Subgroups — #6585707

Order 512.

2020 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 427 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3400	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#36538	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#33303	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#33165	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#28745	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#28469	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#25634	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#25633	C₂	1	2	yes	maximal
9	#25375	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
10	#23191	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	#21712	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₄²×Q₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	C₂×#559	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#557	C₂²	1	2	yes	—
15	#3400	—	2	16	no	—
16	C₂×#497	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×#495	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#495	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#464	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#464	C₂²	1	8	yes	—
24	C₂×#462	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#460	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#461	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×#446	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#440	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#2861	—	2	2	no	—
32	#2858	C₂²	1	2	yes	—
33	#2568	C₂²	1	2	yes	—
34	#2566	—	2	2	no	—
35	#2558	—	2	8	no	—
36	#2548	C₂²	1	2	yes	—
37	#2545	—	2	2	no	—
38	#2545	C₂²	1	8	yes	—
39	#2367	C₂²	1	8	yes	—
40	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₄×#124	—	2	2	no	—
42	C₄²×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
43	#2055	C₂²	1	8	yes	—
44	#2016	C₂²	1	8	yes	—
45	#2012	C₂²	1	8	yes	—
46	#1984	C₂²	1	2	yes	—
47	#1983	C₂²	1	8	yes	—
48	#1982	C₂²	1	2	yes	—
49	#1981	C₂²	1	2	yes	—
50	#1973	C₂²	1	8	yes	—
51	#1939	C₂²	1	4	yes	—
52	#1879	C₂²	1	8	yes	—
53	#1878	C₂²	1	8	yes	—
54	#1842	C₂²	1	1	yes	characteristic
55	C₄×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
56	C₄×#107	C₂²	1	2	yes	—
57	#1770	C₂²	1	4	yes	—
58	C₄×#103	C₂²	1	4	yes	—
59	C₄×#103	C₂²	1	2	yes	—
60	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
63	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
65	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
66	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂²×D₈	C₂³	1	4	yes	—
68	#559	—	2	8	no	—
69	#559	—	4	4	no	—
70	#557	—	2	8	no	—
71	#557	—	4	4	no	—
72	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
75	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂×#125	—	2	2	no	—
77	C₂×#125	—	2	4	no	—
78	C₂×#124	—	2	2	no	—
79	C₂×#124	—	2	2	no	—
80	C₂×#124	C₂³	1	8	yes	—
81	C₂×#124	C₂³	1	4	yes	—
82	C₂×#123	—	2	4	no	—
83	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
84	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
85	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
86	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
89	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
90	#497	—	2	16	no	—
91	#495	—	2	16	no	—
92	#495	—	4	8	no	—
93	#494	—	4	2	no	—
94	#493	—	4	2	no	—
95	#492	—	2	8	no	—
96	#464	—	2	16	no	—
97	#464	—	4	16	no	—
98	#462	—	2	8	no	—
99	#461	—	2	16	no	—
100	#460	—	2	8	no	—
101	#446	—	2	8	no	—
102	#440	—	2	16	no	—
103	C₄×Q₁₆	—	2	8	no	—
104	C₄×Q₁₆	D₄	1	8	yes	—
105	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
106	C₂×#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
107	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
108	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
109	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
110	C₂×#103	C₂³	1	4	yes	—
111	C₂×#103	C₂³	1	4	yes	—
112	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
113	C₂×#103	C₂³	1	2	yes	—
114	C₂×#102	C₂³	1	4	yes	—
115	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
116	C₂×#97	C₂³	1	4	yes	—
117	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
118	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
119	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
120	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
121	#400	—	2	4	no	—
122	#396	—	2	8	no	—
123	#396	—	2	8	no	—
124	#394	—	2	4	no	—
125	#391	—	2	2	no	—
126	#391	D₄	1	2	yes	—
127	#391	C₂³	1	8	yes	—
128	#390	—	2	2	no	—
129	#390	—	2	2	no	—
130	#390	—	2	2	no	—
131	#390	—	2	4	no	—
132	#390	C₂³	1	8	yes	—
133	#389	D₄	1	4	yes	—
134	#388	—	2	8	no	—
135	#388	—	2	8	no	—
136	#388	—	2	8	no	—
137	#388	—	2	8	no	—
138	#385	—	2	8	no	—
139	#384	D₄	1	1	yes	characteristic
140	#382	—	2	2	no	—
141	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
142	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
143	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
144	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
145	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
146	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
147	C₄³	—	2	2	no	—
148	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
149	#340	C₂³	1	2	yes	—
150	#340	C₂³	1	4	yes	—
151	#336	C₂³	1	8	yes	—
152	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
153	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
154	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
155	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
156	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
