Subgroups — #6585811

Order 512.

2652 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 412 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3184	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#36128	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#33301	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#33175	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#28749	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#28488	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#25599	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#25426	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
9	#23188	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	C₄×#498	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₄×#436	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#550	—	2	2	no	—
13	C₂×#532	C₂²	1	4	yes	—
14	#3184	—	2	16	no	—
15	C₂×#498	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#493	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#493	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#493	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#493	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#486	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×#469	C₂²	1	8	yes	—
22	C₂×#469	C₂²	1	8	yes	—
23	C₂×#442	C₂²	1	8	yes	—
24	C₂×#436	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
26	#2867	C₂²	1	2	yes	—
27	#2856	C₂²	1	4	yes	—
28	#2548	—	2	2	no	—
29	#2541	—	2	2	no	—
30	#2541	C₂²	1	4	yes	—
31	#2431	—	2	4	no	—
32	#2428	—	2	4	no	—
33	#2428	C₂²	1	8	yes	—
34	#2366	—	2	2	no	—
35	#2366	C₂²	1	4	yes	—
36	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
37	C₄²×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#2041	C₂²	1	8	yes	—
39	#1999	C₂²	1	16	yes	—
40	#1990	C₂²	1	2	yes	—
41	#1982	C₂²	1	8	yes	—
42	#1972	C₂²	1	8	yes	—
43	#1957	C₂²	1	4	yes	—
44	#1941	C₂²	1	4	yes	—
45	#1879	C₂²	1	16	yes	—
46	#1844	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	C₄×#106	C₂²	1	4	yes	—
48	#1770	C₂²	1	2	yes	—
49	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
50	#1753	C₂²	1	4	yes	—
51	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
52	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×#41	—	2	4	no	—
54	C₂²×D₈	C₂³	1	8	yes	—
55	C₂²×D₈	C₂³	1	8	yes	—
56	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
57	#550	—	4	16	no	—
58	#532	—	2	16	no	—
59	#532	—	4	8	no	—
60	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×#127	—	2	4	no	—
62	C₂×#127	—	2	2	no	—
63	C₂×#127	—	2	2	no	—
64	C₂×#127	—	2	2	no	—
65	C₂×#127	—	2	2	no	—
66	C₂×#127	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂×#127	C₂³	1	4	yes	—
68	C₂×#127	C₂³	1	4	yes	—
69	C₂×#124	—	2	4	no	—
70	C₂×#121	—	2	4	no	—
71	C₂×#121	—	2	4	no	—
72	C₂×#121	—	2	4	no	—
73	C₂×#121	—	2	8	no	—
74	C₂×#121	C₂³	1	8	yes	—
75	C₂×#121	C₂³	1	8	yes	—
76	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
77	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
78	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
79	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
80	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	8	yes	—
81	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
83	#498	D₄	1	8	yes	complemented
84	#493	—	2	8	no	—
85	#493	—	2	16	no	—
86	#493	—	4	4	no	—
87	#493	—	4	8	no	—
88	#486	—	2	16	no	—
89	#469	—	2	32	no	—
90	#469	—	4	16	no	—
91	#442	—	2	32	no	—
92	#436	—	2	8	no	—
93	C₂×#106	C₂³	1	4	yes	—
94	C₂×#106	C₂³	1	4	yes	—
95	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂×#102	C₂³	1	16	yes	—
97	C₂×#102	C₂³	1	16	yes	—
98	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
99	C₄×M₁₆	—	2	8	no	—
100	C₂×#97	C₂³	1	4	yes	—
101	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
102	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
103	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
104	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
105	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
106	#394	—	2	8	no	—
107	#392	—	2	8	no	—
108	#392	—	2	8	no	—
109	#391	—	2	2	no	—
110	#390	—	2	4	no	—
111	#390	—	2	4	no	—
112	#390	—	2	4	no	—
113	#390	—	2	4	no	—
114	#390	C₂³	1	8	yes	—
115	#389	—	2	2	no	—
116	#389	C₂³	1	4	yes	—
117	#386	—	2	8	no	—
118	#386	—	2	8	no	—
119	#384	C₂³	1	2	yes	—
120	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
121	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
122	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
123	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
124	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
125	C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
126	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
127	#340	C₂³	1	8	yes	—
128	#336	C₂³	1	4	yes	—
129	#336	C₂³	1	2	yes	—
130	C₂×#41	—	4	16	no	—
131	C₂×#41	—	4	16	no	—
132	C₂×#41	—	8	8	no	—
133	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
