Subgroups — #6583049

Order 512.

3240 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 331 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3278	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
2	#36592	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	Q₈×#127	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#33300	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#33163	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#33161	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#28490	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
8	#25756	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
9	#25755	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
10	#21681	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₄²×Q₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×#137	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×#550	C₂²	1	6	yes	—
14	C₂×D₄×Q₈	C₂²	1	6	yes	—
15	#3278	—	2	48	no	—
16	C₂×#492	C₂²	1	6	yes	—
17	C₂×#492	C₂²	1	6	yes	—
18	C₂×#468	C₂²	1	12	yes	—
19	C₂×#462	C₂²	1	6	yes	—
20	C₂×#460	C₂²	1	6	yes	—
21	C₂×#452	C₂²	1	12	yes	—
22	C₂×#448	C₂²	1	12	yes	—
23	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	3	yes	—
24	C₂×#436	C₂²	1	6	yes	—
25	#2868	—	2	1	no	—
26	#2868	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#2867	—	2	1	no	—
28	#2867	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#2542	—	2	6	no	—
30	#2542	C₂²	1	6	yes	—
31	#2541	—	2	6	no	—
32	#2541	C₂²	1	6	yes	—
33	C₄×#127	—	2	1	no	—
34	C₄×#127	—	2	1	no	—
35	C₄×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₄²×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₄²×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#2000	C₂²	1	24	yes	—
39	#1982	C₂²	1	6	yes	—
40	#1981	C₂²	1	6	yes	—
41	#1954	C₂²	1	6	yes	—
42	#1842	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₄×#107	C₂²	1	3	yes	—
44	C₄×#103	C₂²	1	3	yes	—
45	C₄×#103	C₂²	1	3	yes	—
46	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×#41	C₂³	1	4	yes	—
48	C₂³×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
49	C₂×#137	—	2	48	no	—
50	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
51	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
53	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
54	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	12	yes	—
55	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
56	#550	—	2	24	no	—
57	#550	—	4	12	no	—
58	D₄×Q₈	—	2	24	no	—
59	D₄×Q₈	—	4	12	no	—
60	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	6	no	—
61	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	6	yes	—
62	C₂×#127	—	2	6	no	—
63	C₂×#127	—	2	6	no	—
64	C₂×#127	—	2	1	no	—
65	C₂×#127	—	2	3	no	—
66	C₂×#127	D₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂×#127	C₂³	1	6	yes	—
68	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	12	no	—
69	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	12	yes	—
70	C₂×#121	—	2	12	no	—
71	C₂×#121	C₂³	1	12	yes	—
72	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	3	yes	—
73	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	3	yes	—
74	C₂×C₄×D₄	—	2	6	no	—
75	C₂×C₄×D₄	—	2	6	no	—
76	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	6	yes	—
77	#492	—	2	24	no	—
78	#492	—	4	12	no	—
79	#468	—	2	48	no	—
80	#462	—	2	24	no	—
81	#460	—	2	24	no	—
82	#452	—	2	48	no	—
83	#448	—	2	48	no	—
84	C₄×Q₁₆	D₄	1	24	yes	complemented
85	#436	—	2	24	no	—
86	C₂×#107	C₂³	1	3	yes	—
87	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	6	yes	—
88	C₂×#103	C₂³	1	12	yes	—
89	C₂×#103	C₂³	1	3	yes	—
90	C₂×#103	C₂³	1	3	yes	—
91	C₂×#102	C₂³	1	12	yes	—
92	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	12	yes	—
93	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	3	yes	—
