Subgroups — #6573515

Order 512.

4753 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 416 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#576	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#3285	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
3	#36082	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#32934	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#32886	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#25781	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
7	#24371	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
8	#24267	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
9	#23866	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
10	#22451	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
11	#21442	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×H(5,𝔽₂)	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#576	—	2	24	no	—
14	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	6	yes	—
15	C₂²×#135	C₂²	1	3	yes	—
16	C₂³×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
17	C₂³×D₈	C₂²	1	3	yes	—
18	C₂²×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#548	C₂²	1	6	yes	complemented
20	#3285	—	2	24	no	—
21	C₂×#495	C₂²	1	3	yes	complemented
22	C₂×#467	C₂²	1	3	yes	complemented
23	C₂×#466	C₂²	1	3	yes	complemented
24	C₂×#464	C₂²	1	6	yes	complemented
25	C₂×#452	C₂²	1	6	yes	complemented
26	C₂×#448	C₂²	1	6	yes	complemented
27	C₂×#450	C₂²	1	6	yes	complemented
28	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	3	yes	complemented
29	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	3	yes	complemented
30	#2616	—	2	2	no	—
31	#2616	C₂²	1	2	yes	—
32	#2435	—	2	6	no	—
33	#2435	C₂²	1	6	yes	complemented
34	#2408	—	2	6	no	—
35	#2408	C₂²	1	6	yes	complemented
36	#2388	—	2	2	no	—
37	#2388	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#2341	C₂²	1	6	yes	complemented
39	#2054	C₂²	1	6	yes	complemented
40	#2012	C₂²	1	12	yes	complemented
41	#1999	C₂²	1	6	yes	complemented
42	#1970	C₂²	1	6	yes	complemented
43	#1894	C₂²	1	6	yes	complemented
44	#1880	C₂²	1	12	yes	complemented
45	#1870	C₂²	1	3	yes	complemented
46	#1851	C₂²	1	3	yes	complemented
47	#1808	C₂²	1	3	yes	complemented
48	#1788	C₂²	1	6	yes	complemented
49	#1786	C₂²	1	6	yes	complemented
50	#1780	C₂²	1	1	yes	characteristic
51	C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	3	yes	complemented
52	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	24	no	—
53	C₂×H(5,𝔽₂)	—	4	12	no	—
54	C₂²×#41	—	2	2	no	—
55	C₂²×#41	C₂³	1	6	yes	—
56	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂³×D₄	—	2	6	no	—
59	C₂³×D₄	C₂³	1	6	yes	—
60	#576	—	2	128	no	—
61	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	24	no	—
62	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	48	no	—
63	C₂×#135	—	2	24	no	—
64	C₂×#135	D₄	1	24	yes	complemented
65	C₂²×Q₁₆	—	2	12	no	—
66	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	6	yes	—
70	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	6	yes	—
71	C₂²×D₈	—	2	24	no	—
72	C₂²×D₈	—	2	12	no	—
73	C₂²×D₈	C₂³	1	6	yes	—
74	C₂²×D₈	C₂³	1	3	yes	—
75	C₂×#131	—	2	12	no	—
76	C₂²×M₁₆	C₂³	1	3	yes	—
77	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂³×C₈	C₂³	1	3	yes	—
79	#548	—	2	24	no	—
80	#548	—	4	12	no	—
81	C₂×#124	—	2	6	no	—
82	C₂×#124	C₂³	1	6	yes	—
83	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	6	no	—
84	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	6	yes	—
85	C₂×#121	—	2	6	no	—
86	C₂×#121	C₂³	1	6	yes	—
87	C₂×#120	—	2	6	no	—
88	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	6	yes	—
89	C₂×C₄×D₄	—	2	6	no	—
90	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	3	yes	—
91	#495	—	2	12	no	—
92	#467	—	2	12	no	—
93	#466	—	2	12	no	—
94	#464	—	2	24	no	—
95	#452	—	2	24	no	—
96	#450	—	4	12	no	—
