Subgroups — #6583361

Order 512.

1662 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 366 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#61374	C₂	1	2	yes	maximal
2	#60667	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#33313	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#33222	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#28823	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#28700	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#26082	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
8	#25829	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#22691	C₂	1	4	yes	maximal
10	#21732	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₄×#443	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	#3503	C₂²	1	4	yes	—
13	#3387	—	2	4	no	—
14	#3384	—	2	4	no	—
15	#3381	—	2	4	no	—
16	Q₈×SD₁₆	—	2	4	no	—
17	#3165	—	2	4	no	—
18	#3165	C₂²	1	4	yes	—
19	#3164	—	2	8	no	—
20	#3164	C₂²	1	8	yes	—
21	#3163	C₂²	1	4	yes	—
22	#3160	—	2	2	no	—
23	#3160	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#500	—	2	2	no	—
25	C₂×#500	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#498	C₂²	1	2	yes	—
27	#3084	C₂²	1	8	yes	—
28	#3079	C₂²	1	4	yes	—
29	#2960	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#443	C₂²	1	2	yes	—
31	#2952	C₂²	1	4	yes	—
32	C₄×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#2913	C₂²	1	8	yes	—
34	C₄×#131	C₂²	1	2	yes	—
35	#2862	C₂²	1	2	yes	—
36	#2090	C₂²	1	8	yes	—
37	#2061	C₂²	1	16	yes	—
38	#1997	C₂²	1	4	yes	—
39	#1994	C₂²	1	2	yes	—
40	#1952	C₂²	1	8	yes	—
41	#1951	C₂²	1	8	yes	—
42	#1945	C₂²	1	4	yes	—
43	#1860	C₂²	1	16	yes	—
44	#1848	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	#1846	C₂²	1	4	yes	—
46	#1846	C₂²	1	4	yes	—
47	#1816	C₂²	1	8	yes	—
48	C₄×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
49	#1772	C₂²	1	2	yes	—
50	#1772	C₂²	1	4	yes	—
51	#1764	C₂²	1	4	yes	—
52	C₄×#104	C₂²	1	2	yes	—
53	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
54	C₂×#135	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂×#131	C₂³	1	4	yes	—
56	Q₈²	—	2	4	no	—
57	#557	—	2	4	no	—
58	#554	—	2	4	no	—
59	#554	—	4	4	no	—
60	D₄×Q₈	—	2	4	no	—
61	D₄×Q₈	—	4	4	no	—
62	#544	—	2	8	no	—
63	#544	C₂³	1	8	yes	—
64	#533	—	2	4	no	—
65	#533	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
67	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
68	#520	C₂³	1	8	yes	—
69	C₄×#41	C₂³	1	2	yes	—
70	#501	—	2	8	no	—
71	#501	—	2	8	no	—
72	#501	—	2	16	no	—
73	#500	—	2	4	no	—
74	#500	—	2	8	no	—
75	#500	—	2	2	no	—
76	#500	—	2	4	no	—
77	#500	—	2	2	no	—
78	#500	D₄	1	2	yes	—
79	#499	—	2	8	no	—
80	#499	—	2	4	no	—
81	#499	D₄	1	4	yes	—
82	#498	—	2	4	no	—
83	#498	—	2	4	no	—
84	#498	—	2	4	no	—
85	#498	—	2	4	no	—
86	#498	D₄	1	2	yes	—
87	#479	—	2	8	no	—
88	#478	—	2	8	no	—
89	#477	—	2	4	no	—
90	#476	—	2	4	no	—
91	#476	—	2	8	no	—
92	#475	—	2	4	no	—
93	#475	—	2	8	no	—
94	#474	—	2	4	no	—
95	#446	—	2	4	no	—
96	C₈×Q₈	—	2	4	no	—
97	#443	Q₈	1	16	yes	complemented
98	#442	—	2	4	no	—
99	#441	—	2	4	no	—
100	C₄×Q₁₆	D₄	1	2	yes	—
101	C₄×SD₁₆	—	2	8	no	—
102	C₄×SD₁₆	D₄	1	2	yes	—
103	C₄×SD₁₆	D₄	1	2	yes	—
104	C₄×D₈	D₄	1	2	yes	—
105	C₂×#108	C₂³	1	4	yes	—
106	C₂×#108	C₂³	1	2	yes	—
107	#428	—	2	16	no	—
108	#428	C₂³	1	8	yes	—
109	#428	C₂³	1	16	yes	—
110	#427	—	2	8	no	—
111	#427	C₂³	1	4	yes	—
112	#427	C₂³	1	1	yes	characteristic
113	C₂×#107	—	2	8	no	—
114	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	—
115	C₂×#106	C₂³	1	4	yes	—
116	C₂×#106	C₂³	1	4	yes	—
117	#424	C₂³	1	4	yes	—
118	#423	C₂³	1	2	yes	—
119	C₂×#104	C₂³	1	4	yes	—
120	#417	C₂³	1	8	yes	—
121	#416	C₂³	1	2	yes	—
122	#405	—	2	4	no	—
123	#405	C₂³	1	4	yes	—
124	#405	C₂³	1	4	yes	—
125	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
126	C₄×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
127	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
128	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
129	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
130	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
132	#391	—	4	4	no	—
133	#382	C₂³	1	8	yes	—
134	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
135	#343	C₂³	1	16	yes	—
136	#341	C₂³	1	2	yes	—
137	#339	C₂³	1	4	yes	—
138	#339	C₂³	1	8	yes	—
139	C₂×#41	C₂⁴	1	2	yes	—
140	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
141	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
142	#135	C₂×Q₈	1	8	yes	—
143	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂×SD₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
