Subgroups — #6583066

Order 512.

3110 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 385 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×D₄×Q₁₆	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
2	C₂×#3285	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
3	#35927	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#33309	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#33169	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#28486	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
7	#28484	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
8	#25767	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
9	#25766	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
10	#21683	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#20507	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂³×Q₁₆	C₂²	1	3	yes	—
14	C₂×D₄×Q₈	C₂²	1	6	yes	—
15	C₂×#548	C₂²	1	6	yes	—
16	D₄×Q₁₆	—	2	24	no	—
17	#3285	—	2	24	no	—
18	C₂×#497	C₂²	1	6	yes	—
19	C₂×#495	C₂²	1	3	yes	—
20	C₂×#494	C₂²	1	3	yes	—
21	C₂×#467	C₂²	1	6	yes	—
22	C₂×#467	C₂²	1	3	yes	—
23	C₂×#466	C₂²	1	3	yes	—
24	C₂×#464	C₂²	1	6	yes	—
25	C₂×#462	C₂²	1	6	yes	—
26	C₂×#452	C₂²	1	6	yes	—
27	C₂×#451	C₂²	1	12	yes	—
28	C₂×#448	C₂²	1	6	yes	—
29	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	3	yes	—
30	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	3	yes	—
31	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	3	yes	—
32	#2658	—	2	2	no	—
33	#2658	C₂²	1	2	yes	—
34	#2542	—	2	6	no	—
35	#2542	C₂²	1	6	yes	—
36	#2540	—	2	6	no	—
37	#2540	C₂²	1	6	yes	—
38	#2397	—	2	2	no	—
39	#2397	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#2276	C₂²	1	2	yes	—
41	#2001	C₂²	1	6	yes	—
42	#2001	C₂²	1	6	yes	—
43	#2000	C₂²	1	12	yes	—
44	#1983	C₂²	1	6	yes	—
45	#1981	C₂²	1	6	yes	—
46	#1955	C₂²	1	3	yes	—
47	#1955	C₂²	1	3	yes	—
48	#1843	C₂²	1	1	yes	characteristic
49	C₄×#107	C₂²	1	3	yes	—
50	#1763	C₂²	1	6	yes	—
51	#1726	C₂²	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂³×Q₈	C₂³	1	6	yes	—
54	C₂×#135	—	2	12	no	—
55	C₂²×Q₁₆	—	2	12	no	—
56	C₂²×Q₁₆	—	2	24	no	—
57	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	3	yes	—
58	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	6	yes	—
59	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	6	yes	—
60	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	6	yes	—
63	C₂²×D₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂³×C₈	C₂³	1	3	yes	—
65	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	D₄×Q₈	—	2	24	no	—
67	D₄×Q₈	—	4	12	no	—
68	#548	—	2	24	no	—
69	#548	—	4	12	no	—
70	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	6	no	—
71	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	6	yes	—
72	C₂×#124	—	2	6	no	—
73	C₂×#124	C₂³	1	6	yes	—
74	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	6	no	—
75	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	12	no	—
76	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	6	yes	—
77	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	12	yes	—
78	C₂×#121	—	2	6	no	—
79	C₂×#121	C₂³	1	6	yes	—
80	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	6	yes	—
81	C₂×C₄×D₄	—	2	6	no	—
82	C₂×C₄×D₄	—	2	6	no	—
83	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	3	yes	—
84	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	3	yes	—
85	#497	—	4	12	no	—
86	#495	—	2	12	no	—
87	#494	—	2	12	no	—
88	#467	—	2	12	no	—
89	#467	—	2	24	no	—
90	#466	—	2	12	no	—
91	#464	—	2	24	no	—
92	#462	—	2	24	no	—
93	#452	—	2	24	no	—
94	#451	—	2	48	no	—
95	#448	—	2	24	no	—
96	C₄×Q₁₆	D₄	1	24	yes	complemented
97	C₈×D₄	—	2	12	no	—
98	C₈×D₄	—	2	12	no	—
99	C₂×#107	C₂³	1	3	yes	—
100	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
101	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
102	C₂×#103	C₂³	1	6	yes	—
103	C₂×#103	C₂³	1	12	yes	—
104	C₂×#103	C₂³	1	6	yes	—
105	C₂×#102	C₂³	1	6	yes	—
106	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
107	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	6	yes	—
108	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
109	C₂×#97	C₂³	1	3	yes	—
110	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	3	yes	—
111	#399	—	2	6	no	—
112	#399	—	2	6	no	—
113	#399	—	2	6	no	—
114	#399	—	2	2	no	—
115	#399	—	2	6	no	—
