Subgroups — #6585588

Order 512.

1918 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 356 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3170	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#36151	C₂	1	2	yes	maximal
3	#33313	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#33209	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#28719	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#28226	C₂	1	4	yes	maximal
7	#25672	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#25033	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
9	#22685	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	C₄×#494	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₄×C₈×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂×#533	C₂²	1	4	yes	—
13	#3170	—	2	16	no	—
14	C₂×#500	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#498	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#487	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#467	C₂²	1	8	yes	—
19	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	8	yes	—
20	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
23	#2862	C₂²	1	2	yes	—
24	#2857	C₂²	1	4	yes	—
25	#2536	C₂²	1	4	yes	—
26	#2489	—	2	4	no	—
27	#2453	—	2	4	no	—
28	#2421	C₂²	1	8	yes	—
29	#2415	—	2	4	no	—
30	#2362	—	2	4	no	—
31	#2351	C₂²	1	4	yes	—
32	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
33	C₄²×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#2074	C₂²	1	8	yes	—
35	#2035	C₂²	1	16	yes	—
36	#1990	C₂²	1	4	yes	—
37	#1969	C₂²	1	4	yes	—
38	#1956	C₂²	1	2	yes	—
39	#1942	C₂²	1	8	yes	—
40	#1865	C₂²	1	16	yes	—
41	#1846	C₂²	1	4	yes	—
42	#1846	C₂²	1	4	yes	—
43	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#1808	C₂²	1	8	yes	—
45	#1805	C₂²	1	8	yes	—
46	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
47	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
49	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
50	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
52	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
53	#533	—	2	16	no	—
54	#533	—	4	8	no	—
55	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
57	C₂×#125	—	2	4	no	—
58	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
59	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
60	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	8	yes	—
61	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
62	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
63	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	8	yes	—
64	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
65	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂×#117	—	2	4	no	—
67	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
68	#500	—	2	8	no	—
69	#498	—	4	4	no	—
70	#494	D₄	1	8	yes	complemented
71	#487	—	2	16	no	—
72	#467	—	2	32	no	—
73	C₄×Q₁₆	—	2	32	no	—
74	C₄×Q₁₆	—	2	16	no	—
75	C₈×D₄	—	2	8	no	—
76	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
77	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	—
78	C₂×#106	C₂³	1	8	yes	—
79	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂×#103	C₂³	1	16	yes	—
81	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
82	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
83	C₂×C₄×C₈	—	2	8	no	—
84	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
86	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
90	#400	—	2	8	no	—
91	#398	—	2	4	no	—
92	#397	—	2	8	no	—
93	#394	—	2	4	no	—
94	#391	—	2	4	no	—
95	#391	—	2	4	no	—
96	#391	—	2	4	no	—
97	#391	C₂³	1	4	yes	—
98	#389	—	2	8	no	—
99	#389	—	2	4	no	—
100	#389	—	2	4	no	—
101	#389	C₂³	1	8	yes	—
102	#388	—	2	8	no	—
103	#388	—	2	8	no	—
104	#387	—	2	8	no	—
105	#384	C₂³	1	2	yes	—
106	#382	—	2	4	no	—
107	#382	C₂³	1	4	yes	—
108	#382	C₂³	1	4	yes	—
109	#380	—	2	4	no	—
110	#380	C₂³	1	8	yes	—
111	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
112	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
113	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
114	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
115	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
116	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
117	C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
118	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
119	#340	C₂³	1	16	yes	—
120	#336	C₂³	1	2	yes	—
121	#336	C₂³	1	4	yes	—
122	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
123	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
124	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
126	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
127	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
128	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
129	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
130	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	16	yes	—
131	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
134	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
135	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
136	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
137	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
138	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
139	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
140	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
141	#125	—	4	16	no	—
142	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
143	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
144	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
145	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
146	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
147	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
