Subgroups — #6585649

Order 512.

2384 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 391 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3184	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#36127	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#33310	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#33210	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#28716	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#28231	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#25671	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#25046	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
9	#22670	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	C₄×#493	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₄×#436	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#547	—	2	2	no	—
13	C₂×#532	C₂²	1	4	yes	—
14	#3184	—	2	16	no	—
15	C₂×#498	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#498	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#486	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#469	C₂²	1	8	yes	—
20	C₂×#442	C₂²	1	8	yes	—
21	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×#436	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
24	#2868	C₂²	1	2	yes	—
25	#2857	C₂²	1	4	yes	—
26	#2547	—	2	2	no	—
27	#2537	—	2	2	no	—
28	#2537	C₂²	1	4	yes	—
29	#2432	—	2	4	no	—
30	#2422	—	2	4	no	—
31	#2422	C₂²	1	8	yes	—
32	D₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
33	D₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
34	C₄×#127	C₂²	1	2	yes	—
35	C₄²×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#2071	C₂²	1	8	yes	—
37	#2034	C₂²	1	16	yes	—
38	#1990	C₂²	1	4	yes	—
39	#1970	C₂²	1	4	yes	—
40	#1957	C₂²	1	2	yes	—
41	#1943	C₂²	1	8	yes	—
42	#1864	C₂²	1	16	yes	—
43	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#1844	C₂²	1	4	yes	—
45	#1844	C₂²	1	4	yes	—
46	#1809	C₂²	1	8	yes	—
47	#1802	C₂²	1	8	yes	—
48	#1770	C₂²	1	2	yes	—
49	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
50	#1753	C₂²	1	4	yes	—
51	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
52	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×#41	—	2	4	no	—
54	C₂²×D₈	C₂³	1	4	yes	—
55	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
56	#547	—	4	16	no	—
57	#532	—	2	16	no	—
58	#532	—	4	8	no	—
59	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
61	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
62	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×#124	—	2	4	no	—
64	C₂×#123	—	2	8	no	—
65	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
66	C₂×#121	—	2	4	no	—
67	C₂×#121	—	2	4	no	—
68	C₂×#121	C₂³	1	8	yes	—
69	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
70	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
71	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
72	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
73	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
74	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	8	yes	—
75	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
77	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
78	#498	—	2	8	no	—
79	#498	—	4	4	no	—
80	#493	D₄	1	8	yes	complemented
81	#486	—	2	16	no	—
82	#469	—	2	32	no	—
83	#442	—	2	32	no	—
84	C₄×D₈	—	2	16	no	—
85	#436	—	2	8	no	—
86	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
87	C₂×#106	C₂³	1	8	yes	—
88	C₂×#106	C₂³	1	8	yes	—
89	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂×#102	C₂³	1	16	yes	—
91	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
92	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
93	C₄×M₁₆	—	2	8	no	—
94	C₂×#97	C₂³	1	4	yes	—
95	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
100	#397	—	2	8	no	—
101	#394	—	2	8	no	—
102	#394	—	2	8	no	—
103	#391	—	2	4	no	—
104	#390	—	2	2	no	—
105	#390	—	2	2	no	—
106	#390	C₂³	1	4	yes	—
107	#389	—	2	4	no	—
108	#389	C₂³	1	8	yes	—
109	#385	—	2	8	no	—
110	#385	—	2	8	no	—
111	#384	—	2	2	no	—
112	#384	—	2	2	no	—
113	#384	C₂³	1	2	yes	—
114	#384	C₂³	1	4	yes	—
115	#384	C₂³	1	4	yes	—
116	#380	—	2	4	no	—
117	#380	—	2	4	no	—
118	#380	—	2	4	no	—
119	#380	C₂³	1	8	yes	—
120	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
121	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
122	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
123	C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
