Subgroups — #6573512

Order 512.

4619 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 412 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#578	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#3280	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
3	#36078	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#32933	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#32885	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#25782	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
7	#24377	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
8	#24268	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
9	#23862	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
10	#22448	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
11	#21442	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×2₋¹⁺⁴	C₂²	1	2	yes	complemented
13	C₂×#578	—	2	24	no	—
14	C₂²×#137	C₂²	1	6	yes	complemented
15	C₂²×#135	C₂²	1	3	yes	—
16	C₂³×Q₁₆	C₂²	1	3	yes	complemented
17	C₂³×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
19	C₂×#546	C₂²	1	6	yes	—
20	#3280	—	2	24	no	—
21	C₂×#495	C₂²	1	3	yes	—
22	C₂×#467	C₂²	1	3	yes	—
23	C₂×#466	C₂²	1	3	yes	—
24	C₂×#463	C₂²	1	6	yes	—
25	C₂×#449	C₂²	1	6	yes	—
26	C₂×#448	C₂²	1	6	yes	complemented
27	C₂×#450	C₂²	1	6	yes	—
28	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	3	yes	—
29	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	3	yes	—
30	#2615	C₂²	1	2	yes	complemented
31	#2614	—	2	2	no	—
32	#2436	C₂²	1	6	yes	complemented
33	#2430	—	2	6	no	—
34	#2409	C₂²	1	6	yes	—
35	#2404	—	2	6	no	—
36	#2388	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×#393	—	2	2	no	—
38	#2339	C₂²	1	6	yes	complemented
39	#2056	C₂²	1	6	yes	complemented
40	#2015	C₂²	1	12	yes	complemented
41	#2001	C₂²	1	6	yes	—
42	#1969	C₂²	1	6	yes	complemented
43	#1895	C₂²	1	6	yes	complemented
44	#1877	C₂²	1	12	yes	complemented
45	#1870	C₂²	1	3	yes	—
46	#1851	C₂²	1	3	yes	complemented
47	#1808	C₂²	1	3	yes	complemented
48	#1788	C₂²	1	6	yes	complemented
49	#1787	C₂²	1	6	yes	complemented
50	#1780	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
51	C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	3	yes	complemented
52	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	24	no	—
53	C₂×2₋¹⁺⁴	—	4	12	no	—
54	C₂²×#41	—	2	6	no	—
55	C₂²×#41	C₂³	1	6	yes	—
56	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂³×Q₈	—	2	2	no	—
58	C₂³×Q₈	C₂³	1	6	yes	—
59	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
60	#578	—	2	128	no	—
61	C₂×#137	—	2	24	no	—
62	C₂×#137	—	2	48	no	—
63	C₂×#135	—	2	24	no	—
64	C₂×#135	D₄	1	24	yes	complemented
65	C₂²×Q₁₆	—	2	24	no	—
66	C₂²×Q₁₆	—	2	12	no	—
67	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	6	yes	—
68	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	3	yes	—
69	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	6	yes	—
70	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	6	yes	—
71	C₂²×D₈	—	2	12	no	—
72	C₂²×D₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂²×D₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂×#131	—	2	12	no	—
76	C₂²×M₁₆	C₂³	1	3	yes	—
77	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂³×C₈	C₂³	1	3	yes	—
79	#546	—	2	24	no	—
80	#546	—	4	12	no	—
81	C₂×#124	C₂³	1	6	yes	—
82	C₂×#123	—	2	6	no	—
83	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	6	yes	—
84	C₂×#121	—	2	6	no	—
85	C₂×#121	C₂³	1	6	yes	—
86	C₂×#120	—	2	6	no	—
87	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	6	yes	—
88	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	3	yes	—
89	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
90	#495	—	2	12	no	—
91	#467	—	2	12	no	—
