Subgroups — #6583044

Order 512.

3672 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 361 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3272	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
2	#36179	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	D₄×#127	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#33300	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#33162	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#33160	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#28490	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
8	#25754	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
9	#25753	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
10	#21681	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₄²×D₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×#547	C₂²	1	6	yes	complemented
14	C₂×D₄²	C₂²	1	6	yes	—
15	C₂²×#127	—	2	1	no	—
16	#3272	—	2	48	no	—
17	C₂×#492	C₂²	1	6	yes	complemented
18	C₂×#492	C₂²	1	6	yes	complemented
19	C₂×#468	C₂²	1	12	yes	complemented
20	C₂×#461	C₂²	1	6	yes	—
21	C₂×#459	C₂²	1	6	yes	complemented
22	C₂×#449	C₂²	1	12	yes	complemented
23	C₂×#450	C₂²	1	12	yes	—
24	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	3	yes	—
25	C₂×#436	C₂²	1	6	yes	complemented
26	#2868	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
27	#2867	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#2856	—	2	1	no	—
29	#2856	—	2	1	no	—
30	#2542	C₂²	1	6	yes	complemented
31	#2541	C₂²	1	6	yes	—
32	#2501	—	2	6	no	—
33	#2433	—	2	6	no	—
34	C₄×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#384	—	2	1	no	—
36	C₄²×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₄²×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
38	#2000	C₂²	1	24	yes	complemented
39	#1982	C₂²	1	6	yes	complemented
40	#1981	C₂²	1	6	yes	complemented
41	#1954	C₂²	1	6	yes	complemented
42	#1842	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
43	C₄×#107	C₂²	1	3	yes	complemented
44	C₄×#102	C₂²	1	3	yes	—
45	C₄×#102	C₂²	1	3	yes	complemented
46	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
47	C₂²×#41	C₂³	1	4	yes	—
48	C₂³×D₄	—	2	6	no	—
49	C₂³×D₄	C₂³	1	4	yes	—
50	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	48	no	—
51	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
52	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
53	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	12	yes	—
54	C₂²×D₈	C₂³	1	4	yes	—
55	C₂²×D₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
57	#547	—	2	24	no	—
58	#547	—	4	12	no	—
59	D₄²	—	2	24	no	—
60	D₄²	—	4	12	no	—
61	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	6	yes	—
62	C₂×#127	—	2	6	no	—
63	C₂×#127	—	2	1	no	—
64	C₂×#127	—	2	3	no	—
65	C₂×#127	—	4	8	no	—
66	C₂×#127	D₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂×#127	C₂³	1	6	yes	—
68	C₂×#123	—	2	12	no	—
69	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	12	yes	—
70	C₂×#121	—	2	6	no	—
71	C₂×#121	—	2	6	no	—
72	C₂×#121	C₂³	1	12	yes	—
73	C₂×#120	—	2	12	no	—
74	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	3	yes	—
75	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	3	yes	—
76	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	6	yes	—
77	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
78	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
79	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
80	#492	—	2	24	no	—
81	#492	—	4	12	no	—
82	#468	—	2	48	no	—
83	#461	—	2	24	no	—
84	#459	—	2	24	no	—
85	#450	—	2	48	no	—
86	#449	—	2	48	no	—
87	C₄×D₈	D₄	1	24	yes	complemented
88	#436	—	2	24	no	—
89	C₂×#107	C₂³	1	3	yes	—
90	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	6	yes	—
91	C₂×#103	C₂³	1	12	yes	—
92	C₂×#102	C₂³	1	12	yes	—
93	C₂×#102	C₂³	1	3	yes	—
94	C₂×#102	C₂³	1	3	yes	—
95	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	12	yes	—
96	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	3	yes	—
97	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	3	yes	—
98	#399	—	2	12	no	—
99	#392	—	2	12	no	—
100	#390	—	2	6	no	—
101	#390	—	2	6	no	—
102	#390	D₄	1	6	yes	—
103	#384	—	2	6	no	—
104	#384	—	2	1	no	—
105	#384	—	2	3	no	—
106	#384	D₄	1	1	yes	characteristic
