Subgroups — #6573521

Order 512.

4890 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 427 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#576	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#3287	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
3	#36091	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#32933	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#32884	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#25779	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
7	#24370	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
8	#24267	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
9	#23869	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
10	#22451	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
11	#21442	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×H(5,𝔽₂)	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#576	—	2	24	no	—
14	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	6	yes	—
15	C₂²×#135	C₂²	1	3	yes	—
16	C₂²×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
17	C₂³×D₈	C₂²	1	3	yes	—
18	C₂²×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#550	C₂²	1	6	yes	complemented
20	#3287	—	2	24	no	—
21	C₂×#493	C₂²	1	3	yes	complemented
22	C₂×#466	C₂²	1	3	yes	complemented
23	C₂×#466	C₂²	1	3	yes	complemented
24	C₂×#460	C₂²	1	6	yes	complemented
25	C₂×#449	C₂²	1	6	yes	complemented
26	C₂×#449	C₂²	1	6	yes	complemented
27	C₂×#447	C₂²	1	6	yes	complemented
28	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	3	yes	complemented
29	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	3	yes	complemented
30	#2615	—	2	2	no	—
31	#2615	C₂²	1	2	yes	—
32	#2433	—	2	6	no	—
33	#2433	C₂²	1	6	yes	complemented
34	#2408	—	2	6	no	—
35	#2408	C₂²	1	6	yes	complemented
36	#2388	—	2	2	no	—
37	#2388	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#2341	C₂²	1	6	yes	complemented
39	#2054	C₂²	1	6	yes	complemented
40	#2011	C₂²	1	12	yes	complemented
41	#1999	C₂²	1	6	yes	complemented
42	#1970	C₂²	1	6	yes	complemented
43	#1895	C₂²	1	6	yes	complemented
44	#1880	C₂²	1	12	yes	complemented
45	#1870	C₂²	1	3	yes	complemented
46	#1851	C₂²	1	3	yes	complemented
47	#1808	C₂²	1	3	yes	complemented
48	#1788	C₂²	1	6	yes	complemented
49	#1786	C₂²	1	6	yes	complemented
50	#1780	C₂²	1	1	yes	characteristic
51	C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	3	yes	complemented
52	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	24	no	—
53	C₂×H(5,𝔽₂)	—	4	12	no	—
54	C₂²×#41	—	2	2	no	—
55	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂²×#41	C₂³	1	6	yes	—
57	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂³×D₄	—	2	6	no	—
59	C₂³×D₄	C₂³	1	6	yes	—
60	#576	—	2	128	no	—
61	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	24	no	—
62	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	48	no	—
63	C₂×#135	—	2	24	no	—
64	C₂×#135	—	2	12	no	—
65	C₂×#135	D₄	1	24	yes	complemented
66	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	6	yes	—
69	C₂²×D₈	—	2	24	no	—
70	C₂²×D₈	—	2	12	no	—
71	C₂²×D₈	C₂³	1	6	yes	—
72	C₂²×D₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₂²×D₈	C₂³	1	3	yes	—
74	C₂²×D₈	C₂³	1	6	yes	—
75	C₂×#131	—	2	12	no	—
76	C₂²×M₁₆	C₂³	1	3	yes	—
77	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂³×C₈	C₂³	1	3	yes	—
79	#550	—	2	24	no	—
80	#550	—	4	12	no	—
81	C₂×#127	—	2	6	no	—
82	C₂×#127	C₂³	1	6	yes	—
83	C₂×#121	—	2	6	no	—
84	C₂×#121	—	2	6	no	—
85	C₂×#121	C₂³	1	6	yes	—
86	C₂×#121	C₂³	1	6	yes	—
87	C₂×#120	—	2	6	no	—
88	C₂×#120	—	2	12	no	—
89	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	6	yes	—
90	C₂×C₄×D₄	—	2	6	no	—
91	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	3	yes	—
92	#493	—	2	12	no	—
93	#466	—	2	12	no	—
94	#466	—	2	12	no	—
95	#460	—	2	24	no	—
96	#449	—	2	24	no	—
97	#449	—	2	24	no	—