134	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
135	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
136	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
137	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
138	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
139	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
140	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
141	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
142	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂²×D₄	C₂⁴	1	8	yes	—
144	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
145	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
146	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
147	C₂×D₈	—	2	16	no	—
148	C₂×D₈	—	2	16	no	—
149	C₂×D₈	—	2	16	no	—
150	C₂×D₈	—	2	16	no	—
151	C₂×D₈	—	4	8	no	—
152	C₂×D₈	—	4	8	no	—
153	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
154	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
155	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
156	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
157	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
158	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
159	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
160	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
161	#127	—	2	8	no	—
162	#127	—	2	16	no	—
163	#127	—	2	8	no	—
164	#127	—	4	8	no	—
165	#127	—	4	16	no	—
166	#127	—	4	8	no	—
167	#127	—	4	8	no	—
168	#127	—	8	4	no	—
169	#127	—	8	4	no	—
170	#124	—	4	16	no	—
171	#121	—	2	16	no	—
172	#121	—	4	32	no	—
173	#121	—	4	8	no	—
174	#121	—	4	16	no	—
175	#121	—	4	16	no	—
176	#121	—	4	16	no	—
177	#121	—	8	8	no	—
178	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
179	C₄×D₄	—	2	16	no	—
180	C₄×D₄	—	2	8	no	—
181	C₄×D₄	—	2	4	no	—
182	C₄×D₄	—	4	8	no	—
183	C₄×D₄	—	4	16	no	—
184	C₄×D₄	—	4	16	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
190	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
192	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
193	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
194	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
195	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
196	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
197	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
198	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
199	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
200	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
201	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
202	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
203	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
204	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
205	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
206	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
207	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
208	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
209	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
210	#106	—	2	8	no	—
211	#106	C₂×D₄	1	16	yes	—
212	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
213	#102	—	2	32	no	—
214	#102	—	4	16	no	—
215	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
216	#97	—	2	8	no	—
217	C₄×C₈	—	2	4	no	—
218	C₄×C₈	—	2	4	no	—
219	C₄×C₈	—	2	2	no	—
220	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
221	C₄×C₈	#41	1	8	yes	complemented
222	#95	—	2	4	no	—
223	#95	—	2	4	no	—
224	#95	C₂×D₄	1	2	yes	—
225	#95	C₂×D₄	1	4	yes	—
226	C₂⁴	—	2	8	no	—
227	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
228	#41	—	8	64	no	—
229	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
230	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
231	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
232	C₂×D₄	—	2	2	no	—
233	C₂×D₄	—	2	4	no	—
234	C₂×D₄	—	2	8	no	—
235	C₂×D₄	—	2	16	no	—
236	C₂×D₄	—	2	16	no	—
237	C₂×D₄	—	2	8	no	—
238	C₂×D₄	—	4	16	no	—
239	C₂×D₄	—	4	16	no	—
240	C₂×D₄	—	4	16	no	—
241	C₂×D₄	—	4	8	no	—
242	C₂×D₄	—	4	8	no	—
243	C₂×D₄	—	4	8	no	—
244	C₂×D₄	—	4	8	no	—
245	C₂×D₄	—	4	8	no	—
246	C₂×D₄	—	4	8	no	—
247	C₂×D₄	—	4	8	no	—
248	C₂×D₄	—	4	8	no	—
249	C₂×D₄	—	4	8	no	—
250	C₂×D₄	—	4	8	no	—
251	C₂×D₄	—	4	8	no	—
252	C₂×D₄	—	4	8	no	—
253	C₂×D₄	—	8	4	no	—
254	C₂×D₄	—	8	4	no	—
255	C₂×D₄	—	8	4	no	—
256	C₂×D₄	—	8	4	no	—
257	C₂×D₄	—	8	4	no	—
258	C₂×D₄	—	8	4	no	—
259	C₂×D₄	—	8	8	no	—
260	C₂×D₄	—	8	8	no	—
261	C₂×D₄	—	8	8	no	—
262	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
263	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
264	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
265	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
266	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
268	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
269	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
270	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
