Subgroups — #6585751

Order 512.

2062 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 405 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3170	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#36134	C₂	1	2	yes	maximal
3	#33302	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#33172	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#28748	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#28486	C₂	1	4	yes	maximal
7	#25600	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#25415	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
9	#23184	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	C₄×#500	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₄×C₈×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂×#533	C₂²	1	4	yes	—
13	#3170	—	2	16	no	—
14	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#494	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#494	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×#494	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#494	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#487	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#467	C₂²	1	8	yes	—
21	C₂×#467	C₂²	1	8	yes	—
22	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	8	yes	—
23	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
25	#2868	C₂²	1	2	yes	—
26	#2857	C₂²	1	4	yes	—
27	#2552	—	2	2	no	—
28	#2542	C₂²	1	4	yes	—
29	#2538	—	2	2	no	—
30	#2441	—	2	4	no	—
31	#2429	C₂²	1	8	yes	—
32	#2423	—	2	4	no	—
33	#2365	C₂²	1	4	yes	—
34	#2354	—	2	2	no	—
35	Q₈×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
36	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
37	C₄²×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#2043	C₂²	1	8	yes	—
39	#2001	C₂²	1	16	yes	—
40	#1990	C₂²	1	2	yes	—
41	#1981	C₂²	1	8	yes	—
42	#1969	C₂²	1	8	yes	—
43	#1956	C₂²	1	4	yes	—
44	#1942	C₂²	1	4	yes	—
45	#1878	C₂²	1	16	yes	—
46	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	C₄×#107	C₂²	1	4	yes	—
48	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
49	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
50	C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
51	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
52	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	8	yes	—
54	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	8	yes	—
55	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
56	#533	—	2	16	no	—
57	#533	—	4	8	no	—
58	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
59	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
60	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
61	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×#125	—	2	4	no	—
63	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
64	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	8	yes	—
65	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	8	yes	—
66	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
67	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
68	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	8	yes	—
69	C₂×C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂×#117	—	2	4	no	—
73	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
74	#500	D₄	1	8	yes	complemented
75	#494	—	2	8	no	—
76	#494	—	2	16	no	—
77	#494	—	4	4	no	—
78	#494	—	4	8	no	—
79	#487	—	2	16	no	—
80	#467	—	2	32	no	—
81	#467	—	4	16	no	—
82	C₄×Q₁₆	—	2	32	no	—
83	C₈×D₄	—	2	8	no	—
84	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
85	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
86	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂×#103	C₂³	1	16	yes	—
88	C₂×#103	C₂³	1	16	yes	—
89	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
90	C₂×C₄×C₈	—	2	8	no	—
91	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
93	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
94	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
97	#399	—	2	8	no	—
98	#398	—	2	8	no	—
99	#396	—	2	8	no	—
100	#391	—	2	2	no	—
101	#391	C₂³	1	8	yes	—
102	#390	—	2	4	no	—
103	#389	—	2	4	no	—
104	#389	—	2	2	no	—
105	#389	—	2	4	no	—
106	#389	—	2	4	no	—
107	#389	—	2	8	no	—
108	#389	C₂³	1	4	yes	—
109	#388	—	2	8	no	—
110	#387	—	2	8	no	—
111	#384	—	2	4	no	—
112	#384	—	2	2	no	—
113	#384	—	2	2	no	—
114	#384	—	2	2	no	—
115	#384	—	2	2	no	—
116	#384	C₂³	1	2	yes	—
117	#380	—	2	4	no	—
118	#380	—	2	4	no	—
119	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
120	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
121	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
122	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
123	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
124	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
125	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
126	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
127	C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
128	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
129	#340	C₂³	1	8	yes	—
130	#336	C₂³	1	4	yes	—
131	#336	C₂³	1	2	yes	—
