₄²	—	2	3	no	—
219	C₂×C₄²	—	2	3	no	—
220	C₂×C₄²	—	2	3	no	—
221	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
222	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
223	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
224	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
225	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
226	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
227	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
228	#107	—	2	6	no	—
229	#107	—	2	2	no	—
230	#107	—	2	6	no	—
231	#107	—	4	3	no	—
232	#107	—	4	6	no	—
233	#106	—	2	6	no	—
234	#106	—	2	6	no	—
235	#106	—	2	2	no	—
236	#106	—	4	3	no	—
237	#106	—	4	6	no	—
238	C₄⋊C₈	C₂×Q₈	1	12	yes	—
239	C₄⋊C₈	C₂×Q₈	1	12	yes	—
240	C₄×C₈	—	4	6	no	—
241	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	12	yes	—
242	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	12	yes	—
243	#95	—	2	1	no	—
244	#95	—	2	3	no	—
245	#95	—	2	3	no	—
246	#95	—	2	3	no	—
247	#95	—	2	3	no	—
248	#95	—	2	3	no	—
249	#95	—	2	3	no	—
250	#95	—	2	3	no	—
251	#95	—	2	3	no	—
252	#95	—	2	3	no	—
253	#95	—	2	3	no	—
254	#95	—	2	3	no	—
255	#95	—	2	6	no	—
256	#95	C₂×D₄	1	6	yes	—
257	C₂×Q₈	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
258	C₂×Q₈	#135	1	4	yes	—
259	C₂×Q₈	#135	1	4	yes	—
260	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
261	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
262	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
263	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
264	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
265	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
266	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
267	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
268	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
269	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
270	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
271	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
272	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
273	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
274	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
275	C₂×C₈	—	2	3	no	—
276	C₂×C₈	—	2	3	no	—
277	C₂×C₈	—	2	1	no	—
278	C₂×C₈	—	2	3	no	—
279	C₂×C₈	—	2	1	no	—
280	C₂×C₈	—	2	3	no	—
281	C₂×C₈	—	2	1	no	—
282	C₂×C₈	—	2	1	no	—
283	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
284	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
285	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	6	yes	—
286	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	6	yes	—
287	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
288	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
293	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
294	C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
295	C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
296	C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
297	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
298	C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
299	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
300	C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
301	C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
302	C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
303	C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
304	C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
305	C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
306	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
307	C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
308	C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
