Subgroups — #6573518

Order 512.

4536 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 402 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#578	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#3283	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
3	#36085	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#32934	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#32887	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#25780	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
7	#24376	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
8	#24268	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
9	#23865	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
10	#22448	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
11	#21442	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×2₋¹⁺⁴	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#578	—	2	24	no	—
14	C₂²×#137	C₂²	1	6	yes	—
15	C₂²×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×#135	C₂²	1	3	yes	—
17	C₂³×Q₁₆	C₂²	1	3	yes	—
18	C₂²×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#547	C₂²	1	6	yes	—
20	#3283	—	2	24	no	—
21	C₂×#494	C₂²	1	3	yes	—
22	C₂×#467	C₂²	1	3	yes	—
23	C₂×#467	C₂²	1	3	yes	—
24	C₂×#461	C₂²	1	6	yes	—
25	C₂×#452	C₂²	1	6	yes	—
26	C₂×#452	C₂²	1	6	yes	—
27	C₂×#451	C₂²	1	6	yes	—
28	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	3	yes	—
29	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	3	yes	—
30	#2616	C₂²	1	2	yes	—
31	#2614	—	2	2	no	—
32	#2434	C₂²	1	6	yes	—
33	#2430	—	2	6	no	—
34	#2409	C₂²	1	6	yes	—
35	#2406	—	2	6	no	—
36	#2388	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×#395	—	2	2	no	—
38	#2339	C₂²	1	6	yes	—
39	#2056	C₂²	1	6	yes	—
40	#2016	C₂²	1	12	yes	—
41	#2001	C₂²	1	6	yes	—
42	#1969	C₂²	1	6	yes	—
43	#1894	C₂²	1	6	yes	—
44	#1877	C₂²	1	12	yes	—
45	#1870	C₂²	1	3	yes	—
46	#1851	C₂²	1	3	yes	—
47	#1808	C₂²	1	3	yes	—
48	#1788	C₂²	1	6	yes	—
49	#1787	C₂²	1	6	yes	—
50	#1780	C₂²	1	1	yes	characteristic
51	C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	3	yes	—
52	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	24	no	—
53	C₂×2₋¹⁺⁴	—	4	12	no	—
54	C₂²×#41	—	2	6	no	—
55	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂²×#41	C₂³	1	6	yes	—
57	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂³×Q₈	—	2	2	no	—
59	C₂³×Q₈	C₂³	1	6	yes	—
60	#578	—	2	128	no	—
61	C₂×#137	—	2	24	no	—
62	C₂×#137	—	2	48	no	—
63	C₂×#135	—	2	24	no	—
64	C₂×#135	—	2	12	no	—
65	C₂×#135	D₄	1	24	yes	complemented
66	C₂²×Q₁₆	—	2	24	no	—
67	C₂²×Q₁₆	—	2	12	no	—
68	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	6	yes	—
69	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	3	yes	—
71	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	6	yes	—
72	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	6	yes	—
74	C₂²×D₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂×#131	—	2	12	no	—
76	C₂²×M₁₆	C₂³	1	3	yes	—
77	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂³×C₈	C₂³	1	3	yes	—
79	#547	—	2	24	no	—
80	#547	—	4	12	no	—
81	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	6	yes	—
82	C₂×#123	—	2	6	no	—
83	C₂×#123	—	2	6	no	—
84	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	6	yes	—
85	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	6	yes	—
86	C₂×#121	—	2	6	no	—
87	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	6	yes	—
88	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	3	yes	—
89	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