124	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
125	#340	C₂³	1	16	yes	—
126	#336	C₂³	1	2	yes	—
127	#336	C₂³	1	4	yes	—
128	C₂×#41	—	4	16	no	—
129	C₂×#41	—	4	16	no	—
130	C₂×#41	—	8	8	no	—
131	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
132	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
133	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
134	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
135	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
137	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
138	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
139	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
140	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
141	C₂×D₈	—	2	8	no	—
142	C₂×D₈	—	2	8	no	—
143	C₂×D₈	C₂×D₄	1	16	yes	—
144	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
145	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
146	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
147	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
148	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
149	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
150	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
151	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
152	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
153	C₄⋊Q₈	—	8	4	no	—
154	#127	—	2	4	no	—
155	#127	C₂×D₄	1	8	yes	—
156	#124	—	4	16	no	—
157	#123	—	4	32	no	—
158	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
159	#121	—	2	16	no	—
160	#121	—	4	8	no	—
161	#121	—	4	16	no	—
162	#121	—	4	16	no	—
163	C₄×D₄	—	2	16	no	—
164	C₄×D₄	—	2	8	no	—
165	C₄×D₄	—	2	4	no	—
166	C₄×D₄	—	2	16	no	—
167	C₄×D₄	—	4	8	no	—
168	C₄×D₄	—	4	16	no	—
169	C₄×D₄	—	4	8	no	—
170	C₄×D₄	—	4	8	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
181	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
183	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
186	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
187	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
188	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
189	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
190	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
191	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
192	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
193	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
194	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
195	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
196	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
197	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
198	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
199	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
200	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
201	#107	—	2	8	no	—
202	#106	—	2	16	no	—
203	#106	—	4	8	no	—
204	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
205	#102	—	2	32	no	—
206	#102	—	2	16	no	—
207	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
208	#97	—	2	8	no	—
209	C₄×C₈	—	2	4	no	—
210	C₄×C₈	—	2	4	no	—
211	C₄×C₈	—	2	2	no	—
212	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
213	C₄×C₈	#41	1	8	yes	complemented
214	#95	—	2	8	no	—
215	#95	—	2	8	no	—
216	#95	C₂×D₄	1	2	yes	—
217	#95	C₂×D₄	1	4	yes	—
218	C₂⁴	—	2	4	no	—
219	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
220	#41	—	8	64	no	—
221	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
222	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
223	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
224	C₂×D₄	—	2	2	no	—
225	C₂×D₄	—	2	8	no	—
226	C₂×D₄	—	2	8	no	—
227	C₂×D₄	—	2	4	no	—
228	C₂×D₄	—	2	8	no	—
229	C₂×D₄	—	2	4	no	—
230	C₂×D₄	—	2	8	no	—
231	C₂×D₄	—	4	16	no	—
232	C₂×D₄	—	4	16	no	—
233	C₂×D₄	—	4	4	no	—
234	C₂×D₄	—	4	4	no	—
235	C₂×D₄	—	4	4	no	—
236	C₂×D₄	—	4	4	no	—
237	C₂×D₄	—	8	8	no	—
238	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
239	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
250	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
251	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
253	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
254	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
261	D₈	—	2	32	no	—
262	M₁₆	—	4	16	no	—
263	C₂×C₈	—	2	2	no	—
264	C₂×C₈	—	2	2	no	—
265	C₂×C₈	—	2	4	no	—
266	C₂×C₈	—	2	4	no	—
267	C₂×C₈	—	2	4	no	—
268	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
