Subgroups — #6583191

Order 512.

3186 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 413 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3292	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
2	#61089	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#60647	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#33301	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#33190	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#28504	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#28497	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#25805	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
9	#25747	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#21705	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₄×#443	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#576	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×#576	C₂²	1	8	yes	complemented
14	#3498	C₂²	1	4	yes	complemented
15	#3292	—	2	32	no	—
16	#3287	—	2	4	no	—
17	D₄×D₈	—	2	4	no	—
18	#3274	—	2	8	no	—
19	#3155	—	2	8	no	—
20	#3155	C₂²	1	8	yes	complemented
21	#3151	—	2	4	no	—
22	#3151	C₂²	1	4	yes	complemented
23	#3147	—	2	2	no	—
24	#3147	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#493	—	2	2	no	—
26	C₂×#493	C₂²	1	2	yes	complemented
27	C₂×#493	C₂²	1	4	yes	complemented
28	C₂×#493	C₂²	1	2	yes	complemented
29	C₂×#493	C₂²	1	4	yes	complemented
30	C₂×#472	C₂²	1	8	yes	complemented
31	C₂×#472	C₂²	1	8	yes	complemented
32	#3058	C₂²	1	4	yes	complemented
33	#3038	C₂²	1	4	yes	complemented
34	C₂×#453	C₂²	1	16	yes	complemented
35	#3008	C₂²	1	8	yes	complemented
36	C₂×#443	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×#443	C₂²	1	4	yes	complemented
38	C₄×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#2931	C₂²	1	2	yes	complemented
40	C₄×#131	C₂²	1	2	yes	complemented
41	#2867	C₂²	1	2	yes	complemented
42	#2018	C₂²	1	8	yes	complemented
43	#2002	C₂²	1	16	yes	complemented
44	#1978	C₂²	1	8	yes	complemented
45	#1974	C₂²	1	4	yes	complemented
46	#1965	C₂²	1	4	yes	complemented
47	#1962	C₂²	1	2	yes	complemented
48	#1848	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
49	C₄×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
50	#1772	C₂²	1	2	yes	complemented
51	#1764	C₂²	1	4	yes	complemented
52	C₄×#104	C₂²	1	2	yes	complemented
53	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
54	C₂×H(5,𝔽₂)	C₂³	1	8	yes	—
55	#576	—	2	32	no	—
56	#576	—	2	32	no	—
57	#576	—	4	16	no	—
58	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	16	no	—
59	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	8	no	—
60	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂³	1	8	yes	—
61	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂³	1	16	yes	—
62	C₂×#135	—	2	8	no	—
63	C₂×#135	—	2	4	no	—
64	C₂×#135	C₂³	1	4	yes	—
65	C₂×#135	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×D₈	—	2	8	no	—
67	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
68	C₂²×D₈	C₂³	1	8	yes	—
69	C₂²×D₈	C₂³	1	4	yes	—
70	C₂²×D₈	C₂³	1	4	yes	—
71	C₂×#131	C₂³	1	4	yes	—
72	C₂×#131	C₂³	1	4	yes	—
73	#550	—	2	8	no	—
74	D₄²	—	2	8	no	—
75	D₄²	—	4	8	no	—
76	#535	—	2	8	no	—
77	#535	C₂³	1	8	yes	—
78	#532	—	2	4	no	—
79	#532	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂×#127	—	2	4	no	—
81	C₂×#127	—	4	4	no	—
82	C₂×#127	C₂³	1	8	yes	—
83	C₂×#127	C₂³	1	4	yes	—
84	C₄×#41	C₂³	1	2	yes	—
85	#496	—	2	16	no	—
86	#496	—	2	8	no	—
87	#495	—	2	8	no	—
88	#495	D₄	1	4	yes	complemented
89	#494	D₄	1	1	yes	characteristic, complemented
90	#493	—	2	8	no	—
91	#493	—	2	4	no	—
92	#493	—	2	2	no	—
93	#493	—	2	2	no	—
94	#493	—	2	4	no	—
95	#493	—	2	4	no	—
96	#493	—	2	4	no	—
97	#493	—	2	16	no	—
98	#493	—	4	8	no	—
99	#493	D₄	1	1	yes	characteristic, complemented
100	#492	—	2	4	no	—
101	#492	D₄	1	2	yes	complemented
102	#472	—	2	32	no	—