90	#494	—	2	12	no	—
91	#467	—	2	12	no	—
92	#467	—	2	12	no	—
93	#461	—	2	24	no	—
94	#452	—	2	24	no	—
95	#452	—	2	24	no	—
96	#451	—	4	12	no	—
97	C₄×D₈	—	2	12	no	—
98	C₈×D₄	—	2	12	no	—
99	C₂×#107	C₂³	1	3	yes	—
100	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
101	C₂×#103	C₂³	1	6	yes	—
102	C₂×#103	C₂³	1	6	yes	—
103	C₂×#103	C₂³	1	12	yes	—
104	C₂×#102	C₂³	1	6	yes	—
105	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
106	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
107	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
108	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	3	yes	—
109	#395	—	2	2	no	—
110	#395	—	2	6	no	—
111	#395	—	2	6	no	—
112	#395	—	2	6	no	—
113	#395	D₄	1	1	yes	characteristic
114	#394	—	2	6	no	—
115	#394	D₄	1	3	yes	—
116	#393	—	2	6	no	—
117	#393	D₄	1	1	yes	characteristic
118	#392	D₄	1	3	yes	—
119	#391	C₂³	1	12	yes	—
120	#386	—	2	6	no	—
121	#386	—	2	12	no	—
122	#385	—	2	6	no	—
123	#385	—	2	12	no	—
124	#381	—	2	6	no	—
125	#380	C₂³	1	6	yes	—
126	C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
127	C₂×#95	—	2	6	no	—
128	#340	C₂³	1	6	yes	—
129	#336	C₂³	1	6	yes	—
130	2₋¹⁺⁴	—	2	64	no	—
131	2₋¹⁺⁴	—	4	96	no	—
132	C₂×#41	—	2	6	no	—
133	C₂×#41	—	2	6	no	—
134	C₂×#41	—	2	12	no	—
135	C₂×#41	—	2	24	no	—
136	C₂×#41	—	2	12	no	—
137	C₂×#41	—	4	12	no	—
138	C₂×#41	—	4	6	no	—
139	C₂×#41	—	4	24	no	—
140	C₂×#41	—	4	48	no	—
141	C₂×#41	C₂×D₄	1	24	yes	—
142	C₂²×Q₈	—	2	6	no	—
143	C₂²×Q₈	—	2	24	no	—
144	C₂²×Q₈	—	2	12	no	—
145	C₂²×Q₈	—	2	12	no	—
146	C₂²×Q₈	—	4	12	no	—
147	C₂²×Q₈	—	4	24	no	—
148	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
150	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	6	yes	—
151	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
152	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
153	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
154	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
155	C₂²×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
156	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
157	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
158	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
159	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
160	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
161	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
162	#137	—	2	192	no	—
163	#135	—	2	96	no	—
164	#135	—	4	16	no	—
165	C₂×Q₁₆	—	2	96	no	—
166	C₂×Q₁₆	—	2	24	no	—
167	C₂×Q₁₆	—	2	12	no	—
168	C₂×Q₁₆	—	2	12	no	—
169	C₂×Q₁₆	—	2	12	no	—
170	C₂×Q₁₆	—	2	6	no	—
171	C₂×Q₁₆	—	4	12	no	—
172	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	12	yes	—
173	C₂×SD₁₆	—	2	24	no	—
174	C₂×SD₁₆	—	2	12	no	—
175	C₂×SD₁₆	C₂×D₄	1	24	yes	—
176	C₂×D₈	C₂×D₄	1	12	yes	—
177	#131	—	2	32	no	—
178	C₂×M₁₆	—	2	6	no	—
179	C₂×M₁₆	—	2	12	no	—
180	C₂²×C₈	—	2	12	no	—
181	C₂²×C₈	—	2	6	no	—
182	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	12	yes	—
183	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
184	C₂²×C₈	C₂⁴	1	3	yes	—
185	C₂²×C₈	C₂⁴	1	3	yes	—
186	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
187	C₄⋊Q₈	—	2	12	no	—
188	C₄⋊Q₈	—	4	6	no	—
189	#123	—	4	24	no	—
190	#123	—	4	24	no	—
191	C₂²⋊Q₈	—	2	12	no	—
192	C₂²⋊Q₈	—	2	12	no	—
193	C₂²⋊Q₈	—	2	12	no	—
194	C₂²⋊Q₈	—	4	6	no	—
195	#121	—	4	24	no	—
196	C₄×D₄	—	2	6	no	—
197	C₄×D₄	—	2	6	no	—
198	C₄×D₄	—	2	12	no	—
199	C₄×D₄	—	4	6	no	—
200	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
201	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