269	C₂×C₈	C₂×#41	1	4	yes	—
270	C₂×C₈	C₂×#41	1	4	yes	—
271	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
272	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
273	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
274	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
275	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
276	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
277	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
278	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
279	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
280	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
281	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
282	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
283	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
284	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
285	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
286	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
287	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
288	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
291	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
292	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
293	C₄²	—	2	8	no	—
294	C₄²	—	2	4	no	—
295	C₄²	—	2	2	no	—
296	C₄²	—	2	2	no	—
297	C₄²	—	2	2	no	—
298	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
299	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
300	C₄²	C₂×#41	1	4	yes	—
301	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
302	C₂³	—	2	2	no	—
303	C₂³	—	2	8	no	—
304	C₂³	—	2	2	no	—
305	C₂³	—	2	2	no	—
306	C₂³	—	2	4	no	—
307	C₂³	—	2	4	no	—
308	C₂³	—	4	4	no	—
309	C₂³	—	4	4	no	—
310	C₂³	—	4	4	no	—
311	C₂³	—	4	4	no	—
312	C₂³	—	4	4	no	—
313	C₂³	—	4	4	no	—
314	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
315	Q₈	—	8	16	no	—
316	D₄	—	2	16	no	—
317	D₄	—	4	4	no	—
318	D₄	—	4	8	no	—
319	D₄	—	4	16	no	—
320	D₄	—	4	16	no	—
321	D₄	—	8	32	no	—
322	C₂×C₄	—	2	2	no	—
323	C₂×C₄	—	2	2	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	4	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	2	4	no	—
330	C₂×C₄	—	2	4	no	—
331	C₂×C₄	—	4	4	no	—
332	C₂×C₄	—	4	4	no	—
333	C₂×C₄	—	4	16	no	—
334	C₂×C₄	—	4	4	no	—
335	C₂×C₄	—	4	8	no	—
336	C₂×C₄	—	4	4	no	—
337	C₂×C₄	—	4	8	no	—
338	C₂×C₄	—	4	4	no	—
339	C₂×C₄	—	4	8	no	—
340	C₂×C₄	—	8	32	no	—
341	C₂×C₄	—	8	16	no	—
342	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	D₄²	1	4	yes	—
345	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
346	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
347	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
348	C₂×C₄	#577	1	4	yes	—
349	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
350	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
351	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
353	C₈	—	2	4	no	—
354	C₈	—	4	4	no	—
355	C₈	#547	1	8	yes	complemented
356	C₂²	—	4	4	no	—
357	C₂²	—	4	2	no	—
358	C₂²	—	4	2	no	—
359	C₂²	—	4	8	no	—
360	C₂²	—	4	2	no	—
361	C₂²	—	4	4	no	—
362	C₂²	—	4	8	no	—
363	C₂²	—	4	8	no	—
364	C₂²	—	8	4	no	—
365	C₂²	—	8	4	no	—
366	C₂²	—	8	4	no	—
367	C₂²	—	8	4	no	—
368	C₂²	C₂×#532	1	1	yes	characteristic
369	C₂²	C₂×D₄²	1	1	yes	characteristic
370	C₂²	#3499	1	1	yes	characteristic
371	C₂²	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
372	C₂²	C₂×#577	1	2	yes	—
373	C₄	—	2	4	no	—
374	C₄	—	2	2	no	—
375	C₄	—	4	2	no	—
376	C₄	—	4	4	no	—
377	C₄	—	8	4	no	—
378	C₄	—	8	8	no	—
379	C₄	#3184	1	4	yes	complemented
380	C₄	#3272	1	8	yes	—
381	C₄	C₂×#547	1	2	yes	—
382	C₄	#3511	1	2	yes	—
383	C₂	—	8	2	no	—
384	C₂	—	8	8	no	—
385	C₂	#36127	1	1	yes	characteristic
386	C₂	C₂×#3184	1	1	yes	characteristic
387	C₂	#60716	1	1	yes	characteristic
388	C₂	C₂×#3272	1	2	yes	—
389	C₂	#62477	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄²×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3184	C₂	semidirect
2. #36127	C₂	semidirect
3. #33310	C₂	semidirect
4. #33210	C₂	semidirect
5. #28716	C₂	semidirect
6. #28231	C₂	semidirect
7. #25671	C₂	semidirect
8. #25046	C₂	semidirect
9. #22670	C₂	semidirect
10. C₄×#493	C₂	semidirect
11. C₄×#436	C₂	semidirect
80. #493	D₄	semidirect
213. C₄×C₈	#41	semidirect
355. C₈	#547	semidirect
379. C₄	#3184	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3184	2
#36127	2
#33310	2
#33210	2
#28716	2
#28231	2
#25671	2
#25046	2
#22670	2
C₄×#493	2
C₄×#436	2