Subgroups — #6585650

Order 512.

1912 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 354 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3185	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#36134	C₂	1	2	yes	maximal
3	#33310	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#33210	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#28717	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#28232	C₂	1	4	yes	maximal
7	#25672	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#25047	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
9	#22674	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	C₄×#494	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₄×#436	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂×#533	C₂²	1	4	yes	—
13	#3185	—	2	16	no	—
14	C₂×#498	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#498	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#487	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#470	C₂²	1	8	yes	—
19	C₂×#441	C₂²	1	8	yes	—
20	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×#436	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
23	#2868	C₂²	1	2	yes	—
24	#2857	C₂²	1	4	yes	—
25	#2552	—	2	2	no	—
26	#2542	—	2	2	no	—
27	#2538	C₂²	1	4	yes	—
28	#2441	—	2	4	no	—
29	#2429	—	2	4	no	—
30	#2423	C₂²	1	8	yes	—
31	#2365	—	2	2	no	—
32	#2354	—	2	2	no	—
33	Q₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
34	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
35	C₄²×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#2072	C₂²	1	8	yes	—
37	#2035	C₂²	1	16	yes	—
38	#1990	C₂²	1	4	yes	—
39	#1969	C₂²	1	4	yes	—
40	#1956	C₂²	1	2	yes	—
41	#1943	C₂²	1	8	yes	—
42	#1865	C₂²	1	16	yes	—
43	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#1844	C₂²	1	4	yes	—
45	#1844	C₂²	1	4	yes	—
46	#1809	C₂²	1	8	yes	—
47	#1803	C₂²	1	8	yes	—
48	#1770	C₂²	1	2	yes	—
49	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
50	#1753	C₂²	1	4	yes	—
51	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
52	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
54	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
55	#533	—	2	16	no	—
56	#533	—	4	8	no	—
57	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
58	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
61	C₂×#125	—	2	4	no	—
62	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
63	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
64	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	8	yes	—
65	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
66	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	8	yes	—
68	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
69	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂×#117	—	2	4	no	—
71	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
72	#498	—	2	8	no	—
73	#498	—	4	4	no	—
74	#494	D₄	1	8	yes	complemented
75	#487	—	2	16	no	—
76	#470	—	2	32	no	—
77	#441	—	2	32	no	—
78	C₄×Q₁₆	—	2	16	no	—
79	#436	—	2	8	no	—
80	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
81	C₂×#106	C₂³	1	8	yes	—
82	C₂×#106	C₂³	1	8	yes	—
83	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂×#103	C₂³	1	16	yes	—
85	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
86	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
87	C₄×M₁₆	—	2	8	no	—
88	C₂×#97	C₂³	1	4	yes	—
89	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
94	#399	—	2	8	no	—
95	#398	—	2	8	no	—
96	#396	—	2	8	no	—
97	#391	—	2	4	no	—
98	#391	C₂³	1	4	yes	—
99	#390	—	2	4	no	—
100	#389	—	2	4	no	—
101	#389	—	2	2	no	—
102	#389	—	2	2	no	—
103	#389	—	2	4	no	—
104	#389	—	2	8	no	—
105	#389	C₂³	1	8	yes	—
106	#388	—	2	8	no	—
107	#387	—	2	8	no	—
108	#384	—	2	4	no	—
109	#384	—	2	2	no	—
110	#384	—	2	2	no	—
111	#384	C₂³	1	2	yes	—
112	#384	C₂³	1	4	yes	—
113	#384	C₂³	1	4	yes	—
114	#380	—	2	4	no	—
115	#380	C₂³	1	8	yes	—
116	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
117	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
118	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
119	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
120	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
121	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
122	C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
123	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
124	#340	C₂³	1	16	yes	—
125	#336	C₂³	1	2	yes	—
126	#336	C₂³	1	4	yes	—
127	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
128	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
129	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
131	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
132	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
133	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
134	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	16	yes	—
135	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
138	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
139	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
140	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
141	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
142	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
143	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
144	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
145	C₄⋊Q₈	—	8	4	no	—
146	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
147	#125	—	4	16	no	—
148	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
149	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
150	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
151	C₂²⋊Q₈	—	8	8	no	—
152	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
153	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
154	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
155	C₄×Q₈	—	4	16	no	—
156	C₄×D₄	—	2	8	no	—