116	#399	D₄	1	1	yes	characteristic
117	#399	D₄	1	3	yes	—
118	#392	—	2	6	no	—
119	#392	D₄	1	1	yes	characteristic
120	#392	D₄	1	3	yes	—
121	#390	—	2	6	no	—
122	#390	—	2	12	no	—
123	#384	—	2	6	no	—
124	C₄×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
125	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
126	#376	—	2	2	no	—
127	#376	C₂³	1	1	yes	characteristic
128	#340	C₂³	1	6	yes	—
129	C₂×#41	—	2	12	no	—
130	C₂×#41	—	4	6	no	—
131	C₂²×Q₈	—	2	6	no	—
132	C₂²×Q₈	—	2	12	no	—
133	C₂²×Q₈	—	2	24	no	—
134	C₂²×Q₈	—	4	6	no	—
135	C₂²×Q₈	—	4	12	no	—
136	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	6	yes	—
137	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
138	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
139	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
140	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
141	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
142	C₂²×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
143	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
144	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
145	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
146	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
147	#135	—	4	16	no	—
148	C₂×Q₁₆	—	2	24	no	—
149	C₂×Q₁₆	—	2	12	no	—
150	C₂×Q₁₆	—	2	12	no	—
151	C₂×Q₁₆	—	2	6	no	—
152	C₂×Q₁₆	—	2	12	no	—
153	C₂×Q₁₆	—	4	12	no	—
154	C₂×Q₁₆	—	4	48	no	—
155	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	12	yes	—
156	C₂×SD₁₆	—	2	12	no	—
157	C₂×SD₁₆	—	2	12	no	—
158	C₂×SD₁₆	—	4	12	no	—
159	C₂×D₈	—	2	6	no	—
160	C₂²×C₈	—	2	6	no	—
161	C₂²×C₈	—	2	12	no	—
162	C₂²×C₈	—	2	6	no	—
163	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
164	C₂²×C₈	C₂⁴	1	3	yes	—
165	C₂²×C₈	C₂⁴	1	3	yes	—
166	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
167	C₄⋊Q₈	—	2	12	no	—
168	C₄⋊Q₈	—	2	12	no	—
169	C₄⋊Q₈	—	4	24	no	—
170	#124	—	2	12	no	—
171	#124	—	2	12	no	—
172	#124	—	4	24	no	—
173	C₂²⋊Q₈	—	2	12	no	—
174	C₂²⋊Q₈	—	2	24	no	—
175	C₂²⋊Q₈	—	4	48	no	—
176	C₂²⋊Q₈	—	4	24	no	—
177	C₂²⋊Q₈	—	4	6	no	—
178	C₂²⋊Q₈	—	4	12	no	—
179	#121	—	2	12	no	—
180	#121	—	4	6	no	—
181	#121	—	4	24	no	—
182	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
183	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	24	yes	—
184	C₄×D₄	—	2	6	no	—
185	C₄×D₄	—	2	6	no	—
186	C₄×D₄	—	2	6	no	—
187	C₄×D₄	—	2	6	no	—
188	C₄×D₄	—	4	24	no	—
189	C₄×D₄	—	4	24	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
196	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
197	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
198	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
199	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
200	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
201	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
202	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
203	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
204	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
205	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
206	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
207	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
208	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
209	#107	C₂×D₄	1	12	yes	—
210	C₄⋊C₈	—	2	6	no	—
211	C₄⋊C₈	—	2	6	no	—
212	#103	—	2	12	no	—
213	#103	—	2	24	no	—
214	#103	C₂×D₄	1	24	yes	—
215	#102	—	2	12	no	—
216	C₂²⋊C₈	—	2	6	no	—
217	C₂²⋊C₈	—	2	12	no	—
218	C₂²⋊C₈	—	2	6	no	—
219	#97	—	2	6	no	—
220	C₄×C₈	C₂×D₄	1	12	yes	—
221	#95	—	2	6	no	—
222	#95	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
223	#95	C₂×D₄	1	3	yes	—
224	C₂⁴	—	2	2	no	—
225	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
226	C₂⁴	C₂²×D₄	1	3	yes	—
227	#41	—	4	8	no	—
228	#41	—	8	12	no	—
229	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
230	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
231	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
232	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
233	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
234	C₂×Q₈	—	4	12	no	—
235	C₂×Q₈	—	4	24	no	—
236	C₂×Q₈	—	4	24	no	—
237	C₂×Q₈	—	8	12	no	—
238	C₂×Q₈	—	8	24	no	—
239	C₂×Q₈	C₂²×D₄	1	12	yes	—
240	C₂×D₄	—	2	12	no	—
241	C₂×D₄	—	2	6	no	—
242	C₂×D₄	—	2	6	no	—
243	C₂×D₄	—	2	6	no	—
