Subgroups — #6570525

Order 512.

2592 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 358 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3392	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#3362	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#36592	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#36474	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#30259	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
6	#28461	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
7	#28441	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
8	#28404	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
9	#28370	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
10	#23799	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
11	#20569	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×Q₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#557	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#550	—	2	2	no	—
15	C₂×#550	C₂²	1	2	yes	—
16	#3392	—	2	16	no	—
17	#3362	—	2	16	no	—
18	C₂×#492	C₂²	1	6	yes	—
19	C₂×#492	C₂²	1	6	yes	—
20	C₂×#486	C₂²	1	6	yes	—
21	C₂×#476	C₂²	1	6	yes	—
22	C₂×#460	C₂²	1	6	yes	—
23	C₂×#460	C₂²	1	6	yes	—
24	C₂×#461	C₂²	1	6	yes	—
25	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₄×SD₁₆	C₂²	1	6	yes	—
27	C₂×C₄×SD₁₆	C₂²	1	6	yes	—
28	#2867	C₂²	1	3	yes	—
29	#2862	C₂²	1	3	yes	—
30	#2567	C₂²	1	3	yes	—
31	#2550	—	2	6	no	—
32	#2546	C₂²	1	3	yes	—
33	#2541	—	2	6	no	—
34	#2541	C₂²	1	6	yes	—
35	#2351	—	2	2	no	—
36	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	3	yes	—
37	C₄×#127	C₂²	1	3	yes	—
38	C₄²×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#2096	C₂²	1	3	yes	—
40	#2096	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#2094	C₂²	1	6	yes	—
42	#2014	C₂²	1	3	yes	—
43	#2014	C₂²	1	6	yes	—
44	#2014	C₂²	1	12	yes	—
45	#2014	C₂²	1	3	yes	—
46	#2013	C₂²	1	6	yes	—
47	#1968	C₂²	1	12	yes	—
48	#1957	C₂²	1	6	yes	—
49	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	6	yes	—
50	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	3	yes	—
51	#1744	C₂²	1	3	yes	—
52	C₂²×#41	—	2	2	no	—
53	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	6	yes	—
54	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	6	yes	—
55	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	12	yes	—
56	Q₈²	—	2	8	no	—
57	#557	—	2	8	no	—
58	#550	—	2	8	no	—
59	#550	—	2	8	no	—
60	#550	—	4	16	no	—
61	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	3	no	—
62	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	3	yes	—
63	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	3	yes	—
64	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	3	yes	—
65	C₂×#127	—	2	6	no	—
66	C₂×#127	—	2	6	no	—
67	C₂×#127	C₂³	1	6	yes	—
68	C₂×#127	C₂³	1	3	yes	—
69	C₂×#127	C₂³	1	6	yes	—
70	C₂×#125	—	2	3	no	—
71	C₂×#121	—	2	12	no	—
72	C₂×#121	—	2	6	no	—
73	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
74	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
75	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
76	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	3	yes	—
77	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	3	yes	—
78	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂×C₄×D₄	—	2	6	no	—
80	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	6	yes	—
81	#492	—	2	24	no	—
82	#492	—	4	12	no	—
83	#486	—	2	24	no	—
84	#476	—	2	24	no	—
85	#461	—	2	24	no	—
86	#460	—	2	24	no	—
87	#460	—	2	24	no	—
88	C₈×Q₈	D₄	1	16	yes	complemented
89	C₄×SD₁₆	—	2	24	no	—
90	C₄×SD₁₆	—	2	24	no	—
91	C₂×#106	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂×#106	C₂³	1	6	yes	—
93	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	6	yes	—
94	C₂×#103	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂×#103	C₂³	1	6	yes	—
96	C₂×#102	C₂³	1	6	yes	—
97	C₂×#102	C₂³	1	6	yes	—
98	C₂×#102	C₂³	1	12	yes	—
99	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	6	yes	—
100	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	6	yes	—