103	#472	—	2	32	no	—
104	#469	—	2	8	no	—
105	#466	—	2	8	no	—
106	#460	—	2	8	no	—
107	#459	—	2	8	no	—
108	#453	—	2	64	no	—
109	#449	—	2	16	no	—
110	#447	—	2	16	no	—
111	#443	—	2	16	no	—
112	#443	D₄	1	16	yes	complemented
113	C₄×Q₁₆	D₄	1	2	yes	complemented
114	C₄×SD₁₆	D₄	1	4	yes	complemented
115	C₄×D₈	D₄	1	2	yes	complemented
116	#436	—	2	4	no	—
117	C₈×D₄	—	2	4	no	—
118	C₂×#108	C₂³	1	4	yes	—
119	C₂×#108	C₂³	1	2	yes	—
120	#427	C₂³	1	1	yes	characteristic
121	#423	C₂³	1	2	yes	—
122	C₂×#104	C₂³	1	8	yes	—
123	C₂×#104	C₂³	1	4	yes	—
124	#418	C₂³	1	8	yes	—
125	#416	C₂³	1	2	yes	—
126	C₂×#100	C₂³	1	16	yes	—
127	#408	C₂³	1	4	yes	—
128	#405	—	2	4	no	—
129	#405	C₂³	1	4	yes	—
130	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
131	C₄×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
132	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
134	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
135	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
136	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
137	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
138	#341	C₂³	1	2	yes	—
139	#339	C₂³	1	4	yes	—
140	H(5,𝔽₂)	—	2	32	no	—
141	H(5,𝔽₂)	—	4	16	no	—
142	C₂×#41	—	2	8	no	—
143	C₂×#41	—	2	8	no	—
144	C₂×#41	C₂⁴	1	4	yes	—
145	C₂×#41	C₂⁴	1	2	yes	—
146	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
147	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
148	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
149	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
150	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
151	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
152	C₂²×D₄	C₂⁴	1	8	yes	—
153	AGL(1,ℤ/8)	—	2	32	no	—
154	AGL(1,ℤ/8)	—	2	32	no	—
155	AGL(1,ℤ/8)	—	4	64	no	—
156	AGL(1,ℤ/8)	—	4	16	no	—
157	AGL(1,ℤ/8)	—	4	32	no	—
158	#135	—	2	8	no	—
159	#135	—	2	8	no	—
160	#135	—	4	32	no	—
161	#135	—	4	16	no	—
162	#135	C₂×D₄	1	8	yes	—
163	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
164	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
166	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
167	C₂×SD₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
168	C₂×SD₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
169	C₂×D₈	—	2	8	no	—
170	C₂×D₈	—	2	16	no	—
171	C₂×D₈	—	2	4	no	—
172	C₂×D₈	—	2	8	no	—
173	C₂×D₈	—	2	4	no	—
174	C₂×D₈	—	2	8	no	—
175	C₂×D₈	—	2	16	no	—
176	C₂×D₈	—	2	16	no	—
177	C₂×D₈	—	2	8	no	—
178	C₂×D₈	—	2	16	no	—
179	C₂×D₈	—	4	32	no	—
180	C₂×D₈	—	4	8	no	—
181	C₂×D₈	—	4	16	no	—
182	C₂×D₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
183	C₂×D₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
184	#131	—	2	8	no	—
185	#131	—	2	16	no	—
186	#131	C₂×D₄	1	16	yes	complemented
187	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
188	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
189	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
190	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
191	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
192	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
193	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
194	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
195	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
196	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
197	#127	—	2	8	no	—
198	#127	—	2	4	no	—
199	#127	—	2	4	no	—
200	#127	—	2	8	no	—
201	#127	—	2	16	no	—
202	#127	—	4	8	no	—
203	#127	—	4	8	no	—
204	#127	—	8	16	no	—
205	#127	C₂×D₄	1	2	yes	—
206	#124	—	2	8	no	—
207	#124	C₂×D₄	1	4	yes	—
208	#121	—	2	4	no	—
209	#121	—	2	16	no	—
210	#121	—	4	16	no	—
211	#121	—	4	8	no	—
212	#120	—	4	16	no	—
213	#120	—	4	8	no	—
214	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
215	C₄×D₄	—	2	4	no	—
216	C₄×D₄	—	2	4	no	—
217	C₄×D₄	—	4	8	no	—