107	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
108	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
109	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
110	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
111	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
112	#340	C₂³	1	6	yes	—
113	C₂⁵	—	2	4	no	—
114	C₂×#41	—	2	24	no	—
115	C₂×#41	—	4	12	no	—
116	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
117	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
118	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
119	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
120	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
122	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
123	C₂²×D₄	—	4	12	no	—
124	C₂²×D₄	—	4	24	no	—
125	C₂²×D₄	—	4	24	no	—
126	C₂²×D₄	—	8	12	no	—
127	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
128	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
129	C₂²×D₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
130	C₂²×D₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
131	C₂³×C₄	—	2	3	no	—
132	C₂³×C₄	—	2	3	no	—
133	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
134	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
135	AGL(1,ℤ/8)	—	4	64	no	—
136	C₂×SD₁₆	—	2	24	no	—
137	C₂×SD₁₆	—	2	24	no	—
138	C₂×SD₁₆	—	2	24	no	—
139	C₂×SD₁₆	—	4	24	no	—
140	C₂×D₈	—	2	24	no	—
141	C₂×D₈	C₂×D₄	1	12	yes	—
142	C₂×M₁₆	—	2	24	no	—
143	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
144	C₂²×C₈	C₂⁴	1	3	yes	—
145	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
146	C₄⋊Q₈	—	2	12	no	—
147	C₄⋊Q₈	—	2	12	no	—
148	#127	—	2	4	no	—
149	#127	—	2	12	no	—
150	#127	—	2	12	no	—
151	#127	—	4	24	no	—
152	#127	—	4	4	no	—
153	#127	—	8	6	no	—
154	#123	—	4	48	no	—
155	C₂²⋊Q₈	—	2	24	no	—
156	C₂²⋊Q₈	—	4	12	no	—
157	#121	—	2	24	no	—
158	#121	—	4	12	no	—
159	#121	—	4	24	no	—
160	#121	—	4	24	no	—
161	#120	—	4	48	no	—
162	C₄×D₄	—	2	12	no	—
163	C₄×D₄	—	2	6	no	—
164	C₄×D₄	—	2	12	no	—
165	C₄×D₄	—	2	6	no	—
166	C₄×D₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
167	C₄×D₄	C₂×D₄	1	12	yes	complemented
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	4	24	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
173	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
174	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
180	C₂×C₄²	—	2	3	no	—
181	C₂×C₄²	—	2	3	no	—
182	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
183	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
184	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
185	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
187	#107	C₂×D₄	1	12	yes	complemented
188	C₄⋊C₈	—	2	12	no	—
189	#103	—	2	24	no	—
190	#102	—	2	24	no	—
191	#102	C₂×D₄	1	12	yes	—
192	#102	C₂×D₄	1	12	yes	complemented
193	C₂²⋊C₈	—	2	24	no	—
194	C₄×C₈	—	2	6	no	—
195	C₄×C₈	C₂×D₄	1	12	yes	complemented
196	#95	—	2	3	no	—
197	#95	—	2	3	no	—
198	C₂⁴	—	2	1	no	—
199	C₂⁴	—	2	1	no	—
200	C₂⁴	—	2	4	no	—
201	C₂⁴	—	4	24	no	—
202	C₂⁴	—	4	8	no	—
203	C₂⁴	—	8	12	no	—
204	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
205	#41	—	4	16	no	—
206	#41	—	8	24	no	—
207	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
208	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
209	C₂×D₄	—	2	12	no	—
210	C₂×D₄	—	2	12	no	—
211	C₂×D₄	—	2	12	no	—
212	C₂×D₄	—	2	12	no	—
213	C₂×D₄	—	2	3	no	—
214	C₂×D₄	—	2	3	no	—
215	C₂×D₄	—	2	12	no	—
216	C₂×D₄	—	4	24	no	—
217	C₂×D₄	—	4	24	no	—
218	C₂×D₄	—	4	16	no	—
219	C₂×D₄	—	4	24	no	—
220	C₂×D₄	—	4	24	no	—
221	C₂×D₄	—	4	12	no	—
222	C₂×D₄	—	4	12	no	—
223	C₂×D₄	—	4	12	no	—
224	C₂×D₄	—	4	12	no	—
225	C₂×D₄	—	8	12	no	—
226	C₂×D₄	—	8	24	no	—
227	C₂×D₄	—	8	96	no	—
228	C₂×D₄	—	8	12	no	—
229	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
230	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
231	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	24	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
243	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
247	SD₁₆	—	4	16	no	—
248	SD₁₆	—	4	16	no	—
249	SD₁₆	—	8	24	no	—
250	D₈	—	4	16	no	—
251	D₈	#127	1	16	yes	complemented
252	M₁₆	—	4	16	no	—
253	C₂×C₈	—	2	6	no	—
254	C₂×C₈	—	2	12	no	—
255	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	6	yes	—
