Subgroups — #6583045

Order 512.

3798 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 366 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3274	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
2	#36592	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	D₄×#127	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#33301	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#33161	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#33160	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#28488	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
8	#25759	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
9	#25757	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
10	#21681	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₄²×SD₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×#550	C₂²	1	6	yes	complemented
14	C₂×D₄²	C₂²	1	6	yes	—
15	C₂²×#127	—	2	1	no	—
16	#3274	—	2	48	no	—
17	C₂×#493	C₂²	1	6	yes	complemented
18	C₂×#493	C₂²	1	6	yes	complemented
19	C₂×#469	C₂²	1	12	yes	complemented
20	C₂×#460	C₂²	1	6	yes	complemented
21	C₂×#459	C₂²	1	6	yes	—
22	C₂×#449	C₂²	1	12	yes	complemented
23	C₂×#447	C₂²	1	12	yes	—
24	C₂×C₄×SD₁₆	C₂²	1	3	yes	—
25	C₂×#436	C₂²	1	6	yes	complemented
26	#2867	—	2	1	no	—
27	#2867	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#2867	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
29	#2856	—	2	1	no	—
30	#2541	—	2	6	no	—
31	#2541	C₂²	1	6	yes	—
32	#2541	C₂²	1	6	yes	complemented
33	#2433	—	2	6	no	—
34	C₄×#127	—	2	1	no	—
35	C₄×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₄²×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
37	C₄²×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#1999	C₂²	1	24	yes	complemented
39	#1982	C₂²	1	6	yes	complemented
40	#1982	C₂²	1	6	yes	complemented
41	#1954	C₂²	1	6	yes	complemented
42	#1842	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
43	C₄×#106	C₂²	1	3	yes	complemented
44	C₄×#103	C₂²	1	3	yes	complemented
45	C₄×#102	C₂²	1	3	yes	—
46	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
47	C₂²×#41	C₂³	1	4	yes	—
48	C₂³×D₄	—	2	6	no	—
49	C₂³×D₄	C₂³	1	4	yes	—
50	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	48	no	—
51	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
52	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×D₈	C₂³	1	4	yes	—
54	C₂²×D₈	C₂³	1	4	yes	—
55	C₂²×D₈	C₂³	1	12	yes	—
56	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
57	#550	—	2	24	no	—
58	#550	—	4	12	no	—
59	D₄²	—	2	24	no	—
60	D₄²	—	4	12	no	—
61	C₂×#127	—	2	6	no	—
62	C₂×#127	—	2	6	no	—
63	C₂×#127	—	2	6	no	—
64	C₂×#127	—	2	1	no	—
65	C₂×#127	—	2	1	no	—
66	C₂×#127	—	2	3	no	—
67	C₂×#127	—	2	3	no	—
68	C₂×#127	—	4	8	no	—
69	C₂×#127	D₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂×#127	C₂³	1	6	yes	—
71	C₂×#127	C₂³	1	6	yes	—
72	C₂×#121	—	2	6	no	—
73	C₂×#121	—	2	12	no	—
74	C₂×#121	C₂³	1	12	yes	—
75	C₂×#121	C₂³	1	12	yes	—
76	C₂×#120	—	2	12	no	—
77	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	3	yes	—
78	C₂×C₄×D₄	—	2	6	no	—
79	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	3	yes	—
80	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	6	yes	—