218	C₄×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
219	#117	—	2	2	no	—
220	#117	C₂⁴	1	2	yes	—
221	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
222	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
223	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
224	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
225	#108	—	2	8	no	—
226	#108	C₂×D₄	1	8	yes	complemented
227	#107	C₂×D₄	1	2	yes	—
228	#106	C₂×D₄	1	2	yes	—
229	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
230	#104	—	2	16	no	—
231	#104	C₂×D₄	1	16	yes	complemented
232	#103	C₂×D₄	1	4	yes	—
233	#102	—	2	16	no	—
234	#102	C₂×D₄	1	4	yes	—
235	#100	—	2	32	no	—
236	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
237	#97	—	2	4	no	—
238	#97	—	2	2	no	—
239	C₄×C₈	—	2	4	no	—
240	C₄×C₈	—	2	4	no	—
241	C₄×C₈	—	2	2	no	—
242	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
243	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
244	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
245	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
246	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
247	C₄×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	complemented
248	C₂⁴	—	2	8	no	—
249	C₂⁴	—	4	8	no	—
250	#41	—	2	4	no	—
251	#41	—	2	8	no	—
252	#41	—	2	8	no	—
253	#41	—	4	32	no	—
254	#41	—	4	16	no	—
255	#41	—	8	8	no	—
256	#41	C₂²×D₄	1	8	yes	—
257	C₂×Q₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
258	C₂×Q₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
259	C₂×D₄	—	2	2	no	—
260	C₂×D₄	—	2	4	no	—
261	C₂×D₄	—	2	4	no	—
262	C₂×D₄	—	2	16	no	—
263	C₂×D₄	—	2	8	no	—
264	C₂×D₄	—	2	8	no	—
265	C₂×D₄	—	2	16	no	—
266	C₂×D₄	—	4	32	no	—
267	C₂×D₄	—	4	8	no	—
268	C₂×D₄	—	4	8	no	—
269	C₂×D₄	—	4	16	no	—
270	C₂×D₄	—	4	16	no	—
271	C₂×D₄	—	4	8	no	—
272	C₂×D₄	—	4	8	no	—
273	C₂×D₄	—	8	16	no	—
274	C₂×D₄	—	8	16	no	—
275	C₂×D₄	—	8	32	no	—
276	C₂×D₄	—	8	8	no	—
277	C₂×D₄	—	8	32	no	—
278	C₂×D₄	—	16	16	no	—
279	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
280	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
281	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
284	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
285	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
286	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
287	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
288	Q₁₆	—	2	8	no	—
289	Q₁₆	#127	1	4	yes	complemented
290	SD₁₆	—	2	16	no	—
291	SD₁₆	—	4	32	no	—
292	SD₁₆	—	4	16	no	—
293	SD₁₆	#127	1	8	yes	complemented
294	D₈	—	2	8	no	—
295	D₈	—	4	32	no	—
296	D₈	—	4	16	no	—
297	D₈	—	4	8	no	—
298	D₈	—	4	8	no	—
299	D₈	—	4	16	no	—
300	D₈	—	4	16	no	—
301	D₈	—	8	8	no	—
302	D₈	#127	1	4	yes	complemented
303	M₁₆	—	2	4	no	—
304	M₁₆	—	2	16	no	—
305	M₁₆	—	2	8	no	—
306	M₁₆	—	4	8	no	—
307	M₁₆	C₂²×D₄	1	8	yes	—
308	C₂×C₈	—	2	4	no	—
309	C₂×C₈	—	2	2	no	—
310	C₂×C₈	—	2	16	no	—
311	C₂×C₈	—	2	4	no	—
312	C₂×C₈	—	4	8	no	—
313	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
314	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
317	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
318	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
319	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
320	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
321	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
322	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
323	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
324	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
325	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
326	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
327	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
328	C₄²	—	2	8	no	—
329	C₄²	—	2	4	no	—
330	C₄²	—	2	2	no	—
331	C₄²	—	2	2	no	—
332	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