148	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
149	C₄×Q₈	—	4	16	no	—
150	C₄×D₄	—	2	8	no	—
151	C₄×D₄	—	2	4	no	—
152	#117	—	4	16	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
161	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
163	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
169	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
171	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
172	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
173	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
174	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
175	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
176	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
177	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
178	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
180	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
181	#107	—	2	16	no	—
182	#107	—	2	8	no	—
183	#106	—	4	8	no	—
184	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
185	#103	—	2	32	no	—
186	#103	—	2	16	no	—
187	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
188	C₄×C₈	—	2	8	no	—
189	C₄×C₈	—	2	4	no	—
190	C₄×C₈	—	2	4	no	—
191	C₄×C₈	—	2	2	no	—
192	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
193	C₄×C₈	#41	1	8	yes	—
194	#95	—	2	4	no	—
195	#95	—	2	8	no	—
196	#95	—	2	8	no	—
197	#95	—	2	8	no	—
198	#95	—	2	8	no	—
199	#95	—	2	4	no	—
200	#95	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
201	#95	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
202	#95	C₂×D₄	1	2	yes	—
203	#95	C₂×D₄	1	2	yes	—
204	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
205	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
206	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
207	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
208	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
209	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
210	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
211	C₂×Q₈	C₂²×D₄	1	8	yes	—
212	C₂×D₄	—	2	4	no	—
213	C₂×D₄	—	2	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
226	C₂²×C₄	#135	1	8	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
235	Q₁₆	—	2	32	no	—
236	C₂×C₈	—	2	2	no	—
237	C₂×C₈	—	2	2	no	—
238	C₂×C₈	—	2	4	no	—
239	C₂×C₈	—	2	4	no	—
240	C₂×C₈	—	2	4	no	—
241	C₂×C₈	—	4	16	no	—
242	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
243	C₂×C₈	C₂×#41	1	4	yes	—
244	C₂×C₈	C₂×#41	1	4	yes	—
245	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
246	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
247	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
248	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
249	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
250	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
251	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
252	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
253	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
254	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
255	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
256	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
257	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
263	C₄²	—	2	4	no	—
264	C₄²	—	2	4	no	—
265	C₄²	—	2	4	no	—
266	C₄²	—	2	4	no	—
267	C₄²	—	2	2	no	—
268	C₄²	—	2	2	no	—
269	C₄²	—	2	2	no	—
270	C₄²	—	4	16	no	—
271	C₄²	—	4	8	no	—
272	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
273	C₄²	C₂×#41	1	4	yes	—
274	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
275	C₂³	—	2	2	no	—
276	C₂³	—	2	2	no	—
277	C₂³	—	2	2	no	—
278	C₂³	—	2	2	no	—
279	C₂³	—	2	2	no	—
280	C₂³	—	2	2	no	—
281	C₂³	C₂×#135	1	4	yes	—
282	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
283	Q₈	—	2	16	no	—
284	Q₈	—	4	8	no	—
285	Q₈	—	8	16	no	—
286	D₄	—	2	8	no	—
287	C₂×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	16	no	—
292	C₂×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	8	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	4	4	no	—
303	C₂×C₄	—	4	4	no	—
304	C₂×C₄	—	4	4	no	—
305	C₂×C₄	—	4	4	no	—
306	C₂×C₄	—	4	8	no	—
307	C₂×C₄	—	4	4	no	—
308	C₂×C₄	—	4	8	no	—
309	C₂×C₄	—	4	8	no	—
310	C₂×C₄	—	4	8	no	—
311	C₂×C₄	—	4	8	no	—
312	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	D₄²	1	4	yes	—
315	C₂×C₄	C₂×#135	1	4	yes	—
316	C₂×C₄	C₂×#135	1	4	yes	—
317	C₂×C₄	#578	1	4	yes	—
318	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
322	C₈	—	2	4	no	—
323	C₈	—	4	4	no	—
324	C₈	#547	1	8	yes	—
325	C₂²	—	2	4	no	—
326	C₂²	—	2	4	no	—
327	C₂²	—	2	4	no	—
328	C₂²	—	4	2	no	—
329	C₂²	—	4	2	no	—
330	C₂²	—	4	2	no	—
331	C₂²	—	4	2	no	—
332	C₂²	C₂×#532	1	1	yes	characteristic
333	C₂²	C₂×D₄²	1	1	yes	characteristic
334	C₂²	#3499	1	1	yes	characteristic
335	C₂²	C₂²×#135	1	2	yes	—
336	C₂²	C₂×#578	1	2	yes	—
337	C₄	—	2	2	no	—
338	C₄	—	2	2	no	—
339	C₄	—	2	4	no	—
340	C₄	—	4	2	no	—
341	C₄	—	4	2	no	—
342	C₄	—	4	8	no	—
343	C₄	—	4	2	no	—
344	C₄	—	8	4	no	—
345	C₄	—	8	8	no	—
346	C₄	#3285	1	8	yes	—
347	C₄	C₂×#547	1	2	yes	—
348	C₄	#3511	1	2	yes	—
349	C₂	—	4	4	no	—
350	C₂	#36127	1	1	yes	characteristic
351	C₂	#60673	1	1	yes	characteristic
352	C₂	#60715	1	1	yes	characteristic
353	C₂	C₂×#3285	1	2	yes	—
354	C₂	#62473	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂²×D₄	C₂×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄²×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3170	C₂	semidirect
3. #33313	C₂	semidirect
4. #33209	C₂	semidirect
5. #28719	C₂	semidirect
7. #25672	C₂	semidirect
8. #25033	C₂	semidirect
9. #22685	C₂	semidirect
10. C₄×#494	C₂	semidirect
70. #494	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3170	2
#36151	2
#33313	2
#33209	2
#28719	2
#28226	2
#25672	2
#25033	2
#22685	2
C₄×#494	2
C₄×C₈×D₄	2