92	#466	—	2	12	no	—
93	#463	—	2	24	no	—
94	#450	—	2	24	no	—
95	#449	—	2	24	no	—
96	#448	—	4	12	no	—
97	C₄×D₈	—	2	12	no	—
98	C₈×D₄	—	2	12	no	—
99	C₂×#107	C₂³	1	3	yes	—
100	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
101	C₂×#103	C₂³	1	6	yes	—
102	C₂×#103	C₂³	1	12	yes	—
103	C₂×#102	C₂³	1	6	yes	—
104	C₂×#102	C₂³	1	6	yes	—
105	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
106	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
107	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
108	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	3	yes	—
109	#395	—	2	6	no	—
110	#395	D₄	1	1	yes	characteristic
111	#394	D₄	1	3	yes	—
112	#393	—	2	2	no	—
113	#393	—	2	6	no	—
114	#393	—	2	6	no	—
115	#393	—	2	6	no	—
116	#393	D₄	1	1	yes	characteristic
117	#392	—	2	6	no	—
118	#392	D₄	1	3	yes	—
119	#391	C₂³	1	12	yes	—
120	#386	—	2	6	no	—
121	#386	—	2	12	no	—
122	#386	—	2	12	no	—
123	#385	—	2	6	no	—
124	#381	—	2	6	no	—
125	#380	C₂³	1	6	yes	—
126	C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
127	C₂×#95	—	2	6	no	—
128	#340	C₂³	1	6	yes	—
129	#336	C₂³	1	6	yes	—
130	C₂⁵	—	2	2	no	—
131	2₋¹⁺⁴	—	2	64	no	—
132	2₋¹⁺⁴	—	4	96	no	—
133	C₂×#41	—	2	6	no	—
134	C₂×#41	—	2	6	no	—
135	C₂×#41	—	2	12	no	—
136	C₂×#41	—	2	24	no	—
137	C₂×#41	—	4	12	no	—
138	C₂×#41	—	4	24	no	—
139	C₂×#41	—	4	48	no	—
140	C₂×#41	C₂×D₄	1	24	yes	—
141	C₂²×Q₈	—	2	6	no	—
142	C₂²×Q₈	—	2	24	no	—
143	C₂²×Q₈	—	2	12	no	—
144	C₂²×Q₈	—	2	12	no	—
145	C₂²×Q₈	—	4	12	no	—
146	C₂²×Q₈	—	4	24	no	—
147	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	6	yes	—
149	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
150	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
151	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
152	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
153	C₂²×D₄	—	4	6	no	—
154	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
155	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
156	C₂²×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
157	C₂²×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
158	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
159	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
160	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
161	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
162	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
163	#137	—	2	192	no	—
164	#135	—	2	96	no	—
165	C₂×Q₁₆	—	2	96	no	—
166	C₂×Q₁₆	—	2	24	no	—
167	C₂×Q₁₆	—	2	12	no	—
168	C₂×Q₁₆	—	2	12	no	—
169	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	12	yes	—
170	C₂×SD₁₆	—	2	24	no	—
171	C₂×SD₁₆	—	2	12	no	—
172	C₂×SD₁₆	—	4	12	no	—
173	C₂×SD₁₆	C₂×D₄	1	24	yes	—
174	C₂×D₈	—	2	12	no	—
175	C₂×D₈	—	2	6	no	—
176	C₂×D₈	—	4	16	no	—
177	C₂×D₈	C₂×D₄	1	12	yes	—
178	#131	—	2	32	no	—
179	C₂×M₁₆	—	2	6	no	—
180	C₂×M₁₆	—	2	12	no	—
181	C₂²×C₈	—	2	12	no	—
182	C₂²×C₈	—	2	6	no	—
183	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	12	yes	—
184	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
185	C₂²×C₈	C₂⁴	1	3	yes	—
186	C₂²×C₈	C₂⁴	1	3	yes	—
187	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
188	#124	—	2	12	no	—
189	#124	—	4	6	no	—
190	#123	—	4	24	no	—
191	C₂²⋊Q₈	—	2	12	no	—
192	C₂²⋊Q₈	—	4	6	no	—
193	#121	—	2	12	no	—
194	#121	—	2	12	no	—
195	#121	—	4	24	no	—
196	#120	—	4	24	no	—
197	C₄×D₄	—	2	6	no	—
198	C₄×D₄	—	2	6	no	—
199	C₄×D₄	—	2	12	no	—
200	C₄×D₄	—	4	6	no	—
201	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
202	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
203	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
204	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
205	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