81	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
82	#493	—	2	24	no	—
83	#493	—	4	12	no	—
84	#469	—	2	48	no	—
85	#460	—	2	24	no	—
86	#459	—	2	24	no	—
87	#449	—	2	48	no	—
88	#447	—	2	48	no	—
89	C₄×SD₁₆	D₄	1	24	yes	complemented
90	#436	—	2	24	no	—
91	C₂×#106	C₂³	1	3	yes	—
92	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	6	yes	—
93	C₂×#103	C₂³	1	3	yes	—
94	C₂×#102	C₂³	1	12	yes	—
95	C₂×#102	C₂³	1	12	yes	—
96	C₂×#102	C₂³	1	3	yes	—
97	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	12	yes	—
98	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	3	yes	—
99	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	3	yes	—
100	#392	—	2	12	no	—
101	#392	—	2	12	no	—
102	#390	—	2	6	no	—
103	#390	—	2	6	no	—
104	#390	D₄	1	6	yes	—
105	#384	D₄	1	1	yes	characteristic
106	C₄×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
107	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
108	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
109	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
110	C₄³	—	2	1	no	—
111	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
112	#340	C₂³	1	6	yes	—
113	C₂⁵	—	2	4	no	—
114	C₂×#41	—	2	24	no	—
115	C₂×#41	—	4	12	no	—
116	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
117	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
118	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
119	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
120	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
122	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
123	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
124	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
125	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
126	C₂²×D₄	—	4	12	no	—
127	C₂²×D₄	—	4	24	no	—
128	C₂²×D₄	—	4	24	no	—
129	C₂²×D₄	—	8	12	no	—
130	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
131	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
132	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
133	C₂²×D₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
134	C₂³×C₄	—	2	3	no	—
135	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
136	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
137	AGL(1,ℤ/8)	—	4	64	no	—
138	C₂×SD₁₆	—	2	24	no	—
139	C₂×SD₁₆	C₂×D₄	1	12	yes	—
140	C₂×D₈	—	2	24	no	—
141	C₂×D₈	—	2	24	no	—
142	C₂×D₈	—	2	24	no	—
143	C₂×D₈	—	4	24	no	—
144	C₂×M₁₆	—	2	24	no	—
145	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
146	C₂²×C₈	C₂⁴	1	3	yes	—
147	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
148	#127	—	2	4	no	—
149	#127	—	2	12	no	—
150	#127	—	2	12	no	—
151	#127	—	2	12	no	—
152	#127	—	2	12	no	—
153	#127	—	4	24	no	—
154	#127	—	4	24	no	—
155	#127	—	4	4	no	—
156	#127	—	4	4	no	—
157	#127	—	8	6	no	—
158	#127	—	8	6	no	—
159	#127	—	8	12	no	—
160	#121	—	2	24	no	—
161	#121	—	2	24	no	—
162	#121	—	4	48	no	—
163	#121	—	4	12	no	—
164	#121	—	4	12	no	—
165	#121	—	4	24	no	—
166	#120	—	4	48	no	—
167	C₄×Q₈	—	2	6	no	—
168	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	12	yes	complemented
169	C₄×D₄	—	2	12	no	—
170	C₄×D₄	—	2	6	no	—
171	C₄×D₄	—	2	12	no	—
172	C₄×D₄	—	4	24	no	—
