Subgroups — #6585694

Order 512.

2022 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 350 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3393	C₂	1	2	yes	maximal
2	#36188	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#33302	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#33162	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#28737	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#28459	C₂	1	4	yes	maximal
7	#25632	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#25365	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
9	#23184	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	C₈×C₄⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₄²×D₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂×#556	C₂²	1	4	yes	—
13	#3393	—	2	16	no	—
14	C₂×#495	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×#494	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#494	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#494	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#494	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#464	C₂²	1	8	yes	—
20	C₂×#461	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×#461	C₂²	1	8	yes	—
22	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#2868	C₂²	1	2	yes	—
27	#2857	—	2	2	no	—
28	#2568	C₂²	1	4	yes	—
29	#2547	C₂²	1	8	yes	—
30	#2499	—	2	4	no	—
31	#2496	—	2	8	no	—
32	#2365	C₂²	1	8	yes	—
33	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#2285	—	2	2	no	—
35	C₄²×D₄	C₂²	1	2	yes	—
36	#2056	C₂²	1	8	yes	—
37	#2015	C₂²	1	16	yes	—
38	#1984	C₂²	1	2	yes	—
39	#1981	C₂²	1	8	yes	—
40	#1981	C₂²	1	4	yes	—
41	#1969	C₂²	1	8	yes	—
42	#1939	C₂²	1	4	yes	—
43	#1878	C₂²	1	16	yes	—
44	#1842	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₄×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	C₄×#107	C₂²	1	2	yes	—
47	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
48	C₄×#102	C₂²	1	4	yes	—
49	C₄×#102	C₂²	1	2	yes	—
50	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
52	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
53	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	8	yes	—
54	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	8	yes	—
55	C₂²×D₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	#556	—	2	16	no	—
57	#556	—	4	8	no	—
58	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
60	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	8	yes	—
61	C₂×#126	—	2	8	no	—
62	C₂×#124	C₂³	1	8	yes	—
63	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
64	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	8	yes	—
65	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×#117	—	2	4	no	—
69	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
70	#495	—	2	16	no	—
71	#494	—	2	8	no	—
72	#494	—	2	16	no	—
73	#494	—	4	4	no	—
74	#494	—	4	8	no	—
75	#464	—	2	32	no	—
76	#461	—	2	16	no	—
77	#461	—	4	16	no	—
78	C₈×Q₈	—	2	8	no	—
79	C₄×Q₁₆	—	2	16	no	—
80	C₄×D₈	—	2	8	no	—
81	C₄×D₈	D₄	1	8	yes	—
82	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂×#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
85	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
87	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
88	C₂×#103	C₂³	1	16	yes	—
89	C₂×#102	C₂³	1	4	yes	—
90	C₂×#102	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
94	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
96	#400	—	2	8	no	—
97	#397	—	2	16	no	—
98	#391	—	2	4	no	—
99	#391	D₄	1	2	yes	—
100	#391	C₂³	1	16	yes	—
101	#389	—	2	8	no	—
102	#389	D₄	1	4	yes	—
103	#387	—	2	16	no	—
104	#384	—	2	2	no	—
105	#384	—	2	4	no	—
106	#384	—	2	2	no	—
107	#384	D₄	1	1	yes	characteristic
108	#382	—	2	4	no	—
109	#380	—	2	8	no	—
110	#380	—	2	8	no	—
111	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
112	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
113	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
114	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
115	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
116	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
117	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
118	#340	C₂³	1	2	yes	—
119	#340	C₂³	1	4	yes	—
120	#336	C₂³	1	8	yes	—
121	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
122	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	8	yes	—
123	C₂²×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
124	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
125	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
126	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
127	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
128	C₂×Q₁₆	—	2	16	no	—
129	C₂×Q₁₆	—	2	16	no	—
130	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
131	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
132	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
133	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
134	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
135	C₂×D₈	—	2	4	no	—
136	C₂×D₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
137	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
138	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
140	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
141	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
142	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
143	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
144	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
145	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
146	#126	—	4	32	no	—
147	#124	—	2	16	no	—
148	#124	—	4	8	no	—
149	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
150	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
151	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
152	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
153	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
154	C₄×D₄	—	2	8	no	—
155	C₄×D₄	—	2	4	no	—
156	C₄×D₄	—	2	8	no	—