202	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
203	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
204	C₂×C₄⋊C₄	—	4	24	no	—
205	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
206	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
207	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
208	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
209	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
210	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
211	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
212	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
213	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
214	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
215	#107	—	2	6	no	—
216	C₄⋊C₈	—	2	6	no	—
217	#103	—	2	12	no	—
218	#103	—	2	12	no	—
219	#103	—	4	12	no	—
220	#102	—	2	12	no	—
221	C₂²⋊C₈	—	2	6	no	—
222	C₂²⋊C₈	—	2	6	no	—
223	C₂²⋊C₈	—	2	6	no	—
224	C₄×C₈	—	2	6	no	—
225	#95	—	2	6	no	—
226	#95	—	2	12	no	—
227	#95	—	2	12	no	—
228	#95	C₂×D₄	1	3	yes	—
229	#95	C₂×D₄	1	3	yes	—
230	C₂⁴	—	2	2	no	—
231	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
232	C₂⁴	C₂²×D₄	1	3	yes	—
233	#41	—	2	8	no	—
234	#41	—	2	24	no	—
235	#41	—	2	48	no	—
236	#41	—	4	24	no	—
237	#41	—	4	48	no	—
238	#41	—	4	192	no	—
239	#41	—	4	8	no	—
240	#41	—	8	12	no	—
241	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
242	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
243	C₂×Q₈	—	2	48	no	—
244	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
245	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
246	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
247	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
248	C₂×Q₈	—	4	24	no	—
249	C₂×Q₈	—	4	48	no	—
250	C₂×Q₈	—	4	24	no	—
251	C₂×Q₈	—	4	64	no	—
252	C₂×Q₈	—	4	12	no	—
253	C₂×Q₈	C₂²×D₄	1	12	yes	—
254	C₂×D₄	—	2	12	no	—
255	C₂×D₄	—	2	6	no	—
256	C₂×D₄	—	2	24	no	—
257	C₂×D₄	—	2	6	no	—
258	C₂×D₄	—	2	6	no	—
259	C₂×D₄	—	2	6	no	—
260	C₂×D₄	—	4	3	no	—
261	C₂×D₄	—	4	24	no	—
262	C₂×D₄	—	4	12	no	—
263	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
264	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
265	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
266	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
267	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
268	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
269	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
270	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
271	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂²×C₄	—	4	24	no	—
273	C₂²×C₄	—	4	24	no	—
274	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
275	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
276	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
277	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
278	C₂²×C₄	—	8	6	no	—
279	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
280	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
281	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
282	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
283	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
284	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	6	yes	—
285	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
286	Q₁₆	—	2	48	no	—
287	Q₁₆	—	2	24	no	—
288	Q₁₆	—	4	4	no	—
289	Q₁₆	—	8	12	no	—
290	SD₁₆	—	2	48	no	—
291	SD₁₆	—	4	8	no	—
292	D₈	#120	1	16	yes	—
293	M₁₆	—	2	24	no	—
294	C₂×C₈	—	2	6	no	—
295	C₂×C₈	—	2	24	no	—
