Subgroups — #6585704

Order 512.

2270 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 362 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3396	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#36595	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#33301	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#33161	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#28736	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#28463	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#25633	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#25371	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
9	#23185	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	C₈×C₄⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₄²×Q₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#559	C₂²	1	4	yes	—
13	#3396	—	2	16	no	—
14	C₂×#495	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×#493	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#493	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#493	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#493	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#460	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#460	C₂²	1	8	yes	—
21	C₂×#463	C₂²	1	8	yes	—
22	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	4	yes	—
26	#2867	C₂²	1	2	yes	—
27	#2858	—	2	2	no	—
28	#2548	C₂²	1	4	yes	—
29	#2548	C₂²	1	8	yes	—
30	#2544	—	2	4	no	—
31	#2445	—	2	8	no	—
32	#2366	C₂²	1	8	yes	—
33	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₄×#127	—	2	2	no	—
35	C₄²×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
36	#2054	C₂²	1	8	yes	—
37	#2012	C₂²	1	16	yes	—
38	#1984	C₂²	1	2	yes	—
39	#1982	C₂²	1	8	yes	—
40	#1982	C₂²	1	4	yes	—
41	#1970	C₂²	1	8	yes	—
42	#1939	C₂²	1	4	yes	—
43	#1879	C₂²	1	16	yes	—
44	#1842	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₄×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	C₄×#107	C₂²	1	2	yes	—
47	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
48	C₄×#103	C₂²	1	4	yes	—
49	C₄×#103	C₂²	1	2	yes	—
50	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	8	yes	—
53	C₂²×D₈	C₂³	1	4	yes	—
54	C₂²×D₈	C₂³	1	4	yes	—
55	C₂²×D₈	C₂³	1	8	yes	—
56	#559	—	2	16	no	—
57	#559	—	4	8	no	—
58	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂×#127	—	2	2	no	—
60	C₂×#127	—	2	4	no	—
61	C₂×#127	—	2	2	no	—
62	C₂×#127	C₂³	1	8	yes	—
63	C₂×#127	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂×#124	—	2	4	no	—
65	C₂×#124	—	2	4	no	—
66	C₂×#124	C₂³	1	8	yes	—
67	C₂×#123	—	2	8	no	—
68	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
69	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
72	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
73	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	8	yes	—
74	#495	—	2	16	no	—
75	#493	—	2	8	no	—
76	#493	—	2	16	no	—
77	#493	—	4	4	no	—
78	#493	—	4	8	no	—
79	#463	—	2	32	no	—
80	#460	—	2	16	no	—
81	#460	—	4	16	no	—
82	C₈×Q₈	—	2	8	no	—
83	C₄×Q₁₆	—	2	8	no	—
84	C₄×Q₁₆	D₄	1	8	yes	complemented
85	C₄×D₈	—	2	16	no	—
86	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂×#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
89	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
91	C₂×#103	C₂³	1	4	yes	—
92	C₂×#103	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
94	C₂×#102	C₂³	1	16	yes	—
95	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
98	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
100	#394	—	2	8	no	—
101	#394	—	2	16	no	—
102	#391	D₄	1	2	yes	—
103	#390	—	2	8	no	—
104	#390	—	2	4	no	—
105	#390	—	2	8	no	—
106	#390	—	2	8	no	—
107	#390	C₂³	1	16	yes	—
108	#389	D₄	1	4	yes	—
109	#386	—	2	16	no	—
110	#384	D₄	1	1	yes	characteristic
111	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
112	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
113	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
114	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
115	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