145	C₂×D₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
146	#131	—	2	8	no	—
147	#131	C₂×Q₈	1	16	yes	complemented
148	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
149	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
150	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
151	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
152	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
153	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
154	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
155	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
156	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
157	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
158	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
159	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
160	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
161	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
162	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
163	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
164	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
165	#125	—	2	8	no	—
166	#125	—	2	8	no	—
167	#125	—	4	8	no	—
168	#125	C₂×D₄	1	4	yes	—
169	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
170	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
171	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
172	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
173	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
174	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
175	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
176	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
177	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
178	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
179	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
180	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
181	C₄×D₄	—	2	2	no	—
182	C₄×D₄	—	2	2	no	—
183	C₄×D₄	—	2	8	no	—
184	C₄×D₄	—	4	8	no	—
185	C₄×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
186	C₄×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
187	#117	—	2	2	no	—
188	#117	—	2	8	no	—
189	#117	C₂⁴	1	2	yes	—
190	#117	C₂⁴	1	4	yes	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
195	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
196	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
197	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
198	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
199	#108	—	2	8	no	—
200	#108	C₂×Q₈	1	8	yes	complemented
201	#107	—	2	8	no	—
202	#107	—	2	8	no	—
203	#107	—	2	16	no	—
204	#107	—	2	8	no	—
205	#107	C₂×D₄	1	8	yes	—
206	#107	C₂×D₄	1	2	yes	—
207	#106	—	2	4	no	—
208	#106	—	2	4	no	—
209	#106	—	2	8	no	—
210	#106	—	2	16	no	—
211	#106	—	2	8	no	—
212	#106	C₂×D₄	1	8	yes	—
213	#106	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
214	#106	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
215	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
216	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
217	#104	C₂×Q₈	1	16	yes	complemented
218	#103	—	2	8	no	—
219	#103	C₂×D₄	1	2	yes	—
220	#103	C₂×D₄	1	2	yes	—
221	#102	—	2	8	no	—
222	#102	C₂×D₄	1	2	yes	—
223	#102	C₂×D₄	1	2	yes	—
224	#97	—	2	4	no	—
225	#97	—	2	4	no	—
226	#97	—	2	2	no	—
227	C₄×C₈	—	2	4	no	—
228	C₄×C₈	—	2	4	no	—
229	C₄×C₈	—	2	4	no	—
230	C₄×C₈	—	2	2	no	—
231	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
232	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
233	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
234	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
235	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
236	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	8	yes	complemented
237	#95	—	4	8	no	—
238	#41	—	2	4	no	—
239	#41	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
240	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
241	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
242	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
243	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
244	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
245	C₂×Q₈	—	16	8	no	—
246	C₂×Q₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
247	C₂×D₄	—	2	2	no	—
248	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
255	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
257	Q₁₆	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