296	C₂×C₈	—	2	3	no	—
297	C₂×C₈	—	2	3	no	—
298	C₂×C₈	—	2	6	no	—
299	C₂×C₈	—	4	4	no	—
300	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	6	yes	—
301	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	6	yes	—
302	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
303	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
304	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
305	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
306	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
307	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
308	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
309	C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
310	C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
312	C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
313	C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
314	C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
315	C₂²⋊C₄	—	8	6	no	—
316	C₄²	—	2	3	no	—
317	C₄²	—	2	3	no	—
318	C₂³	—	2	3	no	—
319	C₂³	—	2	12	no	—
320	C₂³	—	2	6	no	—
321	C₂³	—	2	6	no	—
322	C₂³	—	2	3	no	—
323	C₂³	—	2	1	no	—
324	C₂³	—	2	3	no	—
325	C₂³	—	2	3	no	—
326	C₂³	—	4	2	no	—
327	C₂³	—	4	6	no	—
328	C₂³	D₄²	1	6	yes	—
329	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
330	Q₈	—	2	8	no	—
331	Q₈	—	2	12	no	—
332	Q₈	—	2	12	no	—
333	Q₈	—	4	48	no	—
334	Q₈	—	4	12	no	—
335	Q₈	—	4	2	no	—
336	Q₈	—	4	6	no	—
337	D₄	—	2	24	no	—
338	D₄	—	2	12	no	—
339	D₄	—	4	12	no	—
340	D₄	—	4	48	no	—
341	D₄	—	8	8	no	—
342	D₄	C₂×#120	1	8	yes	—
343	C₂×C₄	—	2	3	no	—
344	C₂×C₄	—	2	3	no	—
345	C₂×C₄	—	2	6	no	—
346	C₂×C₄	—	2	6	no	—
347	C₂×C₄	—	2	6	no	—
348	C₂×C₄	—	2	12	no	—
349	C₂×C₄	—	2	3	no	—
350	C₂×C₄	—	2	3	no	—
351	C₂×C₄	—	2	12	no	—
352	C₂×C₄	—	2	6	no	—
353	C₂×C₄	—	4	48	no	—
354	C₂×C₄	—	4	48	no	—
355	C₂×C₄	—	4	12	no	—
356	C₂×C₄	—	4	1	no	—
357	C₂×C₄	—	4	3	no	—
358	C₂×C₄	—	4	6	no	—
359	C₂×C₄	—	4	6	no	—
360	C₂×C₄	—	4	6	no	—
361	C₂×C₄	—	4	6	no	—
362	C₂×C₄	—	8	24	no	—
363	C₂×C₄	—	8	8	no	—
364	C₂×C₄	D₄²	1	6	yes	—
365	C₂×C₄	#578	1	6	yes	complemented
366	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	3	yes	—
367	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	3	yes	—
368	C₈	—	2	6	no	—
369	C₈	—	4	1	no	—
370	C₈	—	4	3	no	—
371	C₈	C₂×#120	1	4	yes	—
372	C₂²	—	2	6	no	—
373	C₂²	—	2	6	no	—
374	C₂²	—	2	6	no	—
375	C₂²	—	2	8	no	—
376	C₂²	—	4	12	no	—
377	C₂²	—	4	6	no	—
378	C₂²	—	4	6	no	—
379	C₂²	—	4	12	no	—
380	C₂²	—	4	3	no	—
381	C₂²	—	4	3	no	—
382	C₂²	—	4	1	no	—
383	C₂²	C₂×D₄²	1	3	yes	—
384	C₂²	C₂×#578	1	3	yes	—
385	C₂²	#3584	1	1	yes	characteristic
386	C₄	—	2	6	no	—
387	C₄	—	2	6	no	—
388	C₄	—	4	3	no	—
389	C₄	—	4	1	no	—
390	C₄	—	4	12	no	—
391	C₄	—	8	6	no	—
392	C₄	—	8	2	no	—
393	C₄	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
394	C₄	#3484	1	3	yes	—
395	C₂	—	4	6	no	—
396	C₂	—	4	8	no	—
397	C₂	—	8	1	no	—
398	C₂	D₄×#120	1	1	yes	characteristic
399	C₂	#61057	1	3	yes	—
400	C₂	#61091	1	3	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ #2388 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#578	C₂	semidirect
2. C₂×#3283	C₂	semidirect
3. #36085	C₂	semidirect
4. #32934	C₂	semidirect
5. #32887	C₂	semidirect
6. #25780	C₂	semidirect
7. #24376	C₂	semidirect
8. #24268	C₂	semidirect
9. #23865	C₂	semidirect
10. #22448	C₂	semidirect
11. #21442	C₂	semidirect
65. C₂×#135	D₄	semidirect
365. C₂×C₄	#578	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#578	2
C₂×#3283	2
#36085	2
#32934	2
#32887	2
#25780	2
#24376	2
#24268	2
#23865	2
#22448	2
#21442	2