116	C₄³	—	2	2	no	—
117	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
118	#340	C₂³	1	2	yes	—
119	#340	C₂³	1	4	yes	—
120	#336	C₂³	1	8	yes	—
121	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
122	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
123	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
124	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
125	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
126	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
127	C₂²×D₄	C₂⁴	1	8	yes	—
128	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
129	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
130	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
131	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
132	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
133	C₂×D₈	—	2	8	no	—
134	C₂×D₈	—	2	8	no	—
135	C₂×D₈	—	2	16	no	—
136	C₂×D₈	—	2	16	no	—
137	C₂×D₈	—	4	8	no	—
138	C₂×D₈	—	4	8	no	—
139	C₂×D₈	—	4	8	no	—
140	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
141	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
142	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
143	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
144	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
145	#127	—	2	8	no	—
146	#127	—	2	16	no	—
147	#127	—	2	8	no	—
148	#127	—	2	16	no	—
149	#127	—	4	8	no	—
150	#127	—	8	8	no	—
151	#127	—	8	4	no	—
152	#124	—	2	16	no	—
153	#124	—	4	8	no	—
154	#124	—	4	16	no	—
155	#124	—	8	8	no	—
156	#123	—	4	32	no	—
157	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
158	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
159	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
160	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
161	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
162	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
163	C₄×D₄	—	2	16	no	—
164	C₄×D₄	—	4	8	no	—
165	C₄×D₄	—	4	16	no	—
166	C₄×D₄	—	8	16	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
170	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
171	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
172	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
173	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
174	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
180	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
182	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
183	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
184	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
185	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
188	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
190	#107	—	2	4	no	—
191	#107	C₂×D₄	1	4	yes	—
192	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
193	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
194	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
195	#103	—	2	8	no	—
196	#103	C₂×D₄	1	8	yes	—
197	#102	—	2	16	no	—
198	#102	—	4	16	no	—
199	C₄×C₈	—	2	8	no	—
200	C₄×C₈	—	2	2	no	—
201	C₄×C₈	—	2	4	no	—
202	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
203	C₄×C₈	#41	1	8	yes	—
204	#95	—	2	4	no	—
205	#95	—	2	2	no	—
206	#95	C₂×D₄	1	8	yes	—
207	C₂⁴	—	2	8	no	—
208	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
209	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
210	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
211	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
212	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
213	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
214	C₂×Q₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
215	C₂×D₄	—	2	8	no	—
216	C₂×D₄	—	2	16	no	—
217	C₂×D₄	—	2	16	no	—
218	C₂×D₄	—	2	8	no	—
219	C₂×D₄	—	4	8	no	—
220	C₂×D₄	—	4	8	no	—
221	C₂×D₄	—	4	16	no	—
222	C₂×D₄	—	4	16	no	—
223	C₂×D₄	—	4	16	no	—
224	C₂×D₄	—	4	8	no	—
225	C₂×D₄	—	4	16	no	—
226	C₂×D₄	—	4	8	no	—
227	C₂×D₄	—	8	8	no	—
228	C₂×D₄	—	8	8	no	—
229	C₂×D₄	—	8	8	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