98	#447	—	4	12	no	—
99	C₄×Q₁₆	—	2	12	no	—
100	C₈×D₄	—	2	12	no	—
101	C₂×#107	C₂³	1	3	yes	—
102	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
103	C₂×#103	C₂³	1	6	yes	—
104	C₂×#102	C₂³	1	6	yes	—
105	C₂×#102	C₂³	1	6	yes	—
106	C₂×#102	C₂³	1	12	yes	—
107	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
108	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
109	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
110	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	3	yes	—
111	#395	D₄	1	1	yes	characteristic
112	#394	—	2	6	no	—
113	#394	D₄	1	3	yes	—
114	#393	—	2	2	no	—
115	#393	D₄	1	1	yes	characteristic
116	#392	—	2	6	no	—
117	#392	—	2	6	no	—
118	#392	—	2	6	no	—
119	#392	—	2	6	no	—
120	#392	D₄	1	3	yes	—
121	#390	—	2	12	no	—
122	#390	C₂³	1	12	yes	—
123	#380	—	2	6	no	—
124	#380	C₂³	1	6	yes	—
125	#379	—	2	6	no	—
126	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
127	C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
128	#340	C₂³	1	6	yes	—
129	#336	C₂³	1	6	yes	—
130	C₂⁵	—	2	6	no	—
131	H(5,𝔽₂)	—	2	64	no	—
132	H(5,𝔽₂)	—	4	96	no	—
133	C₂×#41	—	2	6	no	—
134	C₂×#41	—	2	6	no	—
135	C₂×#41	—	2	12	no	—
136	C₂×#41	—	2	24	no	—
137	C₂×#41	—	2	12	no	—
138	C₂×#41	—	4	12	no	—
139	C₂×#41	—	4	6	no	—
140	C₂×#41	—	4	24	no	—
141	C₂×#41	C₂×D₄	1	24	yes	—
142	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
144	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
145	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
146	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
147	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
148	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
149	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
150	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
151	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
152	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
153	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
154	C₂²×D₄	—	4	12	no	—
155	C₂²×D₄	—	4	24	no	—
156	C₂²×D₄	—	4	48	no	—
157	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
158	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
159	C₂²×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
160	C₂²×D₄	C₂⁴	1	6	yes	—
161	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
162	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
163	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
164	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
165	AGL(1,ℤ/8)	—	2	192	no	—
166	#135	—	2	96	no	—
167	#135	—	4	16	no	—
168	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	12	yes	—
169	C₂×SD₁₆	—	2	24	no	—
170	C₂×SD₁₆	—	2	12	no	—
171	C₂×SD₁₆	C₂×D₄	1	24	yes	—
172	C₂×D₈	—	2	96	no	—
173	C₂×D₈	—	2	24	no	—
174	C₂×D₈	—	2	12	no	—
175	C₂×D₈	—	2	12	no	—
176	C₂×D₈	—	2	12	no	—
177	C₂×D₈	—	2	6	no	—
178	C₂×D₈	—	4	12	no	—
179	C₂×D₈	C₂×D₄	1	12	yes	—
180	#131	—	2	32	no	—
181	C₂×M₁₆	—	2	6	no	—
182	C₂×M₁₆	—	2	12	no	—
183	C₂²×C₈	—	2	12	no	—
184	C₂²×C₈	—	2	6	no	—
185	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	12	yes	—
186	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
187	C₂²×C₈	C₂⁴	1	3	yes	—
188	C₂²×C₈	C₂⁴	1	3	yes	—
189	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
190	#127	—	2	12	no	—
191	#127	—	4	6	no	—
192	#127	—	4	24	no	—
193	#121	—	2	12	no	—
194	#121	—	2	12	no	—
195	#121	—	2	12	no	—
196	#121	—	4	24	no	—
197	#121	—	4	24	no	—
198	#121	—	4	6	no	—
199	#120	—	8	24	no	—
200	#120	—	8	12	no	—
201	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
202	C₄×Q₈	—	4	6	no	—
203	C₄×D₄	—	2	6	no	—
204	C₄×D₄	—	2	6	no	—
205	C₄×D₄	—	4	24	no	—
206	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
207	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
208	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
209	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