206	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
207	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
208	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
209	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
210	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	24	no	—
211	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
212	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
213	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
214	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
215	#107	—	2	6	no	—
216	C₄⋊C₈	—	2	6	no	—
217	#103	—	2	12	no	—
218	#103	—	4	12	no	—
219	#102	—	2	12	no	—
220	#102	—	2	12	no	—
221	C₂²⋊C₈	—	2	6	no	—
222	C₂²⋊C₈	—	2	6	no	—
223	C₂²⋊C₈	—	2	6	no	—
224	C₄×C₈	—	2	6	no	—
225	#95	—	2	6	no	—
226	#95	—	2	12	no	—
227	#95	—	2	12	no	—
228	#95	C₂×D₄	1	3	yes	—
229	#95	C₂×D₄	1	3	yes	—
230	C₂⁴	—	2	2	no	—
231	C₂⁴	—	2	2	no	—
232	C₂⁴	—	4	12	no	—
233	C₂⁴	—	4	4	no	—
234	C₂⁴	—	8	6	no	—
235	C₂⁴	C₂²×D₄	1	3	yes	—
236	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
237	#41	—	2	8	no	—
238	#41	—	2	24	no	—
239	#41	—	2	48	no	—
240	#41	—	4	24	no	—
241	#41	—	4	48	no	—
242	#41	—	4	192	no	—
243	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
244	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
245	C₂×Q₈	—	2	48	no	—
246	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
247	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
248	C₂×Q₈	—	4	24	no	—
249	C₂×Q₈	—	4	48	no	—
250	C₂×Q₈	—	4	24	no	—
251	C₂×Q₈	—	4	64	no	—
252	C₂×Q₈	—	4	12	no	—
253	C₂×Q₈	C₂²×D₄	1	12	yes	—
254	C₂×D₄	—	2	12	no	—
255	C₂×D₄	—	2	6	no	—
256	C₂×D₄	—	2	24	no	—
257	C₂×D₄	—	2	6	no	—
258	C₂×D₄	—	2	6	no	—
259	C₂×D₄	—	2	6	no	—
260	C₂×D₄	—	2	6	no	—
261	C₂×D₄	—	2	6	no	—
262	C₂×D₄	—	4	3	no	—
263	C₂×D₄	—	4	12	no	—
264	C₂×D₄	—	4	24	no	—
265	C₂×D₄	—	4	8	no	—
266	C₂×D₄	—	4	12	no	—
267	C₂×D₄	—	8	12	no	—
268	C₂×D₄	—	8	12	no	—
269	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
270	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
271	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
272	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
273	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
274	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
275	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
276	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
277	C₂²×C₄	—	4	24	no	—
278	C₂²×C₄	—	4	24	no	—
279	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
280	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
281	C₂²×C₄	—	8	12	no	—
282	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
283	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
284	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
285	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
286	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
287	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	6	yes	—
288	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
289	Q₁₆	—	2	48	no	—
290	Q₁₆	—	2	24	no	—
291	SD₁₆	—	2	48	no	—
292	SD₁₆	—	8	12	no	—
293	D₈	—	4	8	no	—
294	D₈	—	4	4	no	—
295	D₈	#120	1	16	yes	—
296	M₁₆	—	2	24	no	—
297	C₂×C₈	—	2	6	no	—
298	C₂×C₈	—	2	24	no	—
299	C₂×C₈	—	2	3	no	—
300	C₂×C₈	—	2	3	no	—
301	C₂×C₈	—	2	6	no	—
302	C₂×C₈	—	4	4	no	—
303	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	6	yes	—
304	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	6	yes	—
305	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
306	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
307	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
308	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
