Subgroups — Q₁₆×#120 #6573470

Order 512.

4620 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 400 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂⁴×Q₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×D₄×Q₁₆	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
3	Q₈×#120	C₂	1	2	yes	maximal
4	#32931	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#32882	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#25780	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
7	#24360	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
8	#24268	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
9	#23856	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
10	C₂²⋊C₄×Q₁₆	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
11	C₈×#120	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂⁴×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂³×Q₁₆	—	2	24	no	—
14	C₂³×Q₁₆	C₂²	1	6	yes	—
15	C₂³×Q₁₆	C₂²	1	3	yes	—
16	C₂³×Q₁₆	C₂²	1	3	yes	—
17	C₂³×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
18	C₂⁴×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×D₄×Q₈	C₂²	1	6	yes	—
20	D₄×Q₁₆	—	2	24	no	—
21	C₂×#494	C₂²	1	3	yes	complemented
22	C₂×#467	C₂²	1	3	yes	—
23	C₂×#467	C₂²	1	3	yes	complemented
24	C₂×#462	C₂²	1	6	yes	complemented
25	C₂×#451	C₂²	1	6	yes	—
26	C₂×#451	C₂²	1	6	yes	—
27	C₂×#451	C₂²	1	6	yes	complemented
28	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	3	yes	complemented
29	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	3	yes	—
30	#2848	—	2	2	no	—
31	#2848	C₂²	1	2	yes	—
32	#2434	—	2	6	no	—
33	#2434	C₂²	1	6	yes	—
34	#2409	—	2	6	no	—
35	#2409	C₂²	1	6	yes	—
36	Q₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	6	yes	—
37	C₄×#120	—	2	2	no	—
38	C₄×#120	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#2056	C₂²	1	6	yes	complemented
40	#2016	C₂²	1	12	yes	complemented
41	#2001	C₂²	1	6	yes	complemented
42	#1969	C₂²	1	6	yes	complemented
43	#1892	C₂²	1	6	yes	—
44	#1878	C₂²	1	12	yes	complemented
45	#1869	C₂²	1	3	yes	—
46	#1850	C₂²	1	3	yes	—
47	#1808	C₂²	1	3	yes	—
48	#1787	C₂²	1	6	yes	—
49	#1787	C₂²	1	6	yes	—
50	#1779	C₂²	1	1	yes	characteristic
51	C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	3	yes	—
52	C₂³×Q₈	—	2	6	no	—
53	C₂³×Q₈	—	2	24	no	—
54	C₂³×Q₈	—	4	12	no	—
55	C₂³×Q₈	C₂³	1	6	yes	—
56	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂³×Q₈	C₂³	1	6	yes	—
58	C₂⁴×C₄	—	2	2	no	—
59	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×Q₁₆	—	2	128	no	—
61	C₂²×Q₁₆	—	2	24	no	—
62	C₂²×Q₁₆	—	2	48	no	—
63	C₂²×Q₁₆	—	2	24	no	—
64	C₂²×Q₁₆	—	2	24	no	—
65	C₂²×Q₁₆	—	2	12	no	—
66	C₂²×Q₁₆	—	2	12	no	—
67	C₂²×Q₁₆	D₄	1	24	yes	complemented
68	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	6	yes	—
69	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	3	yes	—
72	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	6	yes	—
73	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	6	yes	—
74	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂³×C₈	—	2	12	no	—
76	C₂³×C₈	C₂³	1	3	yes	—
77	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂³×C₈	C₂³	1	3	yes	—
79	D₄×Q₈	—	2	24	no	—
80	D₄×Q₈	—	4	12	no	—
81	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	6	no	—
82	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	6	yes	—
83	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	6	no	—
84	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	6	no	—
85	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	6	yes	—
86	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	6	yes	—
87	C₂×#120	D₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	6	yes	—
89	C₂×C₄×D₄	—	2	6	no	—
90	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	3	yes	—
91	#494	—	2	12	no	—
92	#467	—	2	12	no	—
93	#467	—	2	12	no	—
94	#462	—	2	24	no	—
95	#451	—	2	24	no	—
96	#451	—	2	24	no	—
97	#451	—	4	12	no	—
98	C₄×Q₁₆	—	2	12	no	—
99	C₈×D₄	—	2	12	no	—