132	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
133	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	8	yes	—
134	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
136	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
137	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
138	C₂×Q₁₆	—	2	16	no	—
139	C₂×Q₁₆	—	2	16	no	—
140	C₂×Q₁₆	—	2	16	no	—
141	C₂×Q₁₆	—	2	16	no	—
142	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
143	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
144	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
145	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
146	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
147	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
148	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
149	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
150	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
151	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
152	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
153	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
154	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
155	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
156	#125	—	4	16	no	—
157	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
158	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
159	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
160	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
161	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
162	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
163	C₄×Q₈	—	4	16	no	—
164	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
165	C₄×D₄	—	2	4	no	—
166	C₄×D₄	—	2	4	no	—
167	C₄×D₄	Q₁₆	1	8	yes	complemented
168	#117	—	4	16	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
185	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
186	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
187	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
188	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
189	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
190	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
191	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
192	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
193	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
194	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
195	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
196	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
197	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
198	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
199	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
200	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
201	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
202	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
203	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
204	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
205	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
206	#107	—	2	8	no	—
207	#107	C₂×D₄	1	16	yes	—
208	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
209	#103	—	2	32	no	—
210	#103	—	4	16	no	—
211	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
212	C₄×C₈	—	2	8	no	—
213	C₄×C₈	—	2	4	no	—
214	C₄×C₈	—	2	4	no	—
215	C₄×C₈	—	2	2	no	—
216	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
217	C₄×C₈	#41	1	8	yes	—
218	#95	—	2	8	no	—
219	#95	—	2	4	no	—
220	#95	—	2	4	no	—
221	#95	—	2	8	no	—
222	#95	C₂×D₄	1	2	yes	—
223	#95	C₂×D₄	1	2	yes	—
224	#95	C₂×D₄	1	2	yes	—
225	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
226	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
227	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
228	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
229	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
230	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
231	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
232	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
233	C₂×D₄	—	2	2	no	—
234	C₂×D₄	—	2	2	no	—
235	C₂×D₄	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
236	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
248	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	8	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
252	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
254	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
255	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
258	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
259	Q₁₆	—	4	32	no	—
260	Q₁₆	—	8	16	no	—
261	C₂×C₈	—	2	2	no	—
262	C₂×C₈	—	2	2	no	—
263	C₂×C₈	—	2	4	no	—
264	C₂×C₈	—	2	4	no	—
265	C₂×C₈	—	2	4	no	—
266	C₂×C₈	—	4	16	no	—
267	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
268	C₂×C₈	C₂×#41	1	4	yes	—
269	C₂×C₈	C₂×#41	1	4	yes	—
270	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
271	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
272	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