173	C₄×D₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
176	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
177	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
182	C₂×C₄²	—	2	3	no	—
183	C₂×C₄²	—	2	3	no	—
184	C₂×C₄²	—	2	3	no	—
185	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
186	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
187	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
189	#106	C₂×D₄	1	12	yes	complemented
190	C₄⋊C₈	—	2	12	no	—
191	#103	C₂×D₄	1	12	yes	complemented
192	#102	—	2	24	no	—
193	#102	—	2	24	no	—
194	#102	C₂×D₄	1	12	yes	—
195	C₂²⋊C₈	—	2	24	no	—
196	C₄×C₈	—	2	6	no	—
197	C₄×C₈	C₂×D₄	1	12	yes	complemented
198	#95	—	2	3	no	—
199	#95	—	2	3	no	—
200	C₂⁴	—	2	1	no	—
201	C₂⁴	—	2	4	no	—
202	C₂⁴	—	2	4	no	—
203	C₂⁴	—	4	24	no	—
204	C₂⁴	—	4	8	no	—
205	C₂⁴	—	8	12	no	—
206	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
207	#41	—	4	16	no	—
208	#41	—	8	24	no	—
209	C₂×Q₈	—	2	3	no	—
210	C₂×Q₈	C₂²×D₄	1	6	yes	—
211	C₂×D₄	—	2	12	no	—
212	C₂×D₄	—	2	12	no	—
213	C₂×D₄	—	2	12	no	—
214	C₂×D₄	—	2	12	no	—
215	C₂×D₄	—	2	12	no	—
216	C₂×D₄	—	2	3	no	—
217	C₂×D₄	—	2	12	no	—
218	C₂×D₄	—	2	12	no	—
219	C₂×D₄	—	4	24	no	—
220	C₂×D₄	—	4	24	no	—
221	C₂×D₄	—	4	24	no	—
222	C₂×D₄	—	4	24	no	—
223	C₂×D₄	—	4	16	no	—
224	C₂×D₄	—	4	24	no	—
225	C₂×D₄	—	4	12	no	—
226	C₂×D₄	—	4	12	no	—
227	C₂×D₄	—	4	12	no	—
228	C₂×D₄	—	4	12	no	—
229	C₂×D₄	—	4	12	no	—
230	C₂×D₄	—	4	12	no	—
231	C₂×D₄	—	4	12	no	—
232	C₂×D₄	—	4	12	no	—
233	C₂×D₄	—	8	12	no	—
234	C₂×D₄	—	8	12	no	—
235	C₂×D₄	—	8	24	no	—
236	C₂×D₄	—	8	96	no	—
237	C₂×D₄	—	8	12	no	—
238	C₂×D₄	—	8	24	no	—
239	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
240	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	24	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
249	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
253	SD₁₆	—	4	16	no	—
254	SD₁₆	#127	1	16	yes	complemented
255	D₈	—	4	16	no	—
256	D₈	—	4	16	no	—
257	D₈	—	8	24	no	—
258	M₁₆	—	4	16	no	—
259	C₂×C₈	—	2	6	no	—
260	C₂×C₈	—	2	12	no	—
261	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	6	yes	—
262	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	6	yes	—
263	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
264	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
265	C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
266	C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
267	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
268	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
269	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
270	C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
271	C₂²⋊C₄	—	4	24	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	4	24	no	—
273	C₄²	—	2	12	no	—
274	C₄²	—	2	6	no	—
275	C₄²	—	4	6	no	—
276	C₄²	—	4	6	no	—
277	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	complemented
278	C₄²	C₂²×D₄	1	6	yes	—
279	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	6	yes	—
280	C₂³	—	2	6	no	—
281	C₂³	—	2	12	no	—
282	C₂³	—	2	4	no	—
283	C₂³	—	2	12	no	—
284	C₂³	—	4	1	no	—
285	C₂³	—	4	3	no	—
286	C₂³	—	4	12	no	—
287	C₂³	—	4	12	no	—
288	C₂³	—	4	4	no	—
289	C₂³	—	4	4	no	—
