Subgroups — #6583356

Order 512.

1662 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 371 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#61373	C₂	1	2	yes	maximal
2	#60665	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#33313	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#33220	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#28823	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#28699	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#26080	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
8	#25829	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#22690	C₂	1	4	yes	maximal
10	#21732	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₄×#443	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	#3503	C₂²	1	4	yes	—
13	#3386	—	2	4	no	—
14	#3385	—	2	4	no	—
15	#3383	—	2	2	no	—
16	Q₈×Q₁₆	—	2	2	no	—
17	#3380	—	2	2	no	—
18	Q₈×D₈	—	2	2	no	—
19	#3165	—	2	4	no	—
20	#3165	C₂²	1	4	yes	—
21	#3164	C₂²	1	4	yes	—
22	#3163	—	2	8	no	—
23	#3163	C₂²	1	8	yes	—
24	#3160	—	2	2	no	—
25	#3160	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#500	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#498	—	2	2	no	—
28	C₂×#498	C₂²	1	2	yes	—
29	#3083	C₂²	1	8	yes	—
30	#3079	C₂²	1	4	yes	—
31	#2960	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#443	C₂²	1	2	yes	—
33	#2951	C₂²	1	4	yes	—
34	C₄×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#2912	C₂²	1	8	yes	—
36	C₄×#131	C₂²	1	2	yes	—
37	#2862	C₂²	1	2	yes	—
38	#2089	C₂²	1	8	yes	—
39	#2061	C₂²	1	16	yes	—
40	#1997	C₂²	1	4	yes	—
41	#1994	C₂²	1	2	yes	—
42	#1952	C₂²	1	8	yes	—
43	#1951	C₂²	1	8	yes	—
44	#1945	C₂²	1	4	yes	—
45	#1860	C₂²	1	16	yes	—
46	#1848	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	#1846	C₂²	1	4	yes	—
48	#1846	C₂²	1	4	yes	—
49	#1815	C₂²	1	8	yes	—
50	C₄×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
51	#1772	C₂²	1	2	yes	—
52	#1772	C₂²	1	4	yes	—
53	#1764	C₂²	1	4	yes	—
54	C₄×#104	C₂²	1	2	yes	—
55	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
56	C₂×#135	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂×#131	C₂³	1	4	yes	—
58	Q₈²	—	2	4	no	—
59	#557	—	2	4	no	—
60	#554	—	2	4	no	—
61	#554	—	4	4	no	—
62	D₄×Q₈	—	2	4	no	—
63	D₄×Q₈	—	4	4	no	—
64	#544	—	2	8	no	—
65	#544	C₂³	1	8	yes	—
66	#533	—	2	4	no	—
67	#533	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
69	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
70	#520	C₂³	1	8	yes	—
71	C₄×#41	C₂³	1	2	yes	—
72	#501	—	2	8	no	—
73	#501	—	2	16	no	—
74	#501	—	2	8	no	—
75	#500	—	2	4	no	—
76	#500	—	2	4	no	—
77	#500	—	2	2	no	—
78	#500	—	2	2	no	—
79	#500	—	2	2	no	—
80	#500	—	2	2	no	—
81	#500	D₄	1	2	yes	—
82	#499	—	2	4	no	—
83	#499	—	2	8	no	—
84	#499	D₄	1	4	yes	—
85	#498	—	2	4	no	—
86	#498	—	2	8	no	—
87	#498	—	2	2	no	—
88	#498	—	2	4	no	—
89	#498	—	2	2	no	—
90	#498	D₄	1	1	yes	characteristic
91	#498	D₄	1	1	yes	characteristic
92	#479	—	2	8	no	—
93	#478	—	2	8	no	—
94	#477	—	2	4	no	—
95	#477	—	2	8	no	—
96	#476	—	2	4	no	—
97	#475	—	2	4	no	—
98	#474	—	2	4	no	—
99	#474	—	2	8	no	—
100	#446	—	2	2	no	—
101	#446	—	2	2	no	—
102	C₈×Q₈	—	2	2	no	—
103	C₈×Q₈	—	2	2	no	—
104	#443	Q₈	1	16	yes	complemented
105	#440	—	2	8	no	—
106	C₄×Q₁₆	—	2	4	no	—
107	C₄×Q₁₆	D₄	1	2	yes	—
108	C₄×SD₁₆	D₄	1	4	yes	—
109	C₄×D₈	—	2	4	no	—
110	C₄×D₈	D₄	1	2	yes	—
111	C₂×#108	C₂³	1	4	yes	—
112	C₂×#108	C₂³	1	2	yes	—
113	#428	—	2	16	no	—
114	#428	C₂³	1	8	yes	—
115	#428	C₂³	1	16	yes	—
116	#427	—	2	8	no	—
117	#427	C₂³	1	4	yes	—
118	#427	C₂³	1	1	yes	characteristic
119	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
120	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
121	C₂×#106	—	2	8	no	—
122	C₂×#106	C₂³	1	8	yes	—
123	#424	C₂³	1	4	yes	—
124	#423	C₂³	1	2	yes	—
125	C₂×#104	C₂³	1	4	yes	—
126	#417	C₂³	1	8	yes	—
127	#416	C₂³	1	2	yes	—
128	#405	—	2	4	no	—
129	#405	C₂³	1	4	yes	—
130	#405	C₂³	1	4	yes	—
131	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
132	C₄×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
133	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
134	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
135	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
136	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
137	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
138	#391	—	4	4	no	—
139	#382	C₂³	1	8	yes	—
140	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
141	#343	C₂³	1	16	yes	—
142	#341	C₂³	1	2	yes	—
143	#339	C₂³	1	4	yes	—
144	#339	C₂³	1	8	yes	—
145	C₂×#41	C₂⁴	1	2	yes	—
146	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
147	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
148	#135	C₂×Q₈	1	8	yes	—