157	C₄×D₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
158	#117	—	4	16	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
165	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
166	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
167	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
168	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
169	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
174	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
175	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
176	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
178	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
179	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
180	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
182	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
184	#107	—	2	4	no	—
185	#107	C₂×D₄	1	4	yes	—
186	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
187	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
188	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
189	#103	—	2	16	no	—
190	#103	—	4	16	no	—
191	#102	—	2	8	no	—
192	#102	C₂×D₄	1	8	yes	—
193	C₄×C₈	—	2	8	no	—
194	C₄×C₈	—	2	2	no	—
195	C₄×C₈	—	2	4	no	—
196	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
197	C₄×C₈	#41	1	8	yes	—
198	#95	—	2	4	no	—
199	#95	—	2	2	no	—
200	#95	—	2	16	no	—
201	#95	—	2	16	no	—
202	#95	C₂×D₄	1	8	yes	—
203	C₂⁴	—	2	2	no	—
204	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
205	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
206	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
207	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
208	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
209	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
210	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
211	C₂×D₄	—	2	4	no	—
212	C₂×D₄	—	2	4	no	—
213	C₂×D₄	—	2	2	no	—
214	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
215	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
224	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
231	Q₁₆	—	4	16	no	—
232	Q₁₆	—	8	8	no	—
233	Q₁₆	—	8	16	no	—
234	SD₁₆	—	8	16	no	—
235	D₈	—	2	8	no	—
236	C₂×C₈	—	2	2	no	—
237	C₂×C₈	—	2	2	no	—
238	C₂×C₈	—	2	2	no	—
239	C₂×C₈	—	2	4	no	—
240	C₂×C₈	—	2	8	no	—
241	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
242	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
243	C₂×C₈	C₂×#41	1	4	yes	—
244	C₂×C₈	C₂×#41	1	4	yes	—
245	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
246	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
247	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
248	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
249	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
250	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
251	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
252	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
253	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
254	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
255	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
256	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
257	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
258	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
262	C₄²	—	2	4	no	—
263	C₄²	—	2	2	no	—
264	C₄²	—	2	4	no	—
265	C₄²	—	2	4	no	—
266	C₄²	—	4	16	no	—
267	C₄²	—	4	8	no	—
268	C₄²	—	4	4	no	—
269	C₄²	#135	1	4	yes	—
270	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
271	C₄²	C₂×#41	1	4	yes	—
272	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
273	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
274	C₂³	—	2	4	no	—
275	C₂³	—	4	4	no	—
276	C₂³	—	4	2	no	—
277	C₂³	—	4	2	no	—
278	C₂³	—	4	4	no	—
279	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
280	Q₈	—	4	8	no	—
281	Q₈	—	4	8	no	—
282	Q₈	—	4	8	no	—
283	Q₈	—	4	16	no	—
284	D₄	—	2	4	no	—
285	D₄	—	2	4	no	—
286	D₄	—	4	4	no	—
287	C₂×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂×C₄	—	2	4	no	—
291	C₂×C₄	—	2	4	no	—
292	C₂×C₄	—	2	4	no	—
293	C₂×C₄	—	2	4	no	—
294	C₂×C₄	—	2	8	no	—
295	C₂×C₄	—	2	4	no	—
296	C₂×C₄	—	4	2	no	—
297	C₂×C₄	—	4	2	no	—
298	C₂×C₄	—	4	16	no	—
299	C₂×C₄	—	4	8	no	—
300	C₂×C₄	—	4	4	no	—
301	C₂×C₄	—	4	16	no	—
302	C₂×C₄	—	4	4	no	—
303	C₂×C₄	—	4	4	no	—
304	C₂×C₄	—	8	16	no	—
305	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	#550	1	4	yes	—
308	C₂×C₄	#550	1	4	yes	—
309	C₂×C₄	C₂×#135	1	4	yes	—
310	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	#578	1	4	yes	—
312	C₂×C₄	#578	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
316	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
317	C₈	—	2	2	no	—
318	C₈	—	2	4	no	—
319	C₈	—	4	4	no	—
320	C₈	#532	1	4	yes	—
321	C₂²	—	4	4	no	—
322	C₂²	—	4	4	no	—
323	C₂²	—	4	4	no	—
324	C₂²	—	8	4	no	—
325	C₂²	—	8	4	no	—
326	C₂²	C₂×D₄²	1	1	yes	characteristic
327	C₂²	C₂×#550	1	2	yes	—
328	C₂²	C₂²×#135	1	1	yes	characteristic
329	C₂²	C₂×#578	1	1	yes	characteristic
330	C₂²	C₂×#578	1	2	yes	—
331	C₄	—	2	2	no	—
332	C₄	—	2	4	no	—
333	C₄	—	4	4	no	—
334	C₄	—	4	4	no	—
335	C₄	—	4	4	no	—
336	C₄	—	8	8	no	—
337	C₄	—	8	4	no	—
338	C₄	#3283	1	4	yes	—
339	C₄	#3393	1	8	yes	complemented
340	C₄	C₂×#532	1	1	yes	characteristic
341	C₄	#3498	1	1	yes	characteristic
342	C₄	#3508	1	2	yes	—
343	C₂	—	8	4	no	—
344	C₂	#36128	1	1	yes	characteristic
345	C₂	C₂×#3283	1	1	yes	characteristic
346	C₂	#61091	1	1	yes	characteristic
347	C₂	C₂×#3393	1	2	yes	—
348	C₂	#61411	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂²×D₈	C₂³
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×C₄⋊Q₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #36188	C₂	semidirect
3. #33302	C₂	semidirect
4. #33162	C₂	semidirect
5. #28737	C₂	semidirect
7. #25632	C₂	semidirect
8. #25365	C₂	semidirect
9. #23184	C₂	semidirect
10. C₈×C₄⋊Q₈	C₂	semidirect
339. C₄	#3393	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3393	2
#36188	2
#33302	2
#33162	2
#28737	2
#28459	2
#25632	2
#25365	2
#23184	2
C₈×C₄⋊Q₈	2
C₄²×D₈	2