101	#398	—	2	6	no	—
102	#395	—	2	6	no	—
103	#392	—	2	12	no	—
104	#391	—	2	6	no	—
105	#391	C₂³	1	1	yes	characteristic
106	#391	C₂³	1	3	yes	—
107	#391	C₂³	1	6	yes	—
108	#390	—	2	6	no	—
109	#390	C₂³	1	6	yes	—
110	#389	—	2	6	no	—
111	#389	—	2	6	no	—
112	#389	—	2	6	no	—
113	#384	C₂³	1	1	yes	characteristic
114	#384	C₂³	1	3	yes	—
115	#382	—	2	6	no	—
116	C₄×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
117	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	6	yes	—
118	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
119	C₄³	C₂³	1	3	yes	—
120	#336	C₂³	1	6	yes	—
121	#336	C₂³	1	1	yes	characteristic
122	#336	C₂³	1	3	yes	—
123	C₂×#41	—	4	8	no	—
124	C₂×#41	—	4	16	no	—
125	C₂²×Q₈	—	2	3	no	—
126	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	3	yes	—
128	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
129	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
130	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
131	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
132	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
133	C₂²×D₄	C₂⁴	1	6	yes	—
134	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
135	C₂×SD₁₆	—	2	12	no	—
136	C₂×SD₁₆	—	2	12	no	—
137	C₂×SD₁₆	—	2	12	no	—
138	C₂×SD₁₆	—	2	24	no	—
139	C₂×SD₁₆	—	4	6	no	—
140	C₂×SD₁₆	—	4	6	no	—
141	C₂×SD₁₆	—	4	6	no	—
142	C₂×SD₁₆	—	4	12	no	—
143	C₂×SD₁₆	—	4	12	no	—
144	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
145	C₂²×C₈	C₂⁴	1	6	yes	—
146	C₄⋊Q₈	—	2	6	no	—
147	C₄⋊Q₈	—	2	12	no	—
148	C₄⋊Q₈	—	2	12	no	—
149	C₄⋊Q₈	—	4	3	no	—
150	C₄⋊Q₈	—	4	12	no	—
151	#127	—	2	12	no	—
152	#127	—	2	12	no	—
153	#127	—	4	6	no	—
154	#127	—	4	6	no	—
155	#127	—	4	6	no	—
156	#127	—	4	24	no	—
157	#127	—	8	12	no	—
158	#125	—	4	12	no	—
159	#121	—	4	24	no	—
160	#121	—	4	48	no	—
161	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
162	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
163	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
164	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
165	C₄×Q₈	SD₁₆	1	16	yes	complemented
166	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
167	C₄×D₄	—	2	12	no	—
168	C₄×D₄	—	2	12	no	—
169	C₄×D₄	—	4	24	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
179	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
180	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
181	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
185	C₂×C₄²	—	2	3	no	—
186	C₂×C₄²	—	2	3	no	—
187	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	6	yes	—
188	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	6	yes	—
189	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
191	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
192	#106	—	2	4	no	—
193	#106	—	2	12	no	—
194	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	24	yes	—
195	#103	—	2	4	no	—
196	#103	—	2	12	no	—
197	#102	—	2	12	no	—
198	#102	—	2	12	no	—
199	#102	—	2	24	no	—
200	C₄×C₈	—	4	6	no	—
201	C₄×C₈	C₂×D₄	1	24	yes	—
202	#95	—	2	2	no	—
203	#95	—	2	6	no	—
204	#95	—	2	12	no	—
205	#95	C₂×D₄	1	6	yes	—
206	C₂⁴	—	2	6	no	—
207	#41	—	8	32	no	—
208	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
209	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
210	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
211	C₂×Q₈	—	2	3	no	—
212	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
213	C₂×Q₈	—	2	3	no	—
214	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
215	C₂×Q₈	—	4	6	no	—
216	C₂×Q₈	—	8	6	no	—
217	C₂×Q₈	#127	1	4	yes	—
218	C₂×Q₈	C₂×SD₁₆	1	8	yes	—
219	C₂×Q₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
220	C₂×D₄	—	2	6	no	—
221	C₂×D₄	—	2	6	no	—
222	C₂×D₄	—	2	6	no	—
223	C₂×D₄	—	2	6	no	—
224	C₂×D₄	—	2	6	no	—
225	C₂×D₄	—	2	6	no	—
226	C₂×D₄	—	4	12	no	—
227	C₂×D₄	—	4	12	no	—
228	C₂×D₄	—	4	12	no	—
229	C₂×D₄	—	4	12	no	—
230	C₂×D₄	—	4	12	no	—
231	C₂×D₄	—	4	24	no	—
232	C₂×D₄	—	4	24	no	—
233	C₂×D₄	—	8	12	no	—
234	C₂×D₄	—	8	12	no	—
235	C₂×D₄	—	8	12	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	24	no	—