149	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂×SD₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
151	C₂×D₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
152	#131	—	2	8	no	—
153	#131	C₂×Q₈	1	16	yes	complemented
154	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
155	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
156	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
157	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
158	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
159	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
160	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
161	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
162	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
163	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
164	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
165	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
166	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
167	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
168	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
169	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
170	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
171	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
172	#125	—	2	8	no	—
173	#125	—	2	8	no	—
174	#125	—	4	8	no	—
175	#125	C₂×D₄	1	4	yes	—
176	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
177	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
178	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
179	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
180	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
181	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
182	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
183	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
184	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
185	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
186	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
187	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
188	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
189	C₄×D₄	—	2	4	no	—
190	C₄×D₄	—	2	8	no	—
191	C₄×D₄	—	4	8	no	—
192	C₄×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
193	#117	—	2	2	no	—
194	#117	—	2	8	no	—
195	#117	C₂⁴	1	2	yes	—
196	#117	C₂⁴	1	4	yes	—
197	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
198	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
199	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
200	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
201	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
202	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
203	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
204	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
205	#108	—	2	8	no	—
206	#108	C₂×Q₈	1	8	yes	complemented
207	#107	—	2	4	no	—
208	#107	—	2	4	no	—
209	#107	—	2	4	no	—
210	#107	—	2	4	no	—
211	#107	—	2	16	no	—
212	#107	—	2	8	no	—
213	#107	C₂×D₄	1	8	yes	—
214	#107	C₂×D₄	1	2	yes	—
215	#106	—	2	8	no	—
216	#106	—	2	8	no	—
217	#106	—	2	16	no	—
218	#106	—	2	8	no	—
219	#106	C₂×D₄	1	4	yes	—
220	#106	C₂×D₄	1	4	yes	—
221	#106	C₂×D₄	1	2	yes	—
222	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
223	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
224	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
225	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
226	#104	C₂×Q₈	1	16	yes	complemented
227	#103	—	2	8	no	—
228	#103	C₂×D₄	1	4	yes	—
229	#102	—	2	8	no	—
230	#102	C₂×D₄	1	4	yes	—
231	#97	—	2	4	no	—
232	#97	—	2	4	no	—
233	#97	—	2	2	no	—
234	C₄×C₈	—	2	4	no	—
235	C₄×C₈	—	2	4	no	—
236	C₄×C₈	—	2	4	no	—
237	C₄×C₈	—	2	2	no	—
238	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
239	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
240	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
241	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
242	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
243	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	8	yes	complemented
244	#95	—	4	8	no	—
245	#41	—	2	4	no	—
246	#41	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
247	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
248	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
249	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
250	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
251	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
252	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
253	C₂×Q₈	—	16	8	no	—
254	C₂×Q₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
255	C₂×D₄	—	2	2	no	—