333	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
334	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
335	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
336	C₂³	—	2	2	no	—
337	C₂³	—	2	4	no	—
338	C₂³	—	4	8	no	—
339	C₂³	—	4	16	no	—
340	C₂³	—	8	16	no	—
341	C₂³	—	8	16	no	—
342	C₂³	—	16	16	no	—
343	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
344	Q₈	—	2	2	no	—
345	Q₈	—	2	8	no	—
346	Q₈	C₂×#127	1	4	yes	—
347	D₄	—	2	8	no	—
348	D₄	—	2	8	no	—
349	D₄	—	2	2	no	—
350	D₄	—	4	8	no	—
351	D₄	—	4	8	no	—
352	D₄	—	4	16	no	—
353	D₄	—	4	8	no	—
354	D₄	—	4	8	no	—
355	D₄	—	8	16	no	—
356	D₄	—	8	16	no	—
357	D₄	—	8	16	no	—
358	D₄	—	16	8	no	—
359	D₄	—	16	32	no	—
360	D₄	—	16	16	no	—
361	D₄	C₂×#127	1	4	yes	—
362	C₂×C₄	—	2	8	no	—
363	C₂×C₄	—	2	2	no	—
364	C₂×C₄	—	2	4	no	—
365	C₂×C₄	—	2	8	no	—
366	C₂×C₄	—	2	4	no	—
367	C₂×C₄	—	2	4	no	—
368	C₂×C₄	—	2	4	no	—
369	C₂×C₄	—	4	4	no	—
370	C₂×C₄	—	4	4	no	—
371	C₂×C₄	—	4	8	no	—
372	C₂×C₄	—	8	16	no	—
373	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
374	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
375	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
376	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
377	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
378	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
379	C₈	—	2	8	no	—
380	C₈	—	2	2	no	—
381	C₈	—	4	4	no	—
382	C₈	C₂×#127	1	2	yes	—
383	C₈	C₂×#127	1	2	yes	—
384	C₈	D₄²	1	4	yes	—
385	C₈	D₄²	1	4	yes	—
386	C₂²	—	2	2	no	—
387	C₂²	—	2	4	no	—
388	C₂²	—	4	4	no	—
389	C₂²	—	4	4	no	—
390	C₂²	—	4	8	no	—
391	C₂²	—	8	8	no	—
392	C₂²	—	8	16	no	—
393	C₂²	—	16	16	no	—
394	C₂²	—	32	16	no	—
395	C₂²	C₂×D₄²	1	1	yes	characteristic
396	C₂²	#3498	1	2	yes	—
397	C₄	—	2	8	no	—
398	C₄	—	2	4	no	—
399	C₄	—	2	2	no	—
400	C₄	—	4	4	no	—
401	C₄	—	4	4	no	—
402	C₄	#3292	1	4	yes	complemented
403	C₄	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
404	C₄	C₂×D₄²	1	2	yes	—
405	C₄	#3498	1	1	yes	characteristic
406	C₂	—	2	2	no	—
407	C₂	—	4	4	no	—
408	C₂	—	8	4	no	—
409	C₂	—	16	8	no	—
410	C₂	D₄×#127	1	1	yes	characteristic
411	C₂	C₂×#3292	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂×D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3292	C₂	semidirect
2. #61089	C₂	semidirect
3. #60647	C₂	semidirect
4. #33301	C₂	semidirect
5. #33190	C₂	semidirect
6. #28504	C₂	semidirect
7. #28497	C₂	semidirect
8. #25805	C₂	semidirect
9. #25747	C₂	semidirect
10. #21705	C₂	semidirect
11. C₄×#443	C₂	semidirect
13. C₂×#576	C₂²	semidirect
14. #3498	C₂²	semidirect
20. #3155	C₂²	semidirect
22. #3151	C₂²	semidirect
26. C₂×#493	C₂²	semidirect
27. C₂×#493	C₂²	semidirect
28. C₂×#493	C₂²	semidirect
29. C₂×#493	C₂²	semidirect
30. C₂×#472	C₂²	semidirect
31. C₂×#472	C₂²	semidirect
32. #3058	C₂²	semidirect
33. #3038	C₂²	semidirect
34. C₂×#453	C₂²	semidirect
35. #3008	C₂²	semidirect
37. C₂×#443	C₂²	semidirect
39. #2931	C₂²	semidirect
40. C₄×#131	C₂²	semidirect
41. #2867	C₂²	semidirect
42. #2018	C₂²	semidirect
43. #2002	C₂²	semidirect
44. #1978	C₂²	semidirect
45. #1974	C₂²	semidirect
46. #1965	C₂²	semidirect
47. #1962	C₂²	semidirect
48. #1848	C₂²	semidirect
49. C₄×#108	C₂²	semidirect
50. #1772	C₂²	semidirect
51. #1764	C₂²	semidirect
52. C₄×#104	C₂²	semidirect
53. C₄²×C₈	C₂²	semidirect
88. #495	D₄	semidirect
89. #494	D₄	semidirect
99. #493	D₄	semidirect
101. #492	D₄	semidirect
112. #443	D₄	semidirect
113. C₄×Q₁₆	D₄	semidirect
114. C₄×SD₁₆	D₄	semidirect
115. C₄×D₈	D₄	semidirect
186. #131	C₂×D₄	semidirect
226. #108	C₂×D₄	semidirect
231. #104	C₂×D₄	semidirect
247. C₄×C₈	C₂×D₄	semidirect
289. Q₁₆	#127	semidirect
293. SD₁₆	#127	semidirect
302. D₈	#127	semidirect
402. C₄	#3292	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3292	2
#61089	2
#60647	2
#33301	2
#33190	2
#28504	2
#28497	2
#25805	2
#25747	2
#21705	2
C₄×#443	2