97	#448	—	2	24	no	—
98	C₄×Q₁₆	—	2	12	no	—
99	C₈×D₄	—	2	12	no	—
100	C₂×#107	C₂³	1	3	yes	—
101	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
102	C₂×#103	C₂³	1	6	yes	—
103	C₂×#103	C₂³	1	6	yes	—
104	C₂×#102	C₂³	1	6	yes	—
105	C₂×#102	C₂³	1	12	yes	—
106	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
107	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
108	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
109	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	3	yes	—
110	#395	—	2	2	no	—
111	#395	D₄	1	1	yes	characteristic
112	#394	—	2	6	no	—
113	#394	—	2	6	no	—
114	#394	—	2	6	no	—
115	#394	—	2	6	no	—
116	#394	D₄	1	3	yes	—
117	#393	D₄	1	1	yes	characteristic
118	#392	—	2	6	no	—
119	#392	D₄	1	3	yes	—
120	#390	—	2	12	no	—
121	#390	C₂³	1	12	yes	—
122	#380	—	2	6	no	—
123	#380	C₂³	1	6	yes	—
124	#379	—	2	12	no	—
125	#379	—	2	6	no	—
126	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
127	C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
128	#340	C₂³	1	6	yes	—
129	#336	C₂³	1	6	yes	—
130	C₂⁵	—	2	6	no	—
131	H(5,𝔽₂)	—	2	64	no	—
132	H(5,𝔽₂)	—	4	96	no	—
133	C₂×#41	—	2	6	no	—
134	C₂×#41	—	2	6	no	—
135	C₂×#41	—	2	12	no	—
136	C₂×#41	—	2	24	no	—
137	C₂×#41	—	4	12	no	—
138	C₂×#41	—	4	24	no	—
139	C₂×#41	C₂×D₄	1	24	yes	—
140	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
141	C₂²×Q₈	—	2	12	no	—
142	C₂²×Q₈	—	4	6	no	—
143	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
145	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
146	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
147	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
148	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
149	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
150	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
151	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
152	C₂²×D₄	—	4	12	no	—
153	C₂²×D₄	—	4	24	no	—
154	C₂²×D₄	—	4	48	no	—
155	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
156	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
157	C₂²×D₄	C₂⁴	1	6	yes	—
158	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
159	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
160	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
161	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
162	AGL(1,ℤ/8)	—	2	192	no	—
163	#135	—	2	96	no	—
164	C₂×Q₁₆	—	2	12	no	—
165	C₂×Q₁₆	—	2	6	no	—
166	C₂×Q₁₆	—	4	16	no	—
167	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	12	yes	—
168	C₂×SD₁₆	—	2	24	no	—
169	C₂×SD₁₆	—	2	12	no	—
170	C₂×SD₁₆	—	4	12	no	—
171	C₂×SD₁₆	C₂×D₄	1	24	yes	—
172	C₂×D₈	—	2	96	no	—
173	C₂×D₈	—	2	24	no	—
174	C₂×D₈	—	2	12	no	—
175	C₂×D₈	—	2	12	no	—
176	C₂×D₈	C₂×D₄	1	12	yes	—
177	#131	—	2	32	no	—
178	C₂×M₁₆	—	2	6	no	—
179	C₂×M₁₆	—	2	12	no	—
180	C₂²×C₈	—	2	12	no	—
181	C₂²×C₈	—	2	6	no	—
182	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	12	yes	—
183	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
184	C₂²×C₈	C₂⁴	1	3	yes	—
185	C₂²×C₈	C₂⁴	1	3	yes	—
186	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
187	#124	—	2	12	no	—
188	#124	—	4	6	no	—
189	#124	—	4	24	no	—
190	C₂²⋊Q₈	—	2	12	no	—
191	C₂²⋊Q₈	—	2	12	no	—
192	C₂²⋊Q₈	—	4	24	no	—
193	#121	—	2	12	no	—
194	#121	—	4	6	no	—
195	#121	—	4	24	no	—
196	#120	—	8	12	no	—
197	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
198	C₄×Q₈	—	4	6	no	—
199	C₄×D₄	—	2	6	no	—
200	C₄×D₄	—	2	6	no	—
201	C₄×D₄	—	4	24	no	—
202	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
203	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
204	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
205	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
206	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
207	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