157	C₄×D₄	—	2	4	no	—
158	#117	—	4	16	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
173	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
174	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
175	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
180	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
181	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
182	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
183	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
184	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
185	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
186	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
187	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
188	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
191	#107	—	2	8	no	—
192	#106	—	2	16	no	—
193	#106	—	4	8	no	—
194	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
195	#103	—	2	32	no	—
196	#103	—	2	16	no	—
197	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
198	#97	—	2	8	no	—
199	C₄×C₈	—	2	4	no	—
200	C₄×C₈	—	2	4	no	—
201	C₄×C₈	—	2	2	no	—
202	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
203	C₄×C₈	#41	1	8	yes	—
204	#95	—	2	8	no	—
205	#95	—	2	4	no	—
206	#95	—	2	4	no	—
207	#95	—	2	8	no	—
208	#95	C₂×D₄	1	2	yes	—
209	#95	C₂×D₄	1	4	yes	—
210	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
211	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
212	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
213	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
214	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
215	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
216	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
217	C₂×Q₈	C₂²×D₄	1	8	yes	—
218	C₂×D₄	—	2	2	no	—
219	C₂×D₄	—	2	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
230	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
237	Q₁₆	—	2	32	no	—
238	M₁₆	—	4	16	no	—
239	C₂×C₈	—	2	2	no	—
240	C₂×C₈	—	2	2	no	—
241	C₂×C₈	—	2	4	no	—
242	C₂×C₈	—	2	4	no	—
243	C₂×C₈	—	2	4	no	—
244	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
245	C₂×C₈	C₂×#41	1	4	yes	—
246	C₂×C₈	C₂×#41	1	4	yes	—
247	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
248	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
249	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
250	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
251	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
252	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
253	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
254	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
255	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
256	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
257	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
258	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
259	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
260	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
261	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
262	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
263	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
264	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
265	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
270	C₄²	—	2	8	no	—
271	C₄²	—	2	4	no	—
272	C₄²	—	2	2	no	—
273	C₄²	—	2	2	no	—
274	C₄²	—	2	2	no	—
275	C₄²	—	4	16	no	—
276	C₄²	—	4	8	no	—
277	C₄²	#137	1	8	yes	—
278	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
279	C₄²	C₂×#41	1	4	yes	—
280	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
281	C₂³	—	2	2	no	—
282	C₂³	—	2	2	no	—
283	C₂³	—	2	2	no	—
284	C₂³	—	2	4	no	—
285	C₂³	—	2	4	no	—
286	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
287	Q₈	—	2	16	no	—
288	Q₈	—	4	8	no	—
289	Q₈	—	8	16	no	—
290	D₄	—	4	4	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	4	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	8	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	4	no	—
300	C₂×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂×C₄	—	4	4	no	—
302	C₂×C₄	—	4	4	no	—
303	C₂×C₄	—	4	4	no	—
304	C₂×C₄	—	4	4	no	—
305	C₂×C₄	—	4	16	no	—
306	C₂×C₄	—	4	4	no	—
307	C₂×C₄	—	4	8	no	—
308	C₂×C₄	—	4	8	no	—
309	C₂×C₄	—	4	4	no	—
310	C₂×C₄	—	4	8	no	—
311	C₂×C₄	—	4	4	no	—
312	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	D₄²	1	4	yes	—
315	C₂×C₄	C₂×#137	1	4	yes	—
316	C₂×C₄	C₂×#137	1	4	yes	—
317	C₂×C₄	C₂×#137	1	4	yes	—
318	C₂×C₄	#577	1	4	yes	—
319	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
323	C₈	—	2	4	no	—
324	C₈	—	4	4	no	—
325	C₈	#547	1	8	yes	—
326	C₂²	—	4	4	no	—
327	C₂²	—	4	2	no	—
328	C₂²	—	4	2	no	—
329	C₂²	—	4	2	no	—
330	C₂²	—	4	4	no	—
331	C₂²	C₂×#532	1	1	yes	characteristic
332	C₂²	C₂×D₄²	1	1	yes	characteristic
333	C₂²	#3499	1	1	yes	characteristic
334	C₂²	C₂²×#137	1	2	yes	—
335	C₂²	C₂×#577	1	2	yes	—
336	C₄	—	2	4	no	—
337	C₄	—	2	2	no	—
338	C₄	—	4	2	no	—
339	C₄	—	4	8	no	—
340	C₄	—	4	4	no	—
341	C₄	—	8	4	no	—
342	C₄	—	8	8	no	—
343	C₄	#3185	1	4	yes	complemented
344	C₄	#3278	1	8	yes	—
345	C₄	C₂×#547	1	2	yes	—
346	C₄	#3511	1	2	yes	—
347	C₂	—	8	2	no	—
348	C₂	#36127	1	1	yes	characteristic
349	C₂	C₂×#3185	1	1	yes	characteristic
350	C₂	#60716	1	1	yes	characteristic
351	C₂	C₂×#3278	1	2	yes	—
352	C₂	#62478	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂²×D₄	C₂×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄²×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3185	C₂	semidirect
3. #33310	C₂	semidirect
4. #33210	C₂	semidirect
5. #28717	C₂	semidirect
7. #25672	C₂	semidirect
8. #25047	C₂	semidirect
9. #22674	C₂	semidirect
10. C₄×#494	C₂	semidirect
74. #494	D₄	semidirect
343. C₄	#3185	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3185	2
#36134	2
#33310	2
#33210	2
#28717	2
#28232	2
#25672	2
#25047	2
#22674	2
C₄×#494	2
C₄×#436	2