94	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	3	yes	—
95	#399	—	2	12	no	—
96	#392	—	2	12	no	—
97	#390	—	2	6	no	—
98	#390	—	2	6	no	—
99	#390	D₄	1	6	yes	—
100	#384	—	2	6	no	—
101	#384	—	2	1	no	—
102	#384	—	2	3	no	—
103	#384	D₄	1	1	yes	characteristic
104	C₄×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
105	C₄×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
106	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
107	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
108	C₄³	—	2	1	no	—
109	C₄³	—	2	1	no	—
110	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
111	#340	C₂³	1	6	yes	—
112	C₂×#41	—	2	24	no	—
113	C₂×#41	—	4	12	no	—
114	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
115	C₂²×Q₈	—	2	24	no	—
116	C₂²×Q₈	—	4	12	no	—
117	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
118	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
120	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
122	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
123	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
124	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
125	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
126	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
127	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
128	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
129	#137	—	4	64	no	—
130	C₂×Q₁₆	—	2	24	no	—
131	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	12	yes	—
132	C₂×SD₁₆	—	2	24	no	—
133	C₂×SD₁₆	—	2	24	no	—
134	C₂×SD₁₆	—	2	24	no	—
135	C₂×SD₁₆	—	4	24	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	24	no	—
137	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
138	C₂²×C₈	C₂⁴	1	3	yes	—
139	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
140	C₄⋊Q₈	—	2	12	no	—
141	C₄⋊Q₈	—	2	12	no	—
142	C₄⋊Q₈	—	4	24	no	—
143	#127	—	2	4	no	—
144	#127	—	2	12	no	—
145	#127	—	2	12	no	—
146	#127	—	4	24	no	—
147	#127	—	4	4	no	—
148	#127	—	8	6	no	—
149	#127	—	8	12	no	—
150	C₂²⋊Q₈	—	2	24	no	—
151	C₂²⋊Q₈	—	4	48	no	—
152	C₂²⋊Q₈	—	4	12	no	—
153	#121	—	2	24	no	—
154	#121	—	4	48	no	—
155	#121	—	4	12	no	—
156	C₄×Q₈	—	2	6	no	—
157	C₄×Q₈	—	2	6	no	—
158	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	12	yes	—
159	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	12	yes	—
160	C₄×D₄	—	2	12	no	—
161	C₄×D₄	—	2	12	no	—
162	C₄×D₄	—	4	24	no	—
163	C₄×D₄	—	4	24	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
170	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
171	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
175	C₂×C₄²	—	2	3	no	—
176	C₂×C₄²	—	2	3	no	—
177	C₂×C₄²	—	2	3	no	—
178	C₂×C₄²	—	2	3	no	—
179	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
180	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
182	#107	C₂×D₄	1	12	yes	—
183	C₄⋊C₈	—	2	12	no	—
184	#103	—	2	24	no	—
185	#103	C₂×D₄	1	12	yes	—
186	#103	C₂×D₄	1	12	yes	—
187	#102	—	2	24	no	—
188	C₂²⋊C₈	—	2	24	no	—
189	C₄×C₈	—	2	6	no	—
190	C₄×C₈	C₂×D₄	1	12	yes	—
191	#95	—	2	3	no	—
192	#95	—	2	3	no	—
193	C₂⁴	—	2	4	no	—
194	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
195	#41	—	4	16	no	—
196	#41	—	8	24	no	—
197	C₂×Q₈	—	2	3	no	—
198	C₂×Q₈	—	2	3	no	—
199	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
200	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
201	C₂×Q₈	—	4	24	no	—
202	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
203	C₂×Q₈	—	8	24	no	—
204	C₂×Q₈	C₂²×D₄	1	6	yes	—
205	C₂×Q₈	C₂²×D₄	1	6	yes	—
206	C₂×D₄	—	2	12	no	—
207	C₂×D₄	—	2	12	no	—
208	C₂×D₄	—	2	12	no	—
209	C₂×D₄	—	2	12	no	—
210	C₂×D₄	—	2	12	no	—
211	C₂×D₄	—	4	24	no	—
212	C₂×D₄	—	4	24	no	—
213	C₂×D₄	—	4	12	no	—
214	C₂×D₄	—	4	12	no	—
215	C₂×D₄	—	4	12	no	—
216	C₂×D₄	—	4	12	no	—
