Subgroups — #6585587

Order 512.

2230 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 379 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3169	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#36149	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#33313	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#33209	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#28718	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#28225	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#25671	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#25032	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
9	#22682	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	C₄×#493	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₄×C₈×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#532	C₂²	1	4	yes	—
13	#3169	—	2	16	no	—
14	C₂×#500	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#498	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#486	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#466	C₂²	1	8	yes	—
19	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	8	yes	—
21	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
23	#2862	C₂²	1	2	yes	—
24	#2857	C₂²	1	4	yes	—
25	#2535	C₂²	1	4	yes	—
26	#2447	—	2	4	no	—
27	#2427	—	2	4	no	—
28	#2420	C₂²	1	8	yes	—
29	#2407	—	2	4	no	—
30	#2349	C₂²	1	4	yes	—
31	#2339	—	2	4	no	—
32	C₄×#127	C₂²	1	2	yes	—
33	C₄²×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#2073	C₂²	1	8	yes	—
35	#2034	C₂²	1	16	yes	—
36	#1990	C₂²	1	4	yes	—
37	#1970	C₂²	1	4	yes	—
38	#1957	C₂²	1	2	yes	—
39	#1942	C₂²	1	8	yes	—
40	#1864	C₂²	1	16	yes	—
41	#1846	C₂²	1	4	yes	—
42	#1846	C₂²	1	4	yes	—
43	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#1808	C₂²	1	8	yes	—
45	#1804	C₂²	1	8	yes	—
46	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
47	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
49	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
50	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×#41	—	2	4	no	—
52	C₂²×D₈	C₂³	1	4	yes	—
53	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
54	#532	—	2	16	no	—
55	#532	—	4	8	no	—
56	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
57	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂×#124	—	2	4	no	—
59	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
60	C₂×#121	—	2	4	no	—
61	C₂×#121	C₂³	1	8	yes	—
62	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
63	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
64	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
65	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
66	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	8	yes	—
67	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
69	#500	—	2	8	no	—
70	#498	—	4	4	no	—
71	#493	D₄	1	8	yes	complemented
72	#486	—	2	16	no	—
73	#466	—	2	32	no	—
74	C₄×D₈	—	2	32	no	—
75	C₄×D₈	—	2	16	no	—
76	C₈×D₄	—	2	8	no	—
77	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
78	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	—
79	C₂×#106	C₂³	1	8	yes	—
80	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂×#102	C₂³	1	16	yes	—
82	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
83	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
84	C₂×C₄×C₈	—	2	8	no	—
85	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
87	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
91	#397	—	2	4	no	—
92	#397	—	2	8	no	—
93	#394	—	2	8	no	—
94	#392	—	2	4	no	—
95	#391	—	2	4	no	—
96	#391	—	2	4	no	—
97	#391	—	2	4	no	—
98	#390	—	2	4	no	—
99	#390	C₂³	1	4	yes	—
100	#389	—	2	4	no	—
101	#389	C₂³	1	8	yes	—
102	#386	—	2	8	no	—
103	#386	—	2	8	no	—
104	#385	—	2	8	no	—
105	#384	C₂³	1	2	yes	—
106	#382	C₂³	1	4	yes	—
107	#382	C₂³	1	4	yes	—
108	#381	—	2	8	no	—
109	#380	—	2	4	no	—
110	#380	—	2	4	no	—
111	#380	C₂³	1	8	yes	—
112	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
113	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
114	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
115	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
116	C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
117	C₂×#95	—	2	4	no	—
118	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
119	#340	C₂³	1	16	yes	—
120	#336	C₂³	1	2	yes	—
121	#336	C₂³	1	4	yes	—
122	C₂×#41	—	4	16	no	—
123	C₂×#41	—	4	16	no	—
124	C₂×#41	—	8	8	no	—
125	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
126	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
127	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
128	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
130	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
131	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
132	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
133	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
134	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
135	C₂×D₈	—	2	8	no	—
136	C₂×D₈	—	2	8	no	—
137	C₂×D₈	C₂×D₄	1	16	yes	—
138	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
141	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
142	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
143	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
144	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
145	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
146	#127	—	2	4	no	—
147	#127	C₂×D₄	1	8	yes	—
148	#124	—	4	16	no	—
149	C₂²⋊Q₈	—	8	8	no	—
150	#121	—	2	16	no	—
151	#121	—	4	8	no	—
152	#121	—	4	16	no	—
153	C₄×D₄	—	2	8	no	—
154	C₄×D₄	—	2	16	no	—
155	C₄×D₄	—	2	4	no	—
156	C₄×D₄	—	2	16	no	—
157	C₄×D₄	—	4	8	no	—
158	C₄×D₄	—	4	16	no	—
159	C₄×D₄	—	8	8	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
164	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