208	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
209	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
210	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
211	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
212	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
213	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
214	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
215	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
216	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
217	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
218	#107	—	2	6	no	—
219	C₄⋊C₈	—	2	6	no	—
220	#103	—	2	12	no	—
221	#103	—	2	12	no	—
222	#102	—	2	12	no	—
223	#102	—	4	12	no	—
224	C₂²⋊C₈	—	2	6	no	—
225	C₂²⋊C₈	—	2	6	no	—
226	C₂²⋊C₈	—	2	6	no	—
227	C₄×C₈	—	2	6	no	—
228	#95	—	2	6	no	—
229	#95	C₂×D₄	1	3	yes	—
230	#95	C₂×D₄	1	3	yes	—
231	C₂⁴	—	2	6	no	—
232	C₂⁴	—	4	24	no	—
233	C₂⁴	—	4	12	no	—
234	C₂⁴	—	8	6	no	—
235	C₂⁴	—	8	12	no	—
236	C₂⁴	—	8	6	no	—
237	C₂⁴	C₂²×D₄	1	3	yes	—
238	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
239	#41	—	2	8	no	—
240	#41	—	2	24	no	—
241	#41	—	2	48	no	—
242	#41	—	4	24	no	—
243	#41	—	4	48	no	—
244	#41	—	4	64	no	—
245	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
246	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
247	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
248	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
249	C₂×Q₈	—	4	12	no	—
250	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
251	C₂×Q₈	—	8	12	no	—
252	C₂×Q₈	C₂²×D₄	1	12	yes	—
253	C₂×D₄	—	2	12	no	—
254	C₂×D₄	—	2	48	no	—
255	C₂×D₄	—	2	6	no	—
256	C₂×D₄	—	2	24	no	—
257	C₂×D₄	—	2	6	no	—
258	C₂×D₄	—	2	6	no	—
259	C₂×D₄	—	2	12	no	—
260	C₂×D₄	—	2	12	no	—
261	C₂×D₄	—	2	6	no	—
262	C₂×D₄	—	4	48	no	—
263	C₂×D₄	—	4	3	no	—
264	C₂×D₄	—	4	24	no	—
265	C₂×D₄	—	4	24	no	—
266	C₂×D₄	—	4	24	no	—
267	C₂×D₄	—	4	192	no	—
268	C₂×D₄	—	4	12	no	—
269	C₂×D₄	—	4	12	no	—
270	C₂×D₄	—	4	12	no	—
271	C₂×D₄	—	8	6	no	—
272	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
273	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
275	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
276	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
277	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
278	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
279	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
280	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂²×C₄	—	4	24	no	—
282	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
283	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
284	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
285	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
286	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
287	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
288	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	6	yes	—
289	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
290	Q₁₆	—	4	8	no	—
291	Q₁₆	—	4	4	no	—
292	Q₁₆	#120	1	16	yes	complemented
293	SD₁₆	—	2	48	no	—
294	SD₁₆	—	8	12	no	—
295	D₈	—	2	48	no	—
296	D₈	—	2	24	no	—
297	M₁₆	—	2	24	no	—
298	C₂×C₈	—	2	6	no	—
299	C₂×C₈	—	2	24	no	—
300	C₂×C₈	—	2	3	no	—
301	C₂×C₈	—	2	3	no	—
302	C₂×C₈	—	2	6	no	—
303	C₂×C₈	—	4	4	no	—
304	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	6	yes	—
305	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	6	yes	—
306	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
307	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
308	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
309	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
310	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
312	C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
313	C₂²⋊C₄	—	4	6	no	—
