Subgroups — #6585693

Order 512.

2698 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 390 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3391	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#36128	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#33301	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#33160	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#28736	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#28458	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#25631	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#25364	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
9	#23185	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	C₈×C₄⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₄²×D₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#550	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×#532	—	2	2	no	—
14	#3391	—	2	16	no	—
15	C₂×#493	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#493	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#493	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#493	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#493	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#459	C₂²	1	8	yes	—
21	C₂×#459	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×#459	C₂²	1	8	yes	—
23	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#2867	C₂²	1	2	yes	—
28	#2856	—	2	2	no	—
29	#2548	C₂²	1	4	yes	—
30	#2541	C₂²	1	8	yes	—
31	#2431	—	2	4	no	—
32	#2428	—	2	8	no	—
33	#2366	C₂²	1	8	yes	—
34	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₄²×D₄	C₂²	1	2	yes	—
36	#2054	C₂²	1	8	yes	—
37	#2011	C₂²	1	16	yes	—
38	#1984	C₂²	1	2	yes	—
39	#1982	C₂²	1	8	yes	—
40	#1982	C₂²	1	4	yes	—
41	#1970	C₂²	1	8	yes	—
42	#1939	C₂²	1	4	yes	—
43	#1879	C₂²	1	16	yes	—
44	#1842	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₄×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	C₄×#107	C₂²	1	2	yes	—
47	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
48	C₄×#102	C₂²	1	4	yes	—
49	C₄×#102	C₂²	1	2	yes	—
50	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×#41	—	2	4	no	—
52	C₂²×D₈	C₂³	1	4	yes	—
53	C₂²×D₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×D₈	C₂³	1	4	yes	—
55	C₂²×D₈	C₂³	1	8	yes	—
56	C₂²×D₈	C₂³	1	8	yes	—
57	#550	—	2	16	no	—
58	#550	—	4	8	no	—
59	#532	—	4	16	no	—
60	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂×#127	—	2	2	no	—
62	C₂×#127	—	2	4	no	—
63	C₂×#127	—	2	2	no	—
64	C₂×#127	C₂³	1	8	yes	—
65	C₂×#127	C₂³	1	4	yes	—
66	C₂×#127	C₂³	1	8	yes	—
67	C₂×#124	—	2	4	no	—
68	C₂×#121	—	2	4	no	—
69	C₂×#121	—	2	8	no	—
70	C₂×#121	—	2	8	no	—
71	C₂×#121	—	2	8	no	—
72	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
74	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
75	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	8	yes	—
76	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
78	#493	—	2	16	no	—
79	#493	—	2	8	no	—
80	#493	—	2	16	no	—
81	#493	—	4	4	no	—
82	#493	—	4	8	no	—
83	#459	—	2	16	no	—
84	#459	—	2	32	no	—
85	#459	—	4	16	no	—
86	C₈×Q₈	—	2	8	no	—
87	C₄×D₈	—	2	16	no	—
88	C₄×D₈	—	2	8	no	—
89	C₄×D₈	D₄	1	8	yes	complemented
90	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂×#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
93	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
94	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
95	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
96	C₂×#102	C₂³	1	4	yes	—
97	C₂×#102	C₂³	1	16	yes	—
98	C₂×#102	C₂³	1	2	yes	—
99	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
100	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
102	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
104	#394	—	2	8	no	—
105	#392	—	2	16	no	—
106	#391	D₄	1	2	yes	—
107	#390	—	2	8	no	—
108	#390	—	2	4	no	—
109	#390	C₂³	1	16	yes	—
110	#389	D₄	1	4	yes	—
111	#386	—	2	16	no	—
112	#384	D₄	1	1	yes	characteristic
113	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
114	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
115	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
116	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
117	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
118	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
119	#340	C₂³	1	2	yes	—
120	#340	C₂³	1	4	yes	—