309	C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
310	C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
311	C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
312	C₄⋊C₄	—	8	3	no	—
313	C₄⋊C₄	—	8	3	no	—
314	C₄⋊C₄	—	8	3	no	—
315	C₄⋊C₄	—	8	3	no	—
316	C₄⋊C₄	—	8	6	no	—
317	C₄⋊C₄	—	8	6	no	—
318	C₄⋊C₄	—	8	3	no	—
319	C₄⋊C₄	—	8	3	no	—
320	C₄⋊C₄	—	8	6	no	—
321	C₄⋊C₄	C₄⋊Q₈	1	12	yes	—
322	C₄⋊C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
323	C₄⋊C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
324	C₄⋊C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
325	C₄²	—	2	6	no	—
326	C₄²	—	2	6	no	—
327	C₄²	—	2	3	no	—
328	C₄²	—	2	1	no	—
329	C₄²	—	2	1	no	—
330	C₄²	—	2	3	no	—
331	C₄²	—	4	3	no	—
332	C₄²	—	4	3	no	—
333	C₄²	—	4	6	no	—
334	C₄²	—	4	6	no	—
335	C₄²	—	4	6	no	—
336	C₄²	—	4	6	no	—
337	C₄²	C₂²×Q₈	1	6	yes	—
338	C₄²	C₂²×Q₈	1	6	yes	—
339	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
340	Q₈	#499	1	16	yes	complemented
341	C₂×C₄	—	2	3	no	—
342	C₂×C₄	—	2	3	no	—
343	C₂×C₄	—	2	1	no	—
344	C₂×C₄	—	2	3	no	—
345	C₂×C₄	—	2	1	no	—
346	C₂×C₄	—	2	3	no	—
347	C₂×C₄	—	2	1	no	—
348	C₂×C₄	—	2	1	no	—
349	C₂×C₄	—	2	2	no	—
350	C₂×C₄	—	2	2	no	—
351	C₂×C₄	—	2	3	no	—
352	C₂×C₄	—	2	3	no	—
353	C₂×C₄	—	2	2	no	—
354	C₂×C₄	—	2	1	no	—
355	C₂×C₄	—	2	1	no	—
356	C₂×C₄	—	2	3	no	—
357	C₂×C₄	—	2	3	no	—
358	C₂×C₄	—	4	1	no	—
359	C₂×C₄	—	4	1	no	—
360	C₂×C₄	—	4	1	no	—
361	C₂×C₄	—	4	1	no	—
362	C₂×C₄	—	4	1	no	—
363	C₂×C₄	—	4	1	no	—
364	C₂×C₄	—	4	3	no	—
365	C₂×C₄	—	4	3	no	—
366	C₂×C₄	—	4	3	no	—
367	C₂×C₄	—	4	1	no	—
368	C₂×C₄	—	4	3	no	—
369	C₂×C₄	—	4	3	no	—
370	C₂×C₄	—	4	1	no	—
371	C₂×C₄	—	4	3	no	—
372	C₂×C₄	—	4	3	no	—
373	C₂×C₄	—	4	3	no	—
374	C₂×C₄	—	4	1	no	—
375	C₂×C₄	—	4	3	no	—
376	C₂×C₄	—	4	3	no	—
377	C₂×C₄	—	4	3	no	—
378	C₂×C₄	—	4	3	no	—
379	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	6	yes	—
380	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	6	yes	—
381	C₂×C₄	C₂×#135	1	6	yes	—
382	C₂×C₄	C₂×#135	1	6	yes	—
383	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
384	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
385	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
386	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
387	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
388	C₂×C₄	#585	1	1	yes	characteristic
389	C₈	—	2	2	no	—
390	C₈	—	2	2	no	—
391	C₈	—	2	6	no	—
392	C₈	—	2	6	no	—
393	C₂²	C₂²×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
394	C₂²	#3486	1	1	yes	characteristic
395	C₂²	#3488	1	1	yes	characteristic
396	C₂²	C₂²×#135	1	1	yes	characteristic
397	C₂²	C₂²×#135	1	1	yes	characteristic
398	C₂²	#3585	1	1	yes	characteristic
399	C₂²	#3586	1	1	yes	characteristic
400	C₄	—	2	6	no	—
401	C₄	—	4	3	no	—
402	C₄	—	4	2	no	—
403	C₄	—	4	3	no	—
404	C₄	—	4	1	no	—
405	C₄	—	4	2	no	—
406	C₄	—	4	1	no	—
407	C₄	—	4	2	no	—
408	C₄	—	8	3	no	—
409	C₄	—	8	3	no	—
410	C₄	—	8	3	no	—
411	C₄	—	8	3	no	—
412	C₄	—	8	1	no	—
413	C₄	C₂×#499	1	12	yes	—
414	C₄	#3502	1	1	yes	characteristic
415	C₄	#3502	1	1	yes	characteristic
416	C₄	#3503	1	1	yes	characteristic
417	C₄	#3503	1	1	yes	characteristic
418	C₂	#35937	1	1	yes	characteristic
419	C₂	C₂²×#499	1	1	yes	characteristic
420	C₂	#60668	1	1	yes	characteristic
421	C₂	#61823	1	1	yes	characteristic
422	C₂	#61824	1	1	yes	characteristic
423	C₂	#61957	1	1	yes	characteristic
424	C₂	#61958	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle, prime radical	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄²×Q₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
340. Q₈	#499	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
Q₈×#125	2
#36447	2
#30307	2
#29314	2
#28814	2
#28811	2
#28792	2
#28790	2
#28691	2
#23836	2
#22740	2
#22738	2
Q₈×#107	2
Q₈×#106	2
#20569	2