244	C₂×D₄	—	2	6	no	—
245	C₂×D₄	—	2	6	no	—
246	C₂×D₄	—	4	3	no	—
247	C₂×D₄	—	4	12	no	—
248	C₂×D₄	—	4	12	no	—
249	C₂×D₄	—	4	12	no	—
250	C₂×D₄	—	8	6	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
260	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
261	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
262	C₂²×C₄	—	4	24	no	—
263	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
265	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
268	Q₁₆	—	4	24	no	—
269	Q₁₆	—	4	12	no	—
270	Q₁₆	—	8	12	no	—
271	Q₁₆	#127	1	16	yes	—
272	SD₁₆	—	4	8	no	—
273	SD₁₆	—	8	12	no	—
274	D₈	—	4	4	no	—
275	C₂×C₈	—	2	6	no	—
276	C₂×C₈	—	2	3	no	—
277	C₂×C₈	—	2	3	no	—
278	C₂×C₈	—	2	6	no	—
279	C₂×C₈	—	4	12	no	—
280	C₂×C₈	—	4	4	no	—
281	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	6	yes	—
282	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	6	yes	—
283	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
284	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
285	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
286	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
287	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
288	C₄⋊C₄	—	4	24	no	—
289	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
290	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
291	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
292	C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
293	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
294	C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
295	C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	4	24	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
299	C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
300	C₄²	—	2	24	no	—
301	C₄²	—	8	6	no	—
302	C₄²	C₂²×D₄	1	6	yes	—
303	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	6	yes	—
304	C₂³	—	2	3	no	—
305	C₂³	—	2	6	no	—
306	C₂³	—	2	3	no	—
307	C₂³	—	2	6	no	—
308	C₂³	—	2	1	no	—
309	C₂³	—	2	3	no	—
310	C₂³	—	2	3	no	—
311	C₂³	—	4	2	no	—
312	C₂³	—	4	6	no	—
313	C₂³	—	4	6	no	—
314	C₂³	#578	1	6	yes	—
315	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
316	Q₈	—	2	12	no	—
317	Q₈	—	4	6	no	—
318	Q₈	—	4	6	no	—
319	Q₈	—	4	12	no	—
320	Q₈	—	8	24	no	—
321	Q₈	C₂×#127	1	8	yes	—
322	D₄	—	2	24	no	—
323	D₄	—	4	12	no	—
324	D₄	—	4	2	no	—
325	D₄	—	4	6	no	—
326	D₄	—	8	8	no	—
327	D₄	—	8	24	no	—
328	C₂×C₄	—	2	3	no	—
329	C₂×C₄	—	2	12	no	—
330	C₂×C₄	—	2	6	no	—
331	C₂×C₄	—	2	3	no	—
332	C₂×C₄	—	2	12	no	—
333	C₂×C₄	—	2	3	no	—
334	C₂×C₄	—	2	3	no	—
335	C₂×C₄	—	2	6	no	—
336	C₂×C₄	—	4	6	no	—
337	C₂×C₄	—	4	6	no	—
338	C₂×C₄	—	4	3	no	—
339	C₂×C₄	—	4	1	no	—
340	C₂×C₄	—	4	3	no	—
341	C₂×C₄	—	4	6	no	—
342	C₂×C₄	—	4	3	no	—
343	C₂×C₄	—	4	6	no	—
344	C₂×C₄	—	4	12	no	—
345	C₂×C₄	—	8	8	no	—
346	C₂×C₄	—	8	24	no	—
347	C₂×C₄	D₄²	1	6	yes	—
348	C₂×C₄	D₄²	1	6	yes	—
349	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	3	yes	—
350	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	3	yes	—
351	C₈	—	2	6	no	—
352	C₈	—	4	1	no	—
353	C₈	—	4	3	no	—
354	C₈	C₂×#127	1	4	yes	—
355	C₂²	—	2	12	no	—
356	C₂²	—	2	6	no	—
357	C₂²	—	4	3	no	—
358	C₂²	—	4	3	no	—
359	C₂²	—	4	6	no	—
360	C₂²	—	4	1	no	—
361	C₂²	—	4	3	no	—
362	C₂²	—	4	3	no	—
363	C₂²	—	8	2	no	—
364	C₂²	—	8	6	no	—
365	C₂²	—	8	6	no	—
366	C₂²	C₂×D₄²	1	3	yes	—
367	C₂²	C₂×#578	1	3	yes	—
368	C₂²	#3584	1	1	yes	characteristic
369	C₄	—	2	8	no	—
370	C₄	—	2	6	no	—
371	C₄	—	2	6	no	—
372	C₄	—	4	1	no	—
373	C₄	—	4	3	no	—
374	C₄	—	4	12	no	—
375	C₄	—	8	6	no	—
376	C₄	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
377	C₄	#3498	1	3	yes	—
378	C₂	—	4	6	no	—
379	C₂	—	8	1	no	—
380	C₂	—	16	2	no	—
381	C₂	D₄×#127	1	1	yes	characteristic
382	C₂	#61053	1	3	yes	—
383	C₂	#61057	1	3	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ #2397 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×D₄×Q₁₆	C₂	semidirect
2. C₂×#3285	C₂	semidirect
3. #35927	C₂	semidirect
4. #33309	C₂	semidirect
5. #33169	C₂	semidirect
6. #28486	C₂	semidirect
7. #28484	C₂	semidirect
8. #25767	C₂	semidirect
9. #25766	C₂	semidirect
10. #21683	C₂	semidirect
11. #20507	C₂	semidirect
96. C₄×Q₁₆	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×D₄×Q₁₆	2
C₂×#3285	2
#35927	2
#33309	2
#33169	2
#28486	2
#28484	2
#25767	2
#25766	2
#21683	2
#20507	2