100	C₂×#107	C₂³	1	3	yes	—
101	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
102	C₂×#103	C₂³	1	6	yes	—
103	C₂×#103	C₂³	1	6	yes	—
104	C₂×#103	C₂³	1	6	yes	—
105	C₂×#103	C₂³	1	12	yes	—
106	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
107	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
108	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
109	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	3	yes	—
110	#395	—	2	6	no	—
111	#395	—	2	12	no	—
112	#393	—	2	6	no	—
113	#391	—	2	12	no	—
114	#391	C₂³	1	12	yes	—
115	#386	—	2	6	no	—
116	#386	D₄	1	3	yes	—
117	#385	—	2	6	no	—
118	#385	—	2	6	no	—
119	#385	—	2	6	no	—
120	#385	—	2	6	no	—
121	#385	D₄	1	3	yes	—
122	#380	—	2	6	no	—
123	#380	C₂³	1	6	yes	—
124	#379	—	2	2	no	—
125	#379	D₄	1	1	yes	characteristic
126	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
127	C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
128	#340	C₂³	1	6	yes	—
129	#336	C₂³	1	6	yes	—
130	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂²×Q₈	—	2	6	no	—
132	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
133	C₂²×Q₈	—	2	6	no	—
134	C₂²×Q₈	—	2	12	no	—
135	C₂²×Q₈	—	2	64	no	—
136	C₂²×Q₈	—	2	24	no	—
137	C₂²×Q₈	—	2	24	no	—
138	C₂²×Q₈	—	2	12	no	—
139	C₂²×Q₈	—	2	12	no	—
140	C₂²×Q₈	—	2	12	no	—
141	C₂²×Q₈	—	4	24	no	—
142	C₂²×Q₈	—	4	12	no	—
143	C₂²×Q₈	—	4	12	no	—
144	C₂²×Q₈	—	4	6	no	—
145	C₂²×Q₈	—	4	48	no	—
146	C₂²×Q₈	—	4	96	no	—
147	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	24	yes	—
148	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
149	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	6	yes	—
150	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
151	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
152	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
153	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
154	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
155	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
156	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
157	C₂³×C₄	—	4	24	no	—
158	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
159	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
160	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
161	C₂×Q₁₆	—	2	192	no	—
162	C₂×Q₁₆	—	2	96	no	—
163	C₂×Q₁₆	—	2	24	no	—
164	C₂×Q₁₆	—	2	24	no	—
165	C₂×Q₁₆	—	2	96	no	—
166	C₂×Q₁₆	—	2	12	no	—
167	C₂×Q₁₆	—	2	12	no	—
168	C₂×Q₁₆	—	2	12	no	—
169	C₂×Q₁₆	—	2	12	no	—
170	C₂×Q₁₆	—	2	6	no	—
171	C₂×Q₁₆	—	4	12	no	—
172	C₂×Q₁₆	—	4	16	no	—
173	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	24	yes	—
174	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	12	yes	—
175	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	12	yes	—
176	C₂²×C₈	—	2	32	no	—
177	C₂²×C₈	—	2	6	no	—
178	C₂²×C₈	—	2	12	no	—
179	C₂²×C₈	—	2	12	no	—
180	C₂²×C₈	—	2	6	no	—
181	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	12	yes	—
182	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
183	C₂²×C₈	C₂⁴	1	3	yes	—
184	C₂²×C₈	C₂⁴	1	3	yes	—
185	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
186	C₄⋊Q₈	—	2	12	no	—
187	C₄⋊Q₈	—	4	6	no	—
188	C₄⋊Q₈	—	4	24	no	—
189	C₂²⋊Q₈	—	2	12	no	—
190	C₂²⋊Q₈	—	2	12	no	—
191	C₂²⋊Q₈	—	2	12	no	—
192	C₂²⋊Q₈	—	4	24	no	—
193	C₂²⋊Q₈	—	4	24	no	—
194	C₂²⋊Q₈	—	4	6	no	—
195	#120	Q₁₆	1	8	yes	direct product factor
196	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
197	C₄×Q₈	—	4	6	no	—
198	C₄×D₄	—	2	6	no	—
199	C₄×D₄	—	2	6	no	—
200	C₄×D₄	—	4	24	no	—
201	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
202	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
203	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
204	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
205	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
206	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
207	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