210	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
211	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
212	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
213	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
214	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
215	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
216	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
217	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
218	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
219	#107	—	2	6	no	—
220	C₄⋊C₈	—	2	6	no	—
221	#103	—	2	12	no	—
222	#102	—	2	12	no	—
223	#102	—	2	12	no	—
224	#102	—	4	12	no	—
225	C₂²⋊C₈	—	2	6	no	—
226	C₂²⋊C₈	—	2	6	no	—
227	C₂²⋊C₈	—	2	6	no	—
228	C₄×C₈	—	2	6	no	—
229	#95	—	2	6	no	—
230	#95	C₂×D₄	1	3	yes	—
231	#95	C₂×D₄	1	3	yes	—
232	C₂⁴	—	2	6	no	—
233	C₂⁴	—	2	2	no	—
234	C₂⁴	—	4	24	no	—
235	C₂⁴	—	4	12	no	—
236	C₂⁴	—	8	12	no	—
237	C₂⁴	—	8	6	no	—
238	C₂⁴	—	8	6	no	—
239	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
240	C₂⁴	C₂²×D₄	1	3	yes	—
241	#41	—	2	8	no	—
242	#41	—	2	24	no	—
243	#41	—	2	48	no	—
244	#41	—	4	24	no	—
245	#41	—	4	48	no	—
246	#41	—	4	64	no	—
247	#41	—	4	8	no	—
248	#41	—	8	12	no	—
249	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
250	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
251	C₂×Q₈	C₂²×D₄	1	12	yes	—
252	C₂×D₄	—	2	12	no	—
253	C₂×D₄	—	2	48	no	—
254	C₂×D₄	—	2	6	no	—
255	C₂×D₄	—	2	24	no	—
256	C₂×D₄	—	2	6	no	—
257	C₂×D₄	—	2	6	no	—
258	C₂×D₄	—	2	12	no	—
259	C₂×D₄	—	2	6	no	—
260	C₂×D₄	—	2	12	no	—
261	C₂×D₄	—	2	6	no	—
262	C₂×D₄	—	2	6	no	—
263	C₂×D₄	—	4	48	no	—
264	C₂×D₄	—	4	3	no	—
265	C₂×D₄	—	4	24	no	—
266	C₂×D₄	—	4	24	no	—
267	C₂×D₄	—	4	24	no	—
268	C₂×D₄	—	4	12	no	—
269	C₂×D₄	—	4	12	no	—
270	C₂×D₄	—	4	12	no	—
271	C₂×D₄	—	4	192	no	—
272	C₂×D₄	—	4	12	no	—
273	C₂×D₄	—	4	12	no	—
274	C₂×D₄	—	4	12	no	—
275	C₂×D₄	—	4	12	no	—
276	C₂×D₄	—	8	6	no	—
277	C₂×D₄	—	8	12	no	—
278	C₂×D₄	—	8	12	no	—
279	C₂×D₄	—	8	12	no	—
280	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
281	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
283	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
284	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
285	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
286	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
287	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
288	C₂²×C₄	—	4	24	no	—
289	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
290	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
291	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
292	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
293	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
294	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
295	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	6	yes	—
296	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
297	Q₁₆	#120	1	16	yes	complemented
298	SD₁₆	—	2	48	no	—
299	SD₁₆	—	4	8	no	—
300	D₈	—	2	48	no	—
301	D₈	—	2	24	no	—
302	D₈	—	4	4	no	—
303	D₈	—	8	12	no	—
304	M₁₆	—	2	24	no	—
305	C₂×C₈	—	2	6	no	—
306	C₂×C₈	—	2	24	no	—
307	C₂×C₈	—	2	3	no	—
308	C₂×C₈	—	2	3	no	—
309	C₂×C₈	—	2	6	no	—
310	C₂×C₈	—	4	4	no	—
311	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	6	yes	—
312	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	6	yes	—
313	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
314	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
315	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
316	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
317	C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
318	C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
319	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
320	C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