273	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
274	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
275	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
276	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
277	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
278	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
279	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
280	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
281	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
282	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
283	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
284	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
285	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
286	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
287	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
288	C₄⋊C₄	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
289	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
290	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
291	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
292	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
293	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
294	C₂²⋊C₄	C₂×Q₁₆	1	8	yes	—
295	C₄²	—	2	4	no	—
296	C₄²	—	2	4	no	—
297	C₄²	—	2	2	no	—
298	C₄²	—	2	2	no	—
299	C₄²	—	2	2	no	—
300	C₄²	—	2	2	no	—
301	C₄²	—	2	2	no	—
302	C₄²	—	4	16	no	—
303	C₄²	—	4	8	no	—
304	C₄²	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
305	C₄²	#135	1	4	yes	—
306	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
307	C₄²	C₂×#41	1	4	yes	—
308	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
309	C₂³	—	2	2	no	—
310	C₂³	—	2	2	no	—
311	C₂³	—	2	2	no	—
312	C₂³	—	2	2	no	—
313	C₂³	—	2	2	no	—
314	C₂³	—	2	2	no	—
315	C₂³	C₂²×Q₁₆	1	4	yes	—
316	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
317	Q₈	—	4	16	no	—
318	Q₈	—	4	16	no	—
319	Q₈	—	4	16	no	—
320	D₄	—	2	8	no	—
321	C₂×C₄	—	2	2	no	—
322	C₂×C₄	—	2	1	no	—
323	C₂×C₄	—	2	1	no	—
324	C₂×C₄	—	2	1	no	—
325	C₂×C₄	—	2	1	no	—
326	C₂×C₄	—	2	1	no	—
327	C₂×C₄	—	2	1	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	2	16	no	—
330	C₂×C₄	—	2	2	no	—
331	C₂×C₄	—	2	2	no	—
332	C₂×C₄	—	2	2	no	—
333	C₂×C₄	—	2	8	no	—
334	C₂×C₄	—	2	2	no	—
335	C₂×C₄	—	2	2	no	—
336	C₂×C₄	—	2	2	no	—
337	C₂×C₄	—	4	4	no	—
338	C₂×C₄	—	4	4	no	—
339	C₂×C₄	—	4	4	no	—
340	C₂×C₄	—	4	4	no	—
341	C₂×C₄	—	4	8	no	—
342	C₂×C₄	—	4	8	no	—
343	C₂×C₄	—	4	8	no	—
344	C₂×C₄	—	4	4	no	—
345	C₂×C₄	—	4	8	no	—
346	C₂×C₄	—	4	4	no	—
347	C₂×C₄	—	4	4	no	—
348	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
349	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
351	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
352	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	2	yes	—
353	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	4	yes	—
354	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	2	yes	—
355	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	2	yes	—
356	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
357	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	#578	1	2	yes	—
360	C₂×C₄	#578	1	2	yes	—
361	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
362	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
364	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
365	C₈	—	2	4	no	—
366	C₈	—	4	4	no	—
367	C₈	#550	1	8	yes	—
368	C₂²	—	2	4	no	—
369	C₂²	—	2	4	no	—
370	C₂²	—	2	4	no	—
371	C₂²	—	4	2	no	—
372	C₂²	—	4	2	no	—
373	C₂²	—	4	2	no	—
374	C₂²	—	4	2	no	—
375	C₂²	C₂×#532	1	1	yes	characteristic
376	C₂²	C₂×D₄²	1	1	yes	characteristic
377	C₂²	#3498	1	1	yes	characteristic
378	C₂²	C₂³×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
379	C₂²	C₂²×#135	1	1	yes	characteristic
380	C₂²	C₂×#578	1	1	yes	characteristic
381	C₂²	C₂×#578	1	1	yes	characteristic
382	C₄	—	2	2	no	—
383	C₄	—	2	4	no	—
384	C₄	—	2	2	no	—
385	C₄	—	2	2	no	—
386	C₄	—	4	2	no	—
387	C₄	—	4	2	no	—
388	C₄	—	4	8	no	—
389	C₄	—	8	8	no	—
390	C₄	—	8	4	no	—
391	C₄	#3170	1	4	yes	complemented
392	C₄	#3283	1	4	yes	—
393	C₄	D₄×Q₁₆	1	4	yes	—
394	C₄	C₂×#550	1	2	yes	—
395	C₄	#3508	1	2	yes	—
396	C₂	—	4	4	no	—
397	C₂	#36128	1	1	yes	characteristic
398	C₂	C₂×#3170	1	1	yes	characteristic
399	C₂	#60715	1	1	yes	characteristic
400	C₂	C₂×#3283	1	1	yes	characteristic
401	C₂	C₂×D₄×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
402	C₂	#62416	1	1	yes	characteristic
403	C₂	#62418	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂²×D₄	C₂×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄²×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3170	C₂	semidirect
3. #33302	C₂	semidirect
4. #33172	C₂	semidirect
5. #28748	C₂	semidirect
7. #25600	C₂	semidirect
8. #25415	C₂	semidirect
9. #23184	C₂	semidirect
10. C₄×#500	C₂	semidirect
74. #500	D₄	semidirect
167. C₄×D₄	Q₁₆	semidirect
391. C₄	#3170	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3170	2
#36134	2
#33302	2
#33172	2
#28748	2
#28486	2
#25600	2
#25415	2
#23184	2
C₄×#500	2
C₄×C₈×D₄	2