208	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
209	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
210	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
211	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
212	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
213	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
214	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
215	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
216	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
217	#107	—	2	6	no	—
218	C₄⋊C₈	—	2	6	no	—
219	#103	—	2	12	no	—
220	#103	—	2	12	no	—
221	#103	—	2	12	no	—
222	#103	—	4	12	no	—
223	C₂²⋊C₈	—	2	6	no	—
224	C₂²⋊C₈	—	2	6	no	—
225	C₂²⋊C₈	—	2	6	no	—
226	C₄×C₈	—	2	6	no	—
227	#95	—	2	12	no	—
228	#95	—	2	12	no	—
229	#95	—	2	6	no	—
230	#95	C₂×D₄	1	6	yes	—
231	C₂⁴	—	2	6	no	—
232	C₂⁴	—	2	6	no	—
233	C₂⁴	C₂×Q₁₆	1	4	yes	complemented
234	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂⁴	C₂²×D₄	1	3	yes	—
236	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
237	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
238	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
239	C₂×Q₈	—	2	48	no	—
240	C₂×Q₈	—	2	48	no	—
241	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
242	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
243	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
244	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
245	C₂×Q₈	—	4	24	no	—
246	C₂×Q₈	—	4	24	no	—
247	C₂×Q₈	—	4	12	no	—
248	C₂×Q₈	—	4	24	no	—
249	C₂×Q₈	—	4	48	no	—
250	C₂×Q₈	—	4	48	no	—
251	C₂×Q₈	—	4	192	no	—
252	C₂×Q₈	—	4	24	no	—
253	C₂×Q₈	—	4	12	no	—
254	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
255	C₂×Q₈	—	8	12	no	—
256	C₂×Q₈	C₂²×D₄	1	12	yes	—
257	C₂×Q₈	C₂²×D₄	1	12	yes	—
258	C₂×D₄	—	2	6	no	—
259	C₂×D₄	—	2	6	no	—
260	C₂×D₄	C₂×Q₁₆	1	12	yes	complemented
261	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
262	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
263	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
264	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
266	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
267	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
268	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
269	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
270	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
271	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
272	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
273	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂²×C₄	—	4	24	no	—
275	C₂²×C₄	—	4	24	no	—
276	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
277	C₂²×C₄	—	4	64	no	—
278	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
279	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
280	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
281	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
282	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
283	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
284	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	6	yes	—
285	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
286	Q₁₆	—	2	48	no	—
287	Q₁₆	—	2	48	no	—
288	Q₁₆	—	2	24	no	—
289	Q₁₆	—	4	8	no	—
290	Q₁₆	—	4	4	no	—
291	Q₁₆	—	8	12	no	—
292	Q₁₆	#120	1	16	yes	direct product factor
293	C₂×C₈	—	2	24	no	—
294	C₂×C₈	—	2	6	no	—
295	C₂×C₈	—	2	24	no	—
296	C₂×C₈	—	2	3	no	—
297	C₂×C₈	—	2	3	no	—
298	C₂×C₈	—	2	6	no	—
299	C₂×C₈	—	4	4	no	—
300	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	6	yes	—
301	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	6	yes	—
302	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
303	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
304	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
305	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