217	C₂×D₄	—	8	12	no	—
218	C₂×D₄	—	8	24	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	24	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	24	no	—
228	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
232	Q₁₆	—	4	16	no	—
233	Q₁₆	#127	1	16	yes	complemented
234	SD₁₆	—	4	16	no	—
235	SD₁₆	—	4	16	no	—
236	SD₁₆	—	8	24	no	—
237	M₁₆	—	4	16	no	—
238	C₂×C₈	—	2	6	no	—
239	C₂×C₈	—	2	12	no	—
240	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	6	yes	—
241	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	6	yes	—
242	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
243	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
244	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
245	C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
246	C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
247	C₄⋊C₄	—	4	24	no	—
248	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
249	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
250	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
251	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
252	C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	4	24	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	4	24	no	—
255	C₄²	—	2	12	no	—
256	C₄²	—	2	12	no	—
257	C₄²	—	2	6	no	—
258	C₄²	—	4	6	no	—
259	C₄²	—	4	6	no	—
260	C₄²	#137	1	4	yes	complemented
261	C₄²	C₂²×D₄	1	6	yes	—
262	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	6	yes	—
263	C₂³	—	2	12	no	—
264	C₂³	—	2	4	no	—
265	C₂³	—	2	12	no	—
266	C₂³	—	4	12	no	—
267	C₂³	—	4	4	no	—
268	C₂³	—	4	12	no	—
269	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
270	Q₈	—	2	6	no	—
271	Q₈	—	2	6	no	—
272	Q₈	—	4	4	no	—
273	Q₈	—	4	12	no	—
274	Q₈	—	8	16	no	—
275	Q₈	C₂×#127	1	4	yes	—
276	Q₈	C₂×#127	1	4	yes	—
277	D₄	—	4	4	no	—
278	D₄	—	4	12	no	—
279	D₄	—	4	24	no	—
280	D₄	—	8	16	no	—
281	D₄	—	8	24	no	—
282	D₄	—	16	12	no	—
283	D₄	—	16	24	no	—
284	C₂×C₄	—	2	6	no	—
285	C₂×C₄	—	2	6	no	—
286	C₂×C₄	—	2	6	no	—
287	C₂×C₄	—	2	6	no	—
288	C₂×C₄	—	2	6	no	—
289	C₂×C₄	—	2	12	no	—
290	C₂×C₄	—	4	6	no	—
291	C₂×C₄	—	4	6	no	—
292	C₂×C₄	—	4	4	no	—
293	C₂×C₄	—	4	12	no	—
294	C₂×C₄	—	4	12	no	—
295	C₂×C₄	—	8	16	no	—
296	C₂×C₄	—	8	16	no	—
297	C₂×C₄	D₄²	1	6	yes	—
298	C₂×C₄	D₄²	1	6	yes	—
299	C₂×C₄	C₂×#137	1	6	yes	—
300	C₂×C₄	#577	1	6	yes	—
301	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	3	yes	—
302	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	3	yes	—
303	C₈	—	2	6	no	—
304	C₈	—	4	4	no	—
305	C₈	C₂×#127	1	4	yes	—
306	C₂²	—	4	4	no	—
307	C₂²	—	4	12	no	—
308	C₂²	—	4	12	no	—
309	C₂²	—	8	4	no	—
310	C₂²	—	8	12	no	—
311	C₂²	—	8	12	no	—
312	C₂²	C₂×D₄²	1	3	yes	—
313	C₂²	C₂²×#137	1	1	yes	characteristic
314	C₂²	C₂×#577	1	3	yes	—
315	C₄	—	2	4	no	—
316	C₄	—	2	4	no	—
317	C₄	—	2	6	no	—
318	C₄	—	4	4	no	—
319	C₄	—	4	6	no	—
320	C₄	—	4	6	no	—
321	C₄	—	8	4	no	—
322	C₄	#3278	1	12	yes	complemented
323	C₄	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
324	C₄	#3498	1	3	yes	—
325	C₂	—	8	4	no	—
326	C₂	—	16	4	no	—
327	C₂	D₄×#127	1	1	yes	characteristic
328	C₂	C₂×#3278	1	3	yes	—
329	C₂	#61087	1	3	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	#36592	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×#127 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3278	C₂	semidirect
3. Q₈×#127	C₂	semidirect
4. #33300	C₂	semidirect
5. #33163	C₂	semidirect
6. #33161	C₂	semidirect
7. #28490	C₂	semidirect
8. #25756	C₂	semidirect
9. #25755	C₂	semidirect
10. #21681	C₂	semidirect
11. C₄²×Q₁₆	C₂	semidirect
84. C₄×Q₁₆	D₄	semidirect
233. Q₁₆	#127	semidirect
260. C₄²	#137	semidirect
322. C₄	#3278	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3278	2
#36592	2
Q₈×#127	2
#33300	2
#33163	2
#33161	2
#28490	2
#25756	2
#25755	2
#21681	2
C₄²×Q₁₆	2