314	C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
315	C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
316	C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
317	C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
318	C₂²⋊C₄	—	8	12	no	—
319	C₂²⋊C₄	—	8	12	no	—
320	C₂²⋊C₄	—	8	6	no	—
321	C₄²	—	2	3	no	—
322	C₄²	—	2	3	no	—
323	C₄²	—	4	12	no	—
324	C₂³	—	2	6	no	—
325	C₂³	—	2	3	no	—
326	C₂³	—	2	3	no	—
327	C₂³	—	2	3	no	—
328	C₂³	—	2	6	no	—
329	C₂³	—	2	3	no	—
330	C₂³	—	2	12	no	—
331	C₂³	—	4	48	no	—
332	C₂³	—	4	12	no	—
333	C₂³	—	4	6	no	—
334	C₂³	—	4	12	no	—
335	C₂³	—	4	6	no	—
336	C₂³	—	16	12	no	—
337	C₂³	—	16	12	no	—
338	C₂³	—	16	24	no	—
339	C₂³	—	16	24	no	—
340	C₂³	D₄²	1	6	yes	—
341	C₂³	#576	1	2	yes	complemented
342	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
343	Q₈	—	2	8	no	—
344	Q₈	—	2	12	no	—
345	Q₈	—	4	2	no	—
346	Q₈	—	4	6	no	—
347	Q₈	—	8	8	no	—
348	Q₈	C₂×#120	1	8	yes	—
349	D₄	—	2	24	no	—
350	D₄	—	2	12	no	—
351	D₄	—	2	12	no	—
352	D₄	—	4	48	no	—
353	D₄	—	4	48	no	—
354	D₄	—	4	12	no	—
355	D₄	—	4	12	no	—
356	D₄	—	8	24	no	—
357	C₂×C₄	—	2	12	no	—
358	C₂×C₄	—	2	6	no	—
359	C₂×C₄	—	2	6	no	—
360	C₂×C₄	—	2	6	no	—
361	C₂×C₄	—	2	12	no	—
362	C₂×C₄	—	2	3	no	—
363	C₂×C₄	—	2	6	no	—
364	C₂×C₄	—	2	3	no	—
365	C₂×C₄	—	2	3	no	—
366	C₂×C₄	—	2	3	no	—
367	C₂×C₄	—	2	3	no	—
368	C₂×C₄	—	4	48	no	—
369	C₂×C₄	—	4	1	no	—
370	C₂×C₄	—	4	3	no	—
371	C₂×C₄	—	4	6	no	—
372	C₂×C₄	—	4	6	no	—
373	C₂×C₄	—	4	6	no	—
374	C₂×C₄	—	4	6	no	—
375	C₂×C₄	—	8	8	no	—
376	C₂×C₄	D₄²	1	6	yes	—
377	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	3	yes	—
378	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	3	yes	—
379	C₈	—	2	6	no	—
380	C₈	—	4	1	no	—
381	C₈	—	4	3	no	—
382	C₈	C₂×#120	1	4	yes	—
383	C₂²	—	2	6	no	—
384	C₂²	—	2	6	no	—
385	C₂²	—	2	6	no	—
386	C₂²	—	2	6	no	—
387	C₂²	—	4	6	no	—
388	C₂²	—	4	3	no	—
389	C₂²	—	4	6	no	—
390	C₂²	—	4	1	no	—
391	C₂²	—	4	12	no	—
392	C₂²	—	4	12	no	—
393	C₂²	—	4	12	no	—
394	C₂²	—	8	12	no	—
395	C₂²	—	8	12	no	—
396	C₂²	—	16	48	no	—
397	C₂²	C₂×D₄²	1	3	yes	—
398	C₂²	C₂×#576	1	1	yes	characteristic
399	C₂²	#3584	1	3	yes	—
400	C₄	—	2	6	no	—
401	C₄	—	2	8	no	—
402	C₄	—	4	3	no	—
403	C₄	—	4	3	no	—
404	C₄	—	4	1	no	—
405	C₄	—	8	6	no	—
406	C₄	—	8	2	no	—
407	C₄	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
408	C₄	#3484	1	3	yes	—
409	C₂	—	4	2	no	—
410	C₂	—	4	6	no	—
411	C₂	—	8	12	no	—
412	C₂	D₄×#120	1	1	yes	characteristic
413	C₂	#61056	1	3	yes	—
414	C₂	#61090	1	3	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ #2388 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#576	C₂	semidirect
2. C₂×#3285	C₂	semidirect
3. #36082	C₂	semidirect
4. #32934	C₂	semidirect
5. #32886	C₂	semidirect
6. #25781	C₂	semidirect
7. #24371	C₂	semidirect
8. #24267	C₂	semidirect
9. #23866	C₂	semidirect
10. #22451	C₂	semidirect
11. #21442	C₂	semidirect
16. C₂³×Q₁₆	C₂²	semidirect
19. C₂×#548	C₂²	semidirect
21. C₂×#495	C₂²	semidirect
22. C₂×#467	C₂²	semidirect
23. C₂×#466	C₂²	semidirect
24. C₂×#464	C₂²	semidirect
25. C₂×#452	C₂²	semidirect
26. C₂×#448	C₂²	semidirect
27. C₂×#450	C₂²	semidirect
28. C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	semidirect
29. C₂×C₈×D₄	C₂²	semidirect
33. #2435	C₂²	semidirect
35. #2408	C₂²	semidirect
38. #2341	C₂²	semidirect
39. #2054	C₂²	semidirect
40. #2012	C₂²	semidirect
41. #1999	C₂²	semidirect
42. #1970	C₂²	semidirect
43. #1894	C₂²	semidirect
44. #1880	C₂²	semidirect
45. #1870	C₂²	semidirect
46. #1851	C₂²	semidirect
47. #1808	C₂²	semidirect
48. #1788	C₂²	semidirect
49. #1786	C₂²	semidirect
51. C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
64. C₂×#135	D₄	semidirect
292. Q₁₆	#120	semidirect
341. C₂³	#576	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#576	2
C₂×#3285	2
#36082	2
#32934	2
#32886	2
#25781	2
#24371	2
#24267	2
#23866	2
#22451	2
#21442	2