121	#336	C₂³	1	8	yes	—
122	C₂×#41	—	4	16	no	—
123	C₂×#41	—	4	16	no	—
124	C₂×#41	—	8	8	no	—
125	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
126	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
127	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
128	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
129	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
130	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
131	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
132	C₂²×D₄	C₂⁴	1	8	yes	—
133	C₂²×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
134	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
135	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
136	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
137	C₂×D₈	—	2	16	no	—
138	C₂×D₈	—	2	8	no	—
139	C₂×D₈	—	2	8	no	—
140	C₂×D₈	—	2	4	no	—
141	C₂×D₈	—	2	16	no	—
142	C₂×D₈	—	2	16	no	—
143	C₂×D₈	—	4	16	no	—
144	C₂×D₈	—	4	8	no	—
145	C₂×D₈	—	4	8	no	—
146	C₂×D₈	—	4	8	no	—
147	C₂×D₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
148	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
149	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
150	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
151	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
152	C₄⋊Q₈	D₈	1	8	yes	complemented
153	#127	—	2	16	no	—
154	#127	—	2	8	no	—
155	#127	—	2	16	no	—
156	#127	—	2	8	no	—
157	#127	—	2	16	no	—
158	#127	—	4	8	no	—
159	#127	—	4	8	no	—
160	#127	—	8	8	no	—
161	#127	—	8	4	no	—
162	#124	—	4	16	no	—
163	#121	—	4	32	no	—
164	#121	—	4	16	no	—
165	#121	—	4	32	no	—
166	#121	—	8	16	no	—
167	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
168	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
169	C₄×D₄	—	2	16	no	—
170	C₄×D₄	—	2	8	no	—
171	C₄×D₄	—	2	4	no	—
172	C₄×D₄	—	2	8	no	—
173	C₄×D₄	—	4	8	no	—
174	C₄×D₄	—	4	32	no	—
175	C₄×D₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
176	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
177	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
178	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
179	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
180	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
181	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
186	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
187	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
188	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
189	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
190	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
191	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
194	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
196	#107	—	2	4	no	—
197	#107	C₂×D₄	1	4	yes	—
198	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
199	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
200	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
201	#102	—	2	8	no	—
202	#102	—	2	16	no	—
203	#102	—	4	16	no	—
204	#102	C₂×D₄	1	8	yes	—
205	C₄×C₈	—	2	8	no	—
206	C₄×C₈	—	2	2	no	—
207	C₄×C₈	—	2	4	no	—
208	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
209	C₄×C₈	#41	1	8	yes	complemented
210	#95	—	2	4	no	—
211	#95	—	2	2	no	—
212	#95	C₂×D₄	1	8	yes	—
213	C₂⁴	—	2	2	no	—
214	C₂⁴	—	2	8	no	—
215	#41	—	8	64	no	—
216	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
217	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
218	C₂×Q₈	C₂×D₈	1	8	yes	—
219	C₂×D₄	—	2	8	no	—
220	C₂×D₄	—	2	4	no	—
221	C₂×D₄	—	2	16	no	—
222	C₂×D₄	—	2	4	no	—
223	C₂×D₄	—	2	2	no	—
224	C₂×D₄	—	2	16	no	—
225	C₂×D₄	—	2	8	no	—
226	C₂×D₄	—	4	16	no	—
227	C₂×D₄	—	4	16	no	—
228	C₂×D₄	—	4	8	no	—
229	C₂×D₄	—	4	8	no	—
230	C₂×D₄	—	4	16	no	—
231	C₂×D₄	—	4	16	no	—
232	C₂×D₄	—	4	16	no	—
233	C₂×D₄	—	4	16	no	—
234	C₂×D₄	—	4	8	no	—
235	C₂×D₄	—	4	16	no	—
236	C₂×D₄	—	4	8	no	—
237	C₂×D₄	—	8	8	no	—
238	C₂×D₄	—	8	16	no	—
239	C₂×D₄	—	8	8	no	—
240	C₂×D₄	—	8	8	no	—
241	C₂×D₄	—	8	8	no	—
242	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
243	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
250	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
251	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
253	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
254	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