243	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
248	SD₁₆	—	4	24	no	—
249	SD₁₆	—	4	24	no	—
250	SD₁₆	—	8	24	no	—
251	C₂×C₈	—	2	6	no	—
252	C₂×C₈	—	2	2	no	—
253	C₂×C₈	—	2	2	no	—
254	C₂×C₈	—	2	6	no	—
255	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
256	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	12	yes	—
257	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
258	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
259	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
260	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
261	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
262	C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
263	C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
264	C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
265	C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
266	C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
267	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
268	C₄⋊C₄	—	8	6	no	—
269	C₄⋊C₄	#127	1	12	yes	—
270	C₄⋊C₄	C₂×SD₁₆	1	24	yes	—
271	C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	4	24	no	—
273	C₄²	—	2	3	no	—
274	C₄²	—	2	2	no	—
275	C₄²	—	2	3	no	—
276	C₄²	—	4	6	no	—
277	C₄²	—	4	6	no	—
278	C₄²	—	4	6	no	—
279	C₄²	C₂×SD₁₆	1	24	yes	—
280	C₄²	C₂²×D₄	1	12	yes	—
281	C₂³	—	4	12	no	—
282	C₂³	—	4	6	no	—
283	C₂³	—	4	6	no	—
284	C₂³	—	4	6	no	—
285	C₂³	—	4	12	no	—
286	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
287	Q₈	—	2	4	no	—
288	Q₈	—	4	2	no	—
289	Q₈	—	4	6	no	—
290	Q₈	—	4	6	no	—
291	Q₈	—	16	6	no	—
292	Q₈	#492	1	16	yes	complemented
293	D₄	—	4	6	no	—
294	D₄	—	4	6	no	—
295	D₄	—	4	6	no	—
296	D₄	—	4	6	no	—
297	D₄	—	8	24	no	—
298	D₄	—	8	24	no	—
299	D₄	—	16	12	no	—
300	D₄	—	16	24	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	6	no	—
303	C₂×C₄	—	2	6	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	6	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	4	1	no	—
308	C₂×C₄	—	4	1	no	—
309	C₂×C₄	—	4	2	no	—
310	C₂×C₄	—	4	6	no	—
311	C₂×C₄	—	4	1	no	—
312	C₂×C₄	—	4	3	no	—
313	C₂×C₄	—	4	3	no	—
314	C₂×C₄	—	4	2	no	—
315	C₂×C₄	—	4	3	no	—
316	C₂×C₄	—	4	3	no	—
317	C₂×C₄	—	4	4	no	—
318	C₂×C₄	—	8	24	no	—
319	C₂×C₄	C₂×#127	1	6	yes	—
320	C₂×C₄	C₂×#127	1	6	yes	—
321	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	4	yes	—
322	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	12	yes	—
323	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	12	yes	—
324	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	#585	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	#585	1	2	yes	—
328	C₈	—	2	4	no	—
329	C₈	—	2	12	no	—
330	C₂²	—	8	12	no	—
331	C₂²	—	8	6	no	—
332	C₂²	—	8	6	no	—
333	C₂²	—	8	6	no	—
334	C₂²	—	8	12	no	—
335	C₂²	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
336	C₂²	#3487	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	#3488	1	1	yes	characteristic
338	C₂²	C₂³×SD₁₆	1	2	yes	—
339	C₂²	#3585	1	2	yes	—
340	C₄	—	2	4	no	—
341	C₄	—	2	6	no	—
342	C₄	—	2	12	no	—
343	C₄	—	4	2	no	—
344	C₄	—	8	2	no	—
345	C₄	—	8	3	no	—
346	C₄	—	8	1	no	—
347	C₄	—	8	3	no	—
348	C₄	C₂×#492	1	12	yes	—
349	C₄	#3487	1	2	yes	—
350	C₄	#3488	1	2	yes	—
351	C₂	—	16	6	no	—
352	C₂	#36066	1	1	yes	characteristic
353	C₂	C₂²×#492	1	1	yes	characteristic
354	C₂	#60650	1	1	yes	characteristic
355	C₂	#61881	1	2	yes	—
356	C₂	#61951	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	#36592	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄²×Q₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3392	C₂	semidirect
2. C₂×#3362	C₂	semidirect
4. #36474	C₂	semidirect
5. #30259	C₂	semidirect
6. #28461	C₂	semidirect
7. #28441	C₂	semidirect
8. #28404	C₂	semidirect
9. #28370	C₂	semidirect
10. #23799	C₂	semidirect
11. #20569	C₂	semidirect
88. C₈×Q₈	D₄	semidirect
165. C₄×Q₈	SD₁₆	semidirect
292. Q₈	#492	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3392	2
C₂×#3362	2
#36592	2
#36474	2
#30259	2
#28461	2
#28441	2
#28404	2
#28370	2
#23799	2
#20569	2