256	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
257	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
260	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
261	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
262	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
264	Q₁₆	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
265	SD₁₆	C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
266	D₈	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
267	M₁₆	—	2	4	no	—
268	M₁₆	—	2	16	no	—
269	M₁₆	—	2	8	no	—
270	M₁₆	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
271	C₂×C₈	—	2	4	no	—
272	C₂×C₈	—	2	2	no	—
273	C₂×C₈	—	2	16	no	—
274	C₂×C₈	—	2	4	no	—
275	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
276	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
277	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
278	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
279	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
280	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
281	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
282	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
283	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
284	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
285	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
286	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
287	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
288	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
290	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
291	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
292	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
293	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
294	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
295	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
296	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
297	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
298	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
299	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
300	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
301	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
302	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
303	C₄²	—	2	4	no	—
304	C₄²	—	2	2	no	—
305	C₄²	—	2	4	no	—
306	C₄²	—	2	2	no	—
307	C₄²	—	4	8	no	—
308	C₄²	—	4	4	no	—
309	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
310	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
311	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
312	C₄²	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
313	C₂³	—	2	2	no	—
314	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
315	Q₈	—	2	2	no	—
316	Q₈	—	4	4	no	—
317	Q₈	—	4	4	no	—
318	Q₈	—	8	8	no	—
319	Q₈	—	16	4	no	—
320	Q₈	—	16	8	no	—
321	Q₈	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
322	D₄	—	2	8	no	—
323	D₄	—	2	2	no	—
324	D₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	2	8	no	—
327	C₂×C₄	—	2	4	no	—
328	C₂×C₄	—	2	4	no	—
329	C₂×C₄	—	2	4	no	—
330	C₂×C₄	—	2	4	no	—
331	C₂×C₄	—	2	4	no	—
332	C₂×C₄	—	4	4	no	—
333	C₂×C₄	—	4	8	no	—
334	C₂×C₄	—	4	8	no	—
335	C₂×C₄	—	8	8	no	—
336	C₂×C₄	—	16	8	no	—
337	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
343	C₈	—	2	8	no	—
344	C₈	—	2	2	no	—
345	C₈	—	4	4	no	—
346	C₈	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
347	C₈	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
348	C₈	D₄×Q₈	1	4	yes	—
349	C₈	D₄×Q₈	1	4	yes	—
350	C₂²	—	2	2	no	—
351	C₂²	—	2	4	no	—
352	C₂²	—	4	4	no	—
353	C₂²	C₂×D₄²	1	1	yes	characteristic
354	C₂²	#3503	1	2	yes	—
355	C₄	—	2	4	no	—
356	C₄	—	2	2	no	—
357	C₄	—	4	4	no	—
358	C₄	—	4	4	no	—
359	C₄	—	4	4	no	—
360	C₄	—	4	4	no	—
361	C₄	—	8	8	no	—
362	C₄	#3290	1	4	yes	—
363	C₄	C₂²×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
364	C₄	C₂×D₄×Q₈	1	2	yes	—
365	C₄	#3499	1	1	yes	characteristic
366	C₂	—	2	2	no	—
367	C₂	—	4	4	no	—
368	C₂	D₄×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
369	C₂	C₂×#3290	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂×D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂×#135	C₂³
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #60665	C₂	semidirect
3. #33313	C₂	semidirect
4. #33220	C₂	semidirect
5. #28823	C₂	semidirect
6. #28699	C₂	semidirect
7. #26080	C₂	semidirect
8. #25829	C₂	semidirect
10. #21732	C₂	semidirect
104. #443	Q₈	semidirect
153. #131	C₂×Q₈	semidirect
206. #108	C₂×Q₈	semidirect
226. #104	C₂×Q₈	semidirect
243. C₄×C₈	C₂×Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#61373	2
#60665	2
#33313	2
#33220	2
#28823	2
#28699	2
#26080	2
#25829	2
#22690	2
#21732	2
C₄×#443	2