290	C₂³	—	4	12	no	—
291	C₂³	—	4	12	no	—
292	C₂³	—	8	16	no	—
293	C₂³	—	8	48	no	—
294	C₂³	—	16	24	no	—
295	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
296	Q₈	—	2	6	no	—
297	Q₈	C₂×#127	1	4	yes	complemented
298	D₄	—	2	6	no	—
299	D₄	—	4	4	no	—
300	D₄	—	4	4	no	—
301	D₄	—	4	12	no	—
302	D₄	—	4	12	no	—
303	D₄	—	4	24	no	—
304	D₄	—	8	16	no	—
305	D₄	—	8	16	no	—
306	D₄	—	8	48	no	—
307	D₄	—	8	24	no	—
308	D₄	—	8	24	no	—
309	D₄	—	16	12	no	—
310	D₄	—	16	12	no	—
311	D₄	—	16	24	no	—
312	D₄	C₂×#127	1	4	yes	—
313	C₂×C₄	—	2	6	no	—
314	C₂×C₄	—	2	6	no	—
315	C₂×C₄	—	2	6	no	—
316	C₂×C₄	—	2	12	no	—
317	C₂×C₄	—	2	6	no	—
318	C₂×C₄	—	4	3	no	—
319	C₂×C₄	—	4	6	no	—
320	C₂×C₄	—	4	3	no	—
321	C₂×C₄	—	4	4	no	—
322	C₂×C₄	—	4	12	no	—
323	C₂×C₄	—	4	24	no	—
324	C₂×C₄	—	8	16	no	—
325	C₂×C₄	D₄²	1	6	yes	—
326	C₂×C₄	D₄²	1	6	yes	—
327	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	6	yes	—
328	C₂×C₄	#576	1	6	yes	—
329	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	3	yes	—
330	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	3	yes	—
331	C₈	—	2	6	no	—
332	C₈	—	4	4	no	—
333	C₈	C₂×#127	1	4	yes	complemented
334	C₂²	—	2	4	no	—
335	C₂²	—	4	6	no	—
336	C₂²	—	4	6	no	—
337	C₂²	—	4	4	no	—
338	C₂²	—	4	12	no	—
339	C₂²	—	4	12	no	—
340	C₂²	—	8	4	no	—
341	C₂²	—	8	4	no	—
342	C₂²	—	8	12	no	—
343	C₂²	—	8	12	no	—
344	C₂²	—	8	12	no	—
345	C₂²	—	8	12	no	—
346	C₂²	—	16	32	no	—
347	C₂²	C₂×D₄²	1	3	yes	—
348	C₂²	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	C₂×#576	1	3	yes	—
350	C₄	—	2	4	no	—
351	C₄	—	2	6	no	—
352	C₄	—	4	4	no	—
353	C₄	—	4	6	no	—
354	C₄	—	4	6	no	—
355	C₄	#3274	1	12	yes	complemented
356	C₄	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
357	C₄	#3498	1	3	yes	—
358	C₂	—	4	4	no	—
359	C₂	—	8	4	no	—
360	C₂	—	16	4	no	—
361	C₂	—	16	4	no	—
362	C₂	D₄×#127	1	1	yes	characteristic
363	C₂	C₂×#3274	1	3	yes	—
364	C₂	#61089	1	3	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×#127 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3274	C₂	semidirect
2. #36592	C₂	semidirect
3. D₄×#127	C₂	semidirect
4. #33301	C₂	semidirect
5. #33161	C₂	semidirect
6. #33160	C₂	semidirect
7. #28488	C₂	semidirect
8. #25759	C₂	semidirect
9. #25757	C₂	semidirect
10. #21681	C₂	semidirect
11. C₄²×SD₁₆	C₂	semidirect
13. C₂×#550	C₂²	semidirect
17. C₂×#493	C₂²	semidirect
18. C₂×#493	C₂²	semidirect
19. C₂×#469	C₂²	semidirect
20. C₂×#460	C₂²	semidirect
22. C₂×#449	C₂²	semidirect
25. C₂×#436	C₂²	semidirect
28. #2867	C₂²	semidirect
32. #2541	C₂²	semidirect
36. C₄²×Q₈	C₂²	semidirect
38. #1999	C₂²	semidirect
39. #1982	C₂²	semidirect
40. #1982	C₂²	semidirect
41. #1954	C₂²	semidirect
42. #1842	C₂²	semidirect
43. C₄×#106	C₂²	semidirect
44. C₄×#103	C₂²	semidirect
46. C₄²×C₈	C₂²	semidirect
89. C₄×SD₁₆	D₄	semidirect
168. C₄×Q₈	C₂×D₄	semidirect
189. #106	C₂×D₄	semidirect
191. #103	C₂×D₄	semidirect
197. C₄×C₈	C₂×D₄	semidirect
254. SD₁₆	#127	semidirect
277. C₄²	AGL(1,ℤ/8)	semidirect
297. Q₈	C₂×#127	semidirect
333. C₈	C₂×#127	semidirect
355. C₄	#3274	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3274	2
#36592	2
D₄×#127	2
#33301	2
#33161	2
#33160	2
#28488	2
#25759	2
#25757	2
#21681	2
C₄²×SD₁₆	2