309	C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
310	C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	4	6	no	—
312	C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
313	C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
314	C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
315	C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
316	C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
317	C₂²⋊C₄	—	8	6	no	—
318	C₄²	—	2	3	no	—
319	C₄²	—	2	3	no	—
320	C₂³	—	2	6	no	—
321	C₂³	—	2	3	no	—
322	C₂³	—	2	3	no	—
323	C₂³	—	2	3	no	—
324	C₂³	—	2	12	no	—
325	C₂³	—	2	6	no	—
326	C₂³	—	2	3	no	—
327	C₂³	—	4	6	no	—
328	C₂³	—	4	2	no	—
329	C₂³	—	4	6	no	—
330	C₂³	—	4	6	no	—
331	C₂³	—	4	2	no	—
332	C₂³	—	8	8	no	—
333	C₂³	—	8	24	no	—
334	C₂³	—	16	12	no	—
335	C₂³	D₄²	1	6	yes	—
336	C₂³	#578	1	2	yes	complemented
337	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
338	Q₈	—	2	8	no	—
339	Q₈	—	2	12	no	—
340	Q₈	—	2	12	no	—
341	Q₈	—	4	48	no	—
342	Q₈	—	4	12	no	—
343	D₄	—	2	24	no	—
344	D₄	—	2	12	no	—
345	D₄	—	4	12	no	—
346	D₄	—	4	48	no	—
347	D₄	—	4	2	no	—
348	D₄	—	4	6	no	—
349	D₄	—	8	8	no	—
350	D₄	—	16	12	no	—
351	D₄	C₂×#120	1	8	yes	—
352	C₂×C₄	—	2	6	no	—
353	C₂×C₄	—	2	6	no	—
354	C₂×C₄	—	2	6	no	—
355	C₂×C₄	—	2	12	no	—
356	C₂×C₄	—	2	3	no	—
357	C₂×C₄	—	2	6	no	—
358	C₂×C₄	—	2	3	no	—
359	C₂×C₄	—	2	3	no	—
360	C₂×C₄	—	2	3	no	—
361	C₂×C₄	—	2	12	no	—
362	C₂×C₄	—	2	3	no	—
363	C₂×C₄	—	4	48	no	—
364	C₂×C₄	—	4	48	no	—
365	C₂×C₄	—	4	12	no	—
366	C₂×C₄	—	4	1	no	—
367	C₂×C₄	—	4	3	no	—
368	C₂×C₄	—	4	12	no	—
369	C₂×C₄	—	4	6	no	—
370	C₂×C₄	—	16	12	no	—
371	C₂×C₄	D₄²	1	6	yes	—
372	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	3	yes	—
373	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	3	yes	—
374	C₈	—	2	6	no	—
375	C₈	—	4	1	no	—
376	C₈	—	4	3	no	—
377	C₈	C₂×#120	1	4	yes	—
378	C₂²	—	2	6	no	—
379	C₂²	—	2	6	no	—
380	C₂²	—	2	6	no	—
381	C₂²	—	2	6	no	—
382	C₂²	—	2	8	no	—
383	C₂²	—	4	6	no	—
384	C₂²	—	4	12	no	—
385	C₂²	—	4	12	no	—
386	C₂²	—	4	6	no	—
387	C₂²	—	4	3	no	—
388	C₂²	—	4	1	no	—
389	C₂²	—	8	6	no	—
390	C₂²	—	8	6	no	—
391	C₂²	—	8	2	no	—
392	C₂²	—	16	16	no	—
393	C₂²	C₂×D₄²	1	3	yes	—
394	C₂²	C₂×#578	1	1	yes	characteristic
395	C₂²	#3584	1	3	yes	—
396	C₄	—	2	6	no	—
397	C₄	—	4	3	no	—
398	C₄	—	4	3	no	—
399	C₄	—	4	1	no	—
400	C₄	—	4	12	no	—
401	C₄	—	8	6	no	—
402	C₄	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
403	C₄	#3484	1	3	yes	—
404	C₂	—	4	6	no	—
405	C₂	—	4	2	no	—
406	C₂	—	4	8	no	—
407	C₂	—	16	2	no	—
408	C₂	D₄×#120	1	1	yes	characteristic
409	C₂	#61057	1	3	yes	—
410	C₂	#61090	1	3	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ #2388 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#578	C₂	semidirect
2. C₂×#3280	C₂	semidirect
3. #36078	C₂	semidirect
4. #32933	C₂	semidirect
5. #32885	C₂	semidirect
6. #25782	C₂	semidirect
7. #24377	C₂	semidirect
8. #24268	C₂	semidirect
9. #23862	C₂	semidirect
10. #22448	C₂	semidirect
11. #21442	C₂	semidirect
12. C₂²×2₋¹⁺⁴	C₂²	semidirect
14. C₂²×#137	C₂²	semidirect
16. C₂³×Q₁₆	C₂²	semidirect
18. C₂²×#131	C₂²	semidirect
26. C₂×#448	C₂²	semidirect
30. #2615	C₂²	semidirect
32. #2436	C₂²	semidirect
38. #2339	C₂²	semidirect
39. #2056	C₂²	semidirect
40. #2015	C₂²	semidirect
42. #1969	C₂²	semidirect
43. #1895	C₂²	semidirect
44. #1877	C₂²	semidirect
46. #1851	C₂²	semidirect
47. #1808	C₂²	semidirect
48. #1788	C₂²	semidirect
49. #1787	C₂²	semidirect
50. #1780	C₂²	semidirect
51. C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
64. C₂×#135	D₄	semidirect
336. C₂³	#578	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#578	2
C₂×#3280	2
#36078	2
#32933	2
#32885	2
#25782	2
#24377	2
#24268	2
#23862	2
#22448	2
#21442	2