261	D₈	—	2	8	no	—
262	D₈	—	4	16	no	—
263	D₈	—	8	8	no	—
264	D₈	—	8	16	no	—
265	D₈	—	8	16	no	—
266	C₂×C₈	—	2	2	no	—
267	C₂×C₈	—	2	2	no	—
268	C₂×C₈	—	2	2	no	—
269	C₂×C₈	—	2	4	no	—
270	C₂×C₈	—	2	8	no	—
271	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
272	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
273	C₂×C₈	C₂×#41	1	4	yes	—
274	C₂×C₈	C₂×#41	1	4	yes	—
275	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
276	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
277	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
278	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
279	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
280	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
281	C₄⋊C₄	C₂×D₈	1	16	yes	—
282	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
283	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
284	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
285	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
286	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
287	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
288	C₄²	—	2	4	no	—
289	C₄²	—	2	2	no	—
290	C₄²	—	2	4	no	—
291	C₄²	—	2	4	no	—
292	C₄²	—	4	8	no	—
293	C₄²	—	4	4	no	—
294	C₄²	C₂×D₈	1	4	yes	—
295	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
296	C₄²	C₂×#41	1	4	yes	—
297	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
298	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
299	C₂³	—	2	4	no	—
300	C₂³	—	4	4	no	—
301	C₂³	—	4	2	no	—
302	C₂³	—	4	2	no	—
303	C₂³	—	4	4	no	—
304	C₂³	—	4	8	no	—
305	C₂³	—	4	16	no	—
306	C₂³	—	4	8	no	—
307	C₂³	—	4	16	no	—
308	C₂³	—	4	8	no	—
309	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
310	Q₈	—	2	16	no	—
311	D₄	—	2	4	no	—
312	D₄	—	2	4	no	—
313	D₄	—	4	8	no	—
314	D₄	—	4	8	no	—
315	D₄	—	4	4	no	—
316	D₄	—	4	16	no	—
317	D₄	—	8	32	no	—
318	D₄	—	8	32	no	—
319	D₄	—	8	16	no	—
320	D₄	—	16	8	no	—
321	D₄	—	16	16	no	—
322	D₄	—	16	16	no	—
323	C₂×C₄	—	2	4	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	4	no	—
328	C₂×C₄	—	2	4	no	—
329	C₂×C₄	—	2	4	no	—
330	C₂×C₄	—	2	8	no	—
331	C₂×C₄	—	4	2	no	—
332	C₂×C₄	—	4	2	no	—
333	C₂×C₄	—	4	16	no	—
334	C₂×C₄	—	4	4	no	—
335	C₂×C₄	—	4	4	no	—
336	C₂×C₄	—	4	4	no	—
337	C₂×C₄	—	8	32	no	—
338	C₂×C₄	—	8	16	no	—
339	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	#550	1	4	yes	—
342	C₂×C₄	#550	1	4	yes	—
343	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	8	yes	—
344	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	4	yes	—
345	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	#576	1	4	yes	—
347	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
351	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
352	C₈	—	2	2	no	—
353	C₈	—	2	4	no	—
354	C₈	—	4	4	no	—
355	C₈	#532	1	4	yes	complemented
356	C₂²	—	4	4	no	—
357	C₂²	—	4	4	no	—
358	C₂²	—	4	4	no	—
359	C₂²	—	8	4	no	—
360	C₂²	—	8	4	no	—
361	C₂²	—	8	8	no	—
362	C₂²	—	8	8	no	—
363	C₂²	—	8	8	no	—
364	C₂²	—	8	16	no	—
365	C₂²	—	8	16	no	—
366	C₂²	C₂×D₄²	1	1	yes	characteristic
367	C₂²	C₂×#550	1	2	yes	—
368	C₂²	C₂³×D₈	1	1	yes	characteristic
369	C₂²	C₂×#576	1	1	yes	characteristic
370	C₂²	C₂×#576	1	2	yes	—
371	C₄	—	2	8	no	—
372	C₄	—	2	2	no	—
373	C₄	—	2	4	no	—
374	C₄	—	4	4	no	—
375	C₄	—	4	4	no	—
376	C₄	—	8	4	no	—
377	C₄	D₄×D₈	1	4	yes	—
378	C₄	#3391	1	8	yes	complemented
379	C₄	C₂×#532	1	1	yes	characteristic
380	C₄	#3498	1	1	yes	characteristic
381	C₄	#3508	1	2	yes	—
382	C₂	—	8	4	no	—
383	C₂	—	16	8	no	—
384	C₂	#36128	1	1	yes	characteristic
385	C₂	C₂×D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
386	C₂	#61089	1	1	yes	characteristic
387	C₂	C₂×#3391	1	2	yes	—
388	C₂	#61409	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×C₄⋊Q₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3391	C₂	semidirect
2. #36128	C₂	semidirect
3. #33301	C₂	semidirect
4. #33160	C₂	semidirect
5. #28736	C₂	semidirect
6. #28458	C₂	semidirect
7. #25631	C₂	semidirect
8. #25364	C₂	semidirect
9. #23185	C₂	semidirect
10. C₈×C₄⋊Q₈	C₂	semidirect
11. C₄²×D₈	C₂	semidirect
89. C₄×D₈	D₄	semidirect
152. C₄⋊Q₈	D₈	semidirect
209. C₄×C₈	#41	semidirect
355. C₈	#532	semidirect
378. C₄	#3391	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3391	2
#36128	2
#33301	2
#33160	2
#28736	2
#28458	2
#25631	2
#25364	2
#23185	2
C₈×C₄⋊Q₈	2
C₄²×D₈	2