234	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
235	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
242	Q₁₆	—	2	8	no	—
243	SD₁₆	—	8	16	no	—
244	D₈	—	4	16	no	—
245	D₈	—	8	8	no	—
246	D₈	—	8	16	no	—
247	C₂×C₈	—	2	2	no	—
248	C₂×C₈	—	2	2	no	—
249	C₂×C₈	—	2	2	no	—
250	C₂×C₈	—	2	4	no	—
251	C₂×C₈	—	2	8	no	—
252	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
253	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
254	C₂×C₈	C₂×#41	1	4	yes	—
255	C₂×C₈	C₂×#41	1	4	yes	—
256	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
257	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
258	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
259	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
260	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
261	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
262	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
263	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
264	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
265	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
266	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
270	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
271	C₄²	—	2	8	no	—
272	C₄²	—	2	4	no	—
273	C₄²	—	2	2	no	—
274	C₄²	—	2	4	no	—
275	C₄²	—	2	4	no	—
276	C₄²	—	4	8	no	—
277	C₄²	—	4	8	no	—
278	C₄²	—	4	4	no	—
279	C₄²	#135	1	4	yes	—
280	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
281	C₄²	C₂×#41	1	4	yes	—
282	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
283	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
284	C₂³	—	4	8	no	—
285	C₂³	—	4	16	no	—
286	C₂³	—	4	8	no	—
287	C₂³	—	4	8	no	—
288	C₂³	—	4	16	no	—
289	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
290	Q₈	—	2	4	no	—
291	Q₈	—	2	4	no	—
292	Q₈	—	4	4	no	—
293	Q₈	—	4	8	no	—
294	D₄	—	4	8	no	—
295	D₄	—	4	8	no	—
296	D₄	—	4	16	no	—
297	D₄	—	8	32	no	—
298	D₄	—	8	16	no	—
299	D₄	—	16	8	no	—
300	D₄	—	16	16	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	4	no	—
305	C₂×C₄	—	2	4	no	—
306	C₂×C₄	—	2	4	no	—
307	C₂×C₄	—	2	4	no	—
308	C₂×C₄	—	2	4	no	—
309	C₂×C₄	—	2	4	no	—
310	C₂×C₄	—	2	8	no	—
311	C₂×C₄	—	4	4	no	—
312	C₂×C₄	—	4	4	no	—
313	C₂×C₄	—	4	4	no	—
314	C₂×C₄	—	4	4	no	—
315	C₂×C₄	—	4	4	no	—
316	C₂×C₄	—	16	16	no	—
317	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	#550	1	4	yes	—
320	C₂×C₄	#550	1	4	yes	—
321	C₂×C₄	C₂×#135	1	4	yes	—
322	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	#576	1	4	yes	—
324	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
329	C₈	—	2	2	no	—
330	C₈	—	2	4	no	—
331	C₈	—	4	4	no	—
332	C₈	#532	1	4	yes	—
333	C₂²	—	8	8	no	—
334	C₂²	—	8	8	no	—
335	C₂²	—	8	8	no	—
336	C₂²	—	8	16	no	—
337	C₂²	—	8	16	no	—
338	C₂²	C₂×D₄²	1	1	yes	characteristic
339	C₂²	C₂×#550	1	2	yes	—
340	C₂²	C₂²×#135	1	1	yes	characteristic
341	C₂²	C₂×#576	1	1	yes	characteristic
342	C₂²	C₂×#576	1	2	yes	—
343	C₄	—	2	2	no	—
344	C₄	—	2	4	no	—
345	C₄	—	4	4	no	—
346	C₄	—	4	4	no	—
347	C₄	—	4	4	no	—
348	C₄	—	4	4	no	—
349	C₄	—	8	4	no	—
350	C₄	#3287	1	4	yes	—
351	C₄	#3396	1	8	yes	complemented
352	C₄	C₂×#532	1	1	yes	characteristic
353	C₄	#3498	1	1	yes	characteristic
354	C₄	#3508	1	2	yes	—
355	C₂	—	16	8	no	—
356	C₂	#36128	1	1	yes	characteristic
357	C₂	C₂×#3287	1	1	yes	characteristic
358	C₂	#61089	1	1	yes	characteristic
359	C₂	C₂×#3396	1	2	yes	—
360	C₂	#61409	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	#33301	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×C₄⋊Q₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3396	C₂	semidirect
2. #36595	C₂	semidirect
4. #33161	C₂	semidirect
5. #28736	C₂	semidirect
6. #28463	C₂	semidirect
7. #25633	C₂	semidirect
8. #25371	C₂	semidirect
9. #23185	C₂	semidirect
10. C₈×C₄⋊Q₈	C₂	semidirect
11. C₄²×Q₁₆	C₂	semidirect
84. C₄×Q₁₆	D₄	semidirect
351. C₄	#3396	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3396	2
#36595	2
#33301	2
#33161	2
#28736	2
#28463	2
#25633	2
#25371	2
#23185	2
C₈×C₄⋊Q₈	2
C₄²×Q₁₆	2