321	C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
322	C₂²⋊C₄	—	4	24	no	—
323	C₂²⋊C₄	—	8	12	no	—
324	C₂²⋊C₄	—	8	6	no	—
325	C₄²	—	2	3	no	—
326	C₄²	—	2	3	no	—
327	C₄²	—	4	12	no	—
328	C₂³	—	2	3	no	—
329	C₂³	—	2	6	no	—
330	C₂³	—	2	6	no	—
331	C₂³	—	2	3	no	—
332	C₂³	—	2	1	no	—
333	C₂³	—	2	3	no	—
334	C₂³	—	2	12	no	—
335	C₂³	—	2	3	no	—
336	C₂³	—	4	48	no	—
337	C₂³	—	4	6	no	—
338	C₂³	—	4	12	no	—
339	C₂³	—	4	12	no	—
340	C₂³	—	4	6	no	—
341	C₂³	—	4	2	no	—
342	C₂³	—	4	6	no	—
343	C₂³	—	4	6	no	—
344	C₂³	—	16	12	no	—
345	C₂³	—	16	12	no	—
346	C₂³	—	16	24	no	—
347	C₂³	—	16	24	no	—
348	C₂³	D₄²	1	6	yes	—
349	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
350	Q₈	—	2	8	no	—
351	Q₈	—	2	12	no	—
352	Q₈	C₂×#120	1	8	yes	—
353	D₄	—	2	24	no	—
354	D₄	—	2	12	no	—
355	D₄	—	2	12	no	—
356	D₄	—	4	12	no	—
357	D₄	—	4	48	no	—
358	D₄	—	4	48	no	—
359	D₄	—	4	2	no	—
360	D₄	—	4	12	no	—
361	D₄	—	4	6	no	—
362	D₄	—	8	8	no	—
363	D₄	—	8	24	no	—
364	D₄	—	16	12	no	—
365	D₄	—	16	12	no	—
366	D₄	—	16	12	no	—
367	C₂×C₄	—	2	3	no	—
368	C₂×C₄	—	2	3	no	—
369	C₂×C₄	—	2	12	no	—
370	C₂×C₄	—	2	6	no	—
371	C₂×C₄	—	2	6	no	—
372	C₂×C₄	—	2	6	no	—
373	C₂×C₄	—	2	12	no	—
374	C₂×C₄	—	2	3	no	—
375	C₂×C₄	—	2	3	no	—
376	C₂×C₄	—	2	6	no	—
377	C₂×C₄	—	4	48	no	—
378	C₂×C₄	—	4	1	no	—
379	C₂×C₄	—	4	3	no	—
380	C₂×C₄	—	4	6	no	—
381	C₂×C₄	—	4	12	no	—
382	C₂×C₄	—	8	8	no	—
383	C₂×C₄	D₄²	1	6	yes	—
384	C₂×C₄	#576	1	6	yes	complemented
385	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	3	yes	—
386	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	3	yes	—
387	C₈	—	2	6	no	—
388	C₈	—	4	1	no	—
389	C₈	—	4	3	no	—
390	C₈	C₂×#120	1	4	yes	—
391	C₂²	—	2	6	no	—
392	C₂²	—	2	6	no	—
393	C₂²	—	2	6	no	—
394	C₂²	—	4	6	no	—
395	C₂²	—	4	6	no	—
396	C₂²	—	4	3	no	—
397	C₂²	—	4	12	no	—
398	C₂²	—	4	3	no	—
399	C₂²	—	4	12	no	—
400	C₂²	—	4	12	no	—
401	C₂²	—	4	1	no	—
402	C₂²	—	8	12	no	—
403	C₂²	—	8	12	no	—
404	C₂²	—	8	6	no	—
405	C₂²	—	8	6	no	—
406	C₂²	—	8	2	no	—
407	C₂²	—	16	48	no	—
408	C₂²	C₂×D₄²	1	3	yes	—
409	C₂²	C₂×#576	1	3	yes	—
410	C₂²	#3584	1	1	yes	characteristic
411	C₄	—	2	6	no	—
412	C₄	—	2	6	no	—
413	C₄	—	2	8	no	—
414	C₄	—	4	3	no	—
415	C₄	—	4	1	no	—
416	C₄	—	8	6	no	—
417	C₄	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
418	C₄	#3484	1	3	yes	—
419	C₂	—	4	6	no	—
420	C₂	—	8	1	no	—
421	C₂	—	8	12	no	—
422	C₂	—	16	2	no	—
423	C₂	D₄×#120	1	1	yes	characteristic
424	C₂	#61056	1	3	yes	—
425	C₂	#61089	1	3	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ #2388 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#576	C₂	semidirect
2. C₂×#3287	C₂	semidirect
3. #36091	C₂	semidirect
4. #32933	C₂	semidirect
5. #32884	C₂	semidirect
6. #25779	C₂	semidirect
7. #24370	C₂	semidirect
8. #24267	C₂	semidirect
9. #23869	C₂	semidirect
10. #22451	C₂	semidirect
11. #21442	C₂	semidirect
16. C₂²×#135	C₂²	semidirect
19. C₂×#550	C₂²	semidirect
21. C₂×#493	C₂²	semidirect
22. C₂×#466	C₂²	semidirect
23. C₂×#466	C₂²	semidirect
24. C₂×#460	C₂²	semidirect
25. C₂×#449	C₂²	semidirect
26. C₂×#449	C₂²	semidirect
27. C₂×#447	C₂²	semidirect
28. C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	semidirect
29. C₂×C₈×D₄	C₂²	semidirect
33. #2433	C₂²	semidirect
35. #2408	C₂²	semidirect
38. #2341	C₂²	semidirect
39. #2054	C₂²	semidirect
40. #2011	C₂²	semidirect
41. #1999	C₂²	semidirect
42. #1970	C₂²	semidirect
43. #1895	C₂²	semidirect
44. #1880	C₂²	semidirect
45. #1870	C₂²	semidirect
46. #1851	C₂²	semidirect
47. #1808	C₂²	semidirect
48. #1788	C₂²	semidirect
49. #1786	C₂²	semidirect
51. C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
65. C₂×#135	D₄	semidirect
297. Q₁₆	#120	semidirect
384. C₂×C₄	#576	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#576	2
C₂×#3287	2
#36091	2
#32933	2
#32884	2
#25779	2
#24370	2
#24267	2
#23869	2
#22451	2
#21442	2