256	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	6	yes	—
257	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
258	C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
259	C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
260	C₄⋊C₄	—	4	24	no	—
261	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
262	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
263	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
264	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
265	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	4	24	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	4	24	no	—
270	C₄²	—	2	6	no	—
271	C₄²	—	4	6	no	—
272	C₄²	—	4	6	no	—
273	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	complemented
274	C₄²	C₂²×D₄	1	6	yes	—
275	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	6	yes	—
276	C₂³	—	2	6	no	—
277	C₂³	—	2	6	no	—
278	C₂³	—	2	12	no	—
279	C₂³	—	2	4	no	—
280	C₂³	—	2	12	no	—
281	C₂³	—	4	1	no	—
282	C₂³	—	4	1	no	—
283	C₂³	—	4	3	no	—
284	C₂³	—	4	3	no	—
285	C₂³	—	4	12	no	—
286	C₂³	—	4	4	no	—
287	C₂³	—	4	12	no	—
288	C₂³	—	8	16	no	—
289	C₂³	—	8	48	no	—
290	C₂³	—	16	24	no	—
291	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
292	Q₈	—	4	4	no	—
293	Q₈	—	4	12	no	—
294	D₄	—	2	6	no	—
295	D₄	—	2	6	no	—
296	D₄	—	4	4	no	—
297	D₄	—	4	12	no	—
298	D₄	—	4	24	no	—
299	D₄	—	8	16	no	—
300	D₄	—	8	48	no	—
301	D₄	—	8	16	no	—
302	D₄	—	8	24	no	—
303	D₄	—	16	12	no	—
304	D₄	C₂×#127	1	4	yes	—
305	D₄	C₂×#127	1	4	yes	complemented
306	C₂×C₄	—	2	6	no	—
307	C₂×C₄	—	2	6	no	—
308	C₂×C₄	—	2	6	no	—
309	C₂×C₄	—	2	12	no	—
310	C₂×C₄	—	4	3	no	—
311	C₂×C₄	—	4	3	no	—
312	C₂×C₄	—	4	3	no	—
313	C₂×C₄	—	4	3	no	—
314	C₂×C₄	—	4	4	no	—
315	C₂×C₄	—	4	12	no	—
316	C₂×C₄	—	4	24	no	—
317	C₂×C₄	—	4	24	no	—
318	C₂×C₄	—	4	12	no	—
319	C₂×C₄	—	8	16	no	—
320	C₂×C₄	D₄²	1	6	yes	—
321	C₂×C₄	D₄²	1	6	yes	—
322	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	6	yes	—
323	C₂×C₄	#577	1	6	yes	—
324	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	3	yes	—
325	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	3	yes	—
326	C₈	—	2	6	no	—
327	C₈	—	4	4	no	—
328	C₈	C₂×#127	1	4	yes	complemented
329	C₂²	—	2	4	no	—
330	C₂²	—	2	4	no	—
331	C₂²	—	4	6	no	—
332	C₂²	—	4	6	no	—
333	C₂²	—	4	6	no	—
334	C₂²	—	4	6	no	—
335	C₂²	—	4	4	no	—
336	C₂²	—	4	12	no	—
337	C₂²	—	4	12	no	—
338	C₂²	—	8	4	no	—
339	C₂²	—	8	12	no	—
340	C₂²	—	8	12	no	—
341	C₂²	—	16	32	no	—
342	C₂²	C₂×D₄²	1	3	yes	—
343	C₂²	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
344	C₂²	C₂×#577	1	3	yes	—
345	C₄	—	2	6	no	—
346	C₄	—	4	4	no	—
347	C₄	—	4	6	no	—
348	C₄	—	4	6	no	—
349	C₄	—	8	4	no	—
350	C₄	#3272	1	12	yes	complemented
351	C₄	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
352	C₄	#3498	1	3	yes	—
353	C₂	—	4	4	no	—
354	C₂	—	4	4	no	—
355	C₂	—	8	4	no	—
356	C₂	—	16	4	no	—
357	C₂	D₄×#127	1	1	yes	characteristic
358	C₂	C₂×#3272	1	3	yes	—
359	C₂	#61087	1	3	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×#127 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3272	C₂	semidirect
2. #36179	C₂	semidirect
3. D₄×#127	C₂	semidirect
4. #33300	C₂	semidirect
5. #33162	C₂	semidirect
6. #33160	C₂	semidirect
7. #28490	C₂	semidirect
8. #25754	C₂	semidirect
9. #25753	C₂	semidirect
10. #21681	C₂	semidirect
11. C₄²×D₈	C₂	semidirect
13. C₂×#547	C₂²	semidirect
17. C₂×#492	C₂²	semidirect
18. C₂×#492	C₂²	semidirect
19. C₂×#468	C₂²	semidirect
21. C₂×#459	C₂²	semidirect
22. C₂×#449	C₂²	semidirect
25. C₂×#436	C₂²	semidirect
26. #2868	C₂²	semidirect
30. #2542	C₂²	semidirect
37. C₄²×D₄	C₂²	semidirect
38. #2000	C₂²	semidirect
39. #1982	C₂²	semidirect
40. #1981	C₂²	semidirect
41. #1954	C₂²	semidirect
42. #1842	C₂²	semidirect
43. C₄×#107	C₂²	semidirect
45. C₄×#102	C₂²	semidirect
46. C₄²×C₈	C₂²	semidirect
87. C₄×D₈	D₄	semidirect
167. C₄×D₄	C₂×D₄	semidirect
187. #107	C₂×D₄	semidirect
192. #102	C₂×D₄	semidirect
195. C₄×C₈	C₂×D₄	semidirect
251. D₈	#127	semidirect
273. C₄²	AGL(1,ℤ/8)	semidirect
305. D₄	C₂×#127	semidirect
328. C₈	C₂×#127	semidirect
350. C₄	#3272	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3272	2
#36179	2
D₄×#127	2
#33300	2
#33162	2
#33160	2
#28490	2
#25754	2
#25753	2
#21681	2
C₄²×D₈	2