157	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
158	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
159	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
160	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
161	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
162	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
163	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
164	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
165	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
166	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
167	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
168	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
169	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
170	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
171	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
172	C₂×D₈	—	2	8	no	—
173	C₂×D₈	—	4	4	no	—
174	C₂×D₈	—	4	4	no	—
175	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
176	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
177	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
178	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
179	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
180	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
181	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
182	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
183	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
184	#127	—	2	4	no	—
185	#127	—	2	4	no	—
186	#125	—	4	8	no	—
187	#125	—	4	16	no	—
188	#124	—	2	8	no	—
189	#124	—	2	16	no	—
190	#124	—	2	16	no	—
191	#124	—	4	4	no	—
192	#124	—	4	8	no	—
193	#124	—	4	8	no	—
194	#123	—	4	16	no	—
195	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
196	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
197	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
198	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
199	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
200	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
201	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
202	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
203	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
204	C₄×D₄	—	2	8	no	—
205	C₄×D₄	—	4	4	no	—
206	C₄×D₄	—	4	8	no	—
207	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
208	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
209	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
210	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
211	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
212	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
213	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
214	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
215	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
216	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
217	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
218	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
219	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
220	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
221	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
222	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
223	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
224	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
225	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
226	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
227	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
228	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
229	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
230	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
231	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
232	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
233	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
234	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
235	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
236	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
237	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
238	#107	—	2	4	no	—
239	#107	C₂×D₄	1	4	yes	—
240	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
241	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
242	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
243	#103	—	2	8	no	—
244	#103	—	2	8	no	—
245	#103	—	4	8	no	—
246	#103	C₂×D₄	1	8	yes	—
247	#102	—	2	8	no	—
248	#102	—	4	8	no	—
249	#97	—	2	8	no	—
250	C₄×C₈	—	2	2	no	—
251	C₄×C₈	—	2	4	no	—
252	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
253	C₄×C₈	#41	1	8	yes	—
254	#95	—	2	8	no	—
255	#95	—	2	4	no	—
256	#95	—	2	2	no	—
257	#95	—	2	8	no	—
258	#95	C₂×D₄	1	8	yes	—
259	C₂⁴	—	2	4	no	—
260	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
261	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
262	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
263	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
264	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
265	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
266	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
267	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
268	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
269	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
270	C₂×Q₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
271	C₂×D₄	—	2	4	no	—
272	C₂×D₄	—	2	8	no	—
273	C₂×D₄	—	2	8	no	—
274	C₂×D₄	—	2	4	no	—
275	C₂×D₄	—	4	4	no	—