258	SD₁₆	C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
259	D₈	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
260	M₁₆	—	2	4	no	—
261	M₁₆	—	2	16	no	—
262	M₁₆	—	2	8	no	—
263	M₁₆	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
264	C₂×C₈	—	2	4	no	—
265	C₂×C₈	—	2	2	no	—
266	C₂×C₈	—	2	16	no	—
267	C₂×C₈	—	2	4	no	—
268	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
269	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
270	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
271	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
272	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
273	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
274	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
275	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
276	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
277	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
278	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
279	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
280	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
281	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
282	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
283	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
284	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
285	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
286	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
287	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
288	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
289	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
290	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
291	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
292	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
293	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
294	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
295	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
296	C₄²	—	2	2	no	—
297	C₄²	—	2	2	no	—
298	C₄²	—	2	2	no	—
299	C₄²	—	2	4	no	—
300	C₄²	—	2	2	no	—
301	C₄²	—	4	8	no	—
302	C₄²	—	4	4	no	—
303	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
304	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
305	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
306	C₄²	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
307	C₂³	—	2	2	no	—
308	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
309	Q₈	—	2	2	no	—
310	Q₈	—	4	8	no	—
311	Q₈	—	8	8	no	—
312	Q₈	—	16	4	no	—
313	Q₈	—	16	8	no	—
314	Q₈	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
315	D₄	—	2	8	no	—
316	D₄	—	2	2	no	—
317	D₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
318	C₂×C₄	—	2	2	no	—
319	C₂×C₄	—	2	8	no	—
320	C₂×C₄	—	2	4	no	—
321	C₂×C₄	—	2	2	no	—
322	C₂×C₄	—	2	2	no	—
323	C₂×C₄	—	2	8	no	—
324	C₂×C₄	—	2	4	no	—
325	C₂×C₄	—	4	4	no	—
326	C₂×C₄	—	4	4	no	—
327	C₂×C₄	—	4	4	no	—
328	C₂×C₄	—	4	8	no	—
329	C₂×C₄	—	8	8	no	—
330	C₂×C₄	—	16	8	no	—
331	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
337	C₈	—	2	8	no	—
338	C₈	—	2	2	no	—
339	C₈	—	4	4	no	—
340	C₈	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
341	C₈	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
342	C₈	D₄×Q₈	1	4	yes	—
343	C₈	D₄×Q₈	1	4	yes	—
344	C₂²	—	2	2	no	—
345	C₂²	—	2	4	no	—
346	C₂²	—	4	2	no	—
347	C₂²	—	4	2	no	—
348	C₂²	C₂×D₄²	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	#3503	1	2	yes	—
350	C₄	—	2	4	no	—
351	C₄	—	2	2	no	—
352	C₄	—	4	4	no	—
353	C₄	—	4	2	no	—
354	C₄	—	4	2	no	—
355	C₄	—	4	8	no	—
356	C₄	—	8	8	no	—
357	C₄	#3290	1	4	yes	—
358	C₄	C₂²×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
359	C₄	C₂×D₄×Q₈	1	2	yes	—
360	C₄	#3499	1	1	yes	characteristic
361	C₂	—	2	2	no	—
362	C₂	—	4	4	no	—
363	C₂	D₄×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
364	C₂	C₂×#3290	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂×D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂×#135	C₂³
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #60667	C₂	semidirect
3. #33313	C₂	semidirect
4. #33222	C₂	semidirect
5. #28823	C₂	semidirect
6. #28700	C₂	semidirect
7. #26082	C₂	semidirect
8. #25829	C₂	semidirect
10. #21732	C₂	semidirect
97. #443	Q₈	semidirect
147. #131	C₂×Q₈	semidirect
200. #108	C₂×Q₈	semidirect
217. #104	C₂×Q₈	semidirect
236. C₄×C₈	C₂×Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#61374	2
#60667	2
#33313	2
#33222	2
#28823	2
#28700	2
#26082	2
#25829	2
#22691	2
#21732	2
C₄×#443	2