166	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
175	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
176	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
177	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
178	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
179	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
180	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
181	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
182	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
185	#107	—	2	16	no	—
186	#107	—	2	8	no	—
187	#106	—	4	8	no	—
188	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
189	#102	—	2	32	no	—
190	#102	—	2	16	no	—
191	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
192	C₄×C₈	—	2	8	no	—
193	C₄×C₈	—	2	4	no	—
194	C₄×C₈	—	2	4	no	—
195	C₄×C₈	—	2	2	no	—
196	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
197	C₄×C₈	#41	1	8	yes	complemented
198	#95	—	2	8	no	—
199	#95	—	2	4	no	—
200	#95	—	2	8	no	—
201	#95	—	2	8	no	—
202	#95	—	2	4	no	—
203	#95	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
204	#95	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
205	#95	C₂×D₄	1	2	yes	—
206	#95	C₂×D₄	1	2	yes	—
207	C₂⁴	—	2	4	no	—
208	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
209	#41	—	8	64	no	—
210	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
211	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
212	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
213	C₂×D₄	—	2	4	no	—
214	C₂×D₄	—	2	2	no	—
215	C₂×D₄	—	2	16	no	—
216	C₂×D₄	—	2	8	no	—
217	C₂×D₄	—	2	4	no	—
218	C₂×D₄	—	2	8	no	—
219	C₂×D₄	—	4	16	no	—
220	C₂×D₄	—	4	16	no	—
221	C₂×D₄	—	4	8	no	—
222	C₂×D₄	—	4	8	no	—
223	C₂×D₄	—	8	8	no	—
224	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
225	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
239	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
240	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
241	C₂²×C₄	#135	1	8	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
250	D₈	—	2	32	no	—
251	C₂×C₈	—	2	2	no	—
252	C₂×C₈	—	2	2	no	—
253	C₂×C₈	—	2	4	no	—
254	C₂×C₈	—	2	4	no	—
255	C₂×C₈	—	2	4	no	—
256	C₂×C₈	—	4	16	no	—
257	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
258	C₂×C₈	C₂×#41	1	4	yes	—
259	C₂×C₈	C₂×#41	1	4	yes	—
260	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
261	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
262	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
263	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
264	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
265	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
266	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
267	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
268	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
270	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
271	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
277	C₄²	—	2	4	no	—
278	C₄²	—	2	4	no	—
279	C₄²	—	2	4	no	—
280	C₄²	—	2	4	no	—
281	C₄²	—	2	2	no	—
282	C₄²	—	2	2	no	—
283	C₄²	—	2	2	no	—
284	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
285	C₄²	C₂×#41	1	4	yes	—
286	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
287	C₂³	—	2	2	no	—
288	C₂³	—	2	2	no	—
289	C₂³	—	2	2	no	—
290	C₂³	—	2	2	no	—
291	C₂³	—	2	2	no	—
292	C₂³	—	2	2	no	—
293	C₂³	—	2	8	no	—
294	C₂³	—	4	4	no	—
295	C₂³	—	4	4	no	—
296	C₂³	—	4	8	no	—
297	C₂³	—	4	8	no	—
298	C₂³	C₂×#135	1	4	yes	—
299	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
300	Q₈	—	8	16	no	—
301	D₄	—	2	8	no	—
302	D₄	—	2	16	no	—
303	D₄	—	4	8	no	—
304	D₄	—	4	32	no	—
305	D₄	—	8	32	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	16	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	2	2	no	—
319	C₂×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂×C₄	—	4	4	no	—
321	C₂×C₄	—	4	4	no	—
322	C₂×C₄	—	4	8	no	—
323	C₂×C₄	—	4	4	no	—
324	C₂×C₄	—	4	8	no	—
325	C₂×C₄	—	4	8	no	—
326	C₂×C₄	—	4	8	no	—
327	C₂×C₄	—	4	8	no	—
328	C₂×C₄	—	8	32	no	—
329	C₂×C₄	—	16	8	no	—
330	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	D₄²	1	4	yes	—
333	C₂×C₄	C₂×#135	1	4	yes	—
334	C₂×C₄	C₂×#135	1	4	yes	—
335	C₂×C₄	#576	1	4	yes	—
336	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
340	C₈	—	2	4	no	—
341	C₈	—	4	4	no	—
342	C₈	#547	1	8	yes	—
343	C₂²	—	2	4	no	—
344	C₂²	—	2	4	no	—
345	C₂²	—	2	4	no	—
346	C₂²	—	4	2	no	—
347	C₂²	—	4	2	no	—
348	C₂²	—	4	2	no	—
349	C₂²	—	4	2	no	—
350	C₂²	—	4	8	no	—
351	C₂²	—	4	16	no	—
352	C₂²	—	8	4	no	—
353	C₂²	—	8	8	no	—
354	C₂²	—	8	4	no	—
355	C₂²	C₂×#532	1	1	yes	characteristic
356	C₂²	C₂×D₄²	1	1	yes	characteristic
357	C₂²	#3499	1	1	yes	characteristic
358	C₂²	C₂²×#135	1	2	yes	—
359	C₂²	C₂×#576	1	2	yes	—
360	C₄	—	2	2	no	—
361	C₄	—	2	2	no	—
362	C₄	—	2	4	no	—
363	C₄	—	4	2	no	—
364	C₄	—	4	2	no	—
365	C₄	—	4	2	no	—
366	C₄	—	8	4	no	—
367	C₄	—	8	8	no	—
368	C₄	#3280	1	8	yes	—
369	C₄	C₂×#547	1	2	yes	—
370	C₄	#3511	1	2	yes	—
371	C₂	—	4	4	no	—
372	C₂	—	8	8	no	—
373	C₂	#36127	1	1	yes	characteristic
374	C₂	#60673	1	1	yes	characteristic
375	C₂	#60714	1	1	yes	characteristic
376	C₂	C₂×#3280	1	2	yes	—
377	C₂	#62474	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄²×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3169	C₂	semidirect
2. #36149	C₂	semidirect
3. #33313	C₂	semidirect
4. #33209	C₂	semidirect
5. #28718	C₂	semidirect
6. #28225	C₂	semidirect
7. #25671	C₂	semidirect
8. #25032	C₂	semidirect
9. #22682	C₂	semidirect
10. C₄×#493	C₂	semidirect
11. C₄×C₈×D₄	C₂	semidirect
71. #493	D₄	semidirect
197. C₄×C₈	#41	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3169	2
#36149	2
#33313	2
#33209	2
#28718	2
#28225	2
#25671	2
#25032	2
#22682	2
C₄×#493	2
C₄×C₈×D₄	2