276	C₂×D₄	—	4	4	no	—
277	C₂×D₄	—	4	4	no	—
278	C₂×D₄	—	4	4	no	—
279	C₂×D₄	—	8	4	no	—
280	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
283	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
284	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
285	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
286	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
287	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
288	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
289	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
290	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
291	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
292	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
293	Q₁₆	—	2	8	no	—
294	Q₁₆	—	8	8	no	—
295	Q₁₆	—	8	8	no	—
296	SD₁₆	—	4	16	no	—
297	SD₁₆	—	8	8	no	—
298	SD₁₆	—	8	8	no	—
299	D₈	—	8	8	no	—
300	C₂×C₈	—	2	2	no	—
301	C₂×C₈	—	2	2	no	—
302	C₂×C₈	—	2	2	no	—
303	C₂×C₈	—	2	4	no	—
304	C₂×C₈	—	2	8	no	—
305	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
306	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
307	C₂×C₈	C₂×#41	1	4	yes	—
308	C₂×C₈	C₂×#41	1	4	yes	—
309	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
310	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
311	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
312	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
313	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
314	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
315	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
316	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
317	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
318	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
319	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
320	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
321	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
322	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
323	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
324	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
325	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
326	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
327	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
328	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
329	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
330	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
331	C₄²	—	2	8	no	—
332	C₄²	—	2	2	no	—
333	C₄²	—	2	2	no	—
334	C₄²	—	2	4	no	—
335	C₄²	—	2	4	no	—
336	C₄²	—	4	2	no	—
337	C₄²	—	4	8	no	—
338	C₄²	—	4	8	no	—
339	C₄²	—	4	4	no	—
340	C₄²	—	8	4	no	—
341	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
342	C₄²	C₂×#41	1	4	yes	—
343	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
344	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
345	C₂³	—	4	8	no	—
346	C₂³	—	4	4	no	—
347	C₂³	—	4	8	no	—
348	C₂³	—	4	4	no	—
349	C₂³	—	4	4	no	—
350	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
351	Q₈	—	2	4	no	—
352	Q₈	—	2	4	no	—
353	Q₈	—	4	4	no	—
354	Q₈	—	4	8	no	—
355	Q₈	—	4	4	no	—
356	Q₈	—	4	4	no	—
357	Q₈	—	4	8	no	—
358	D₄	—	4	4	no	—
359	D₄	—	4	4	no	—
360	D₄	—	4	8	no	—
361	D₄	—	8	8	no	—
362	D₄	—	16	4	no	—
363	C₂×C₄	—	2	2	no	—
364	C₂×C₄	—	2	2	no	—
365	C₂×C₄	—	2	2	no	—
366	C₂×C₄	—	2	2	no	—
367	C₂×C₄	—	2	2	no	—
368	C₂×C₄	—	2	8	no	—
369	C₂×C₄	—	2	4	no	—
370	C₂×C₄	—	2	4	no	—
371	C₂×C₄	—	2	4	no	—
372	C₂×C₄	—	2	4	no	—
373	C₂×C₄	—	2	4	no	—
374	C₂×C₄	—	2	4	no	—
375	C₂×C₄	—	4	4	no	—
376	C₂×C₄	—	4	4	no	—
377	C₂×C₄	—	4	4	no	—
378	C₂×C₄	—	4	4	no	—
379	C₂×C₄	—	4	4	no	—
380	C₂×C₄	—	4	8	no	—
381	C₂×C₄	—	4	4	no	—
382	C₂×C₄	—	16	8	no	—
383	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
384	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
385	C₂×C₄	#550	1	4	yes	—
386	C₂×C₄	#550	1	4	yes	—
387	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
388	C₂×C₄	#578	1	2	yes	—
389	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
390	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
391	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
392	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
393	C₈	—	2	2	no	—
394	C₈	—	2	4	no	—
395	C₈	—	4	4	no	—
396	C₈	#532	1	4	yes	—
397	C₂²	—	8	4	no	—
398	C₂²	—	8	4	no	—
399	C₂²	—	8	4	no	—
400	C₂²	—	8	8	no	—
401	C₂²	—	8	8	no	—
402	C₂²	C₂×D₄²	1	1	yes	characteristic
403	C₂²	C₂×#550	1	2	yes	—
404	C₂²	C₂×#575	1	1	yes	characteristic
405	C₂²	C₂×#578	1	1	yes	characteristic
406	C₂²	#3584	1	2	yes	—
407	C₄	—	2	2	no	—
408	C₄	—	2	4	no	—
409	C₄	—	2	4	no	—
410	C₄	—	4	4	no	—
411	C₄	—	4	4	no	—
412	C₄	—	4	4	no	—
413	C₄	—	4	4	no	—
414	C₄	—	8	4	no	—
415	C₄	—	8	4	no	—
416	C₄	#3277	1	4	yes	—
417	C₄	C₂×#532	1	1	yes	characteristic
418	C₄	#3498	1	1	yes	characteristic
419	C₄	#3508	1	2	yes	—
420	C₂	—	16	4	no	—
421	C₂	#36128	1	1	yes	characteristic
422	C₂	C₂×#3277	1	1	yes	characteristic
423	C₂	#61088	1	1	yes	characteristic
424	C₂	#61401	1	2	yes	—
425	C₂	#61408	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂×#493	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×C₄⋊Q₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3400	C₂	semidirect
2. #36538	C₂	semidirect
4. #33165	C₂	semidirect
5. #28745	C₂	semidirect
6. #28469	C₂	semidirect
7. #25634	C₂	semidirect
9. #25375	C₂	semidirect
10. #23191	C₂	semidirect
11. #21712	C₂	semidirect
12. C₄²×Q₁₆	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3400	2
#36538	2
#33303	2
#33165	2
#28745	2
#28469	2
#25634	2
#25633	2
#25375	2
#23191	2
#21712	2
C₄²×Q₁₆	2