306	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
307	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
308	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
309	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
310	C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
312	C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
313	C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
314	C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
315	C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
316	C₂²⋊C₄	C₂×Q₁₆	1	12	yes	complemented
317	C₄²	—	2	3	no	—
318	C₄²	—	2	3	no	—
319	C₄²	—	4	12	no	—
320	C₂³	—	2	8	no	—
321	C₂³	—	2	24	no	—
322	C₂³	—	2	6	no	—
323	C₂³	—	2	24	no	—
324	C₂³	—	2	6	no	—
325	C₂³	—	2	3	no	—
326	C₂³	—	2	3	no	—
327	C₂³	D₄²	1	6	yes	—
328	C₂³	C₂²×Q₁₆	1	6	yes	—
329	C₂³	C₂²×Q₁₆	1	2	yes	complemented
330	C₂³	#578	1	6	yes	—
331	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
332	Q₈	—	2	12	no	—
333	Q₈	—	2	12	no	—
334	Q₈	—	2	12	no	—
335	Q₈	—	4	48	no	—
336	Q₈	—	4	48	no	—
337	Q₈	—	4	12	no	—
338	Q₈	—	4	2	no	—
339	Q₈	—	4	6	no	—
340	Q₈	—	8	8	no	—
341	Q₈	C₂×#120	1	8	yes	—
342	D₄	—	2	24	no	—
343	C₂×C₄	—	2	24	no	—
344	C₂×C₄	—	2	3	no	—
345	C₂×C₄	—	2	12	no	—
346	C₂×C₄	—	2	6	no	—
347	C₂×C₄	—	2	3	no	—
348	C₂×C₄	—	2	6	no	—
349	C₂×C₄	—	2	6	no	—
350	C₂×C₄	—	2	12	no	—
351	C₂×C₄	—	2	3	no	—
352	C₂×C₄	—	2	3	no	—
353	C₂×C₄	—	2	12	no	—
354	C₂×C₄	—	2	6	no	—
355	C₂×C₄	—	4	48	no	—
356	C₂×C₄	—	4	48	no	—
357	C₂×C₄	—	4	12	no	—
358	C₂×C₄	—	4	1	no	—
359	C₂×C₄	—	4	3	no	—
360	C₂×C₄	—	4	6	no	—
361	C₂×C₄	—	4	6	no	—
362	C₂×C₄	—	4	12	no	—
363	C₂×C₄	—	8	8	no	—
364	C₂×C₄	D₄²	1	6	yes	—
365	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	6	yes	complemented
366	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	3	yes	—
367	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	3	yes	—
368	C₈	—	2	6	no	—
369	C₈	—	4	1	no	—
370	C₈	—	4	3	no	—
371	C₈	C₂×#120	1	4	yes	—
372	C₂²	—	2	32	no	—
373	C₂²	—	2	12	no	—
374	C₂²	—	2	6	no	—
375	C₂²	—	2	12	no	—
376	C₂²	—	2	6	no	—
377	C₂²	—	2	6	no	—
378	C₂²	—	4	3	no	—
379	C₂²	—	4	1	no	—
380	C₂²	D₄×Q₁₆	1	12	yes	complemented
381	C₂²	C₂×D₄²	1	3	yes	—
382	C₂²	C₂³×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
383	C₂²	C₂×#578	1	3	yes	—
384	C₄	—	2	6	no	—
385	C₄	—	2	6	no	—
386	C₄	—	2	8	no	—
387	C₄	—	4	3	no	—
388	C₄	—	4	1	no	—
389	C₄	—	4	12	no	—
390	C₄	—	8	6	no	—
391	C₄	—	8	2	no	—
392	C₄	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
393	C₄	#3484	1	3	yes	—
394	C₂	—	2	12	no	—
395	C₂	—	4	2	no	—
396	C₂	D₄×#120	1	1	yes	characteristic
397	C₂	C₂×D₄×Q₁₆	1	3	yes	—
398	C₂	#61053	1	3	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂×#120	D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×#120 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂⁴×Q₁₆	C₂	semidirect
2. C₂×D₄×Q₁₆	C₂	semidirect
4. #32931	C₂	semidirect
5. #32882	C₂	semidirect
6. #25780	C₂	semidirect
7. #24360	C₂	semidirect
8. #24268	C₂	semidirect
9. #23856	C₂	semidirect
10. C₂²⋊C₄×Q₁₆	C₂	semidirect
17. C₂³×Q₁₆	C₂²	semidirect
21. C₂×#494	C₂²	semidirect
23. C₂×#467	C₂²	semidirect
24. C₂×#462	C₂²	semidirect
27. C₂×#451	C₂²	semidirect
28. C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	semidirect
39. #2056	C₂²	semidirect
40. #2016	C₂²	semidirect
41. #2001	C₂²	semidirect
42. #1969	C₂²	semidirect
44. #1878	C₂²	semidirect
67. C₂²×Q₁₆	D₄	semidirect
195. #120	Q₁₆	direct (N × H)
233. C₂⁴	C₂×Q₁₆	semidirect
260. C₂×D₄	C₂×Q₁₆	semidirect
292. Q₁₆	#120	direct (N × H)
316. C₂²⋊C₄	C₂×Q₁₆	semidirect
329. C₂³	C₂²×Q₁₆	semidirect
365. C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	semidirect
380. C₂²	D₄×Q₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂⁴×Q₁₆	2
C₂×D₄×Q₁₆	2
Q₈×#120	2
#32931	2
#32882	2
#25780	2
#24360	2
#24268	2
#23856	2
C₂²⋊C₄×Q₁₆	2
C₈×#120	2

Subgroups — Q16×#120 #6573470

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — Q₁₆×#120 #6573470