271	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
272	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
273	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
274	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
275	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
276	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
277	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
278	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
279	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
280	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
281	D₈	—	4	32	no	—
282	D₈	—	8	16	no	—
283	M₁₆	—	4	16	no	—
284	C₂×C₈	—	2	2	no	—
285	C₂×C₈	—	2	2	no	—
286	C₂×C₈	—	2	4	no	—
287	C₂×C₈	—	2	4	no	—
288	C₂×C₈	—	2	4	no	—
289	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
290	C₂×C₈	C₂×#41	1	4	yes	—
291	C₂×C₈	C₂×#41	1	4	yes	—
292	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
293	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
294	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
295	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
296	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
297	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
298	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
299	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
300	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
301	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
302	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
303	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
304	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
306	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
308	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
309	C₄²	—	2	8	no	—
310	C₄²	—	2	4	no	—
311	C₄²	—	2	2	no	—
312	C₄²	—	2	2	no	—
313	C₄²	—	2	2	no	—
314	C₄²	—	4	8	no	—
315	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
316	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
317	C₄²	C₂×#41	1	4	yes	—
318	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
319	C₂³	—	2	2	no	—
320	C₂³	—	2	2	no	—
321	C₂³	—	2	2	no	—
322	C₂³	—	2	4	no	—
323	C₂³	—	2	4	no	—
324	C₂³	—	4	8	no	—
325	C₂³	—	4	8	no	—
326	C₂³	—	4	8	no	—
327	C₂³	—	4	8	no	—
328	C₂³	—	4	8	no	—
329	C₂³	—	4	8	no	—
330	C₂³	—	4	8	no	—
331	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
332	Q₈	—	4	16	no	—
333	D₄	—	4	4	no	—
334	D₄	—	4	16	no	—
335	D₄	—	4	16	no	—
336	D₄	—	8	32	no	—
337	D₄	—	8	16	no	—
338	D₄	—	8	16	no	—
339	D₄	—	8	16	no	—
340	D₄	—	16	8	no	—
341	D₄	—	16	8	no	—
342	D₄	—	16	8	no	—
343	D₄	—	16	16	no	—
344	C₂×C₄	—	2	2	no	—
345	C₂×C₄	—	2	2	no	—
346	C₂×C₄	—	2	2	no	—
347	C₂×C₄	—	2	2	no	—
348	C₂×C₄	—	2	2	no	—
349	C₂×C₄	—	2	4	no	—
350	C₂×C₄	—	2	8	no	—
351	C₂×C₄	—	2	2	no	—
352	C₂×C₄	—	2	4	no	—
353	C₂×C₄	—	2	4	no	—
354	C₂×C₄	—	4	4	no	—
355	C₂×C₄	—	4	4	no	—
356	C₂×C₄	—	4	4	no	—
357	C₂×C₄	—	4	4	no	—
358	C₂×C₄	—	4	16	no	—
359	C₂×C₄	—	4	4	no	—
360	C₂×C₄	—	4	4	no	—
361	C₂×C₄	—	4	4	no	—
362	C₂×C₄	—	8	32	no	—
363	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
364	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
365	C₂×C₄	D₄²	1	4	yes	—
366	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
367	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
368	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
369	C₂×C₄	#576	1	4	yes	—
370	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
371	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
372	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
373	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
374	C₈	—	2	4	no	—
375	C₈	—	4	4	no	—
376	C₈	#550	1	8	yes	complemented
377	C₂²	—	4	2	no	—
378	C₂²	—	4	2	no	—
379	C₂²	—	4	2	no	—
380	C₂²	—	4	4	no	—
381	C₂²	—	4	4	no	—
382	C₂²	—	8	8	no	—
383	C₂²	—	8	8	no	—
384	C₂²	—	8	8	no	—
385	C₂²	—	8	8	no	—
386	C₂²	—	8	8	no	—
387	C₂²	—	8	8	no	—
388	C₂²	—	8	8	no	—
389	C₂²	C₂×#532	1	1	yes	characteristic
390	C₂²	C₂×D₄²	1	1	yes	characteristic
391	C₂²	#3498	1	1	yes	characteristic
392	C₂²	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
393	C₂²	C₂×#576	1	2	yes	—
394	C₄	—	2	2	no	—
395	C₄	—	2	4	no	—
396	C₄	—	4	2	no	—
397	C₄	—	4	4	no	—
398	C₄	—	4	8	no	—
399	C₄	—	8	4	no	—
400	C₄	#3184	1	4	yes	complemented
401	C₄	#3274	1	8	yes	—
402	C₄	C₂×#550	1	2	yes	—
403	C₄	#3508	1	2	yes	—
404	C₂	—	8	2	no	—
405	C₂	—	16	8	no	—
406	C₂	#36128	1	1	yes	characteristic
407	C₂	C₂×#3184	1	1	yes	characteristic
408	C₂	#60714	1	1	yes	characteristic
409	C₂	C₂×#3274	1	2	yes	—
410	C₂	#62423	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄²×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3184	C₂	semidirect
2. #36128	C₂	semidirect
3. #33301	C₂	semidirect
4. #33175	C₂	semidirect
5. #28749	C₂	semidirect
6. #28488	C₂	semidirect
7. #25599	C₂	semidirect
8. #25426	C₂	semidirect
9. #23188	C₂	semidirect
10. C₄×#498	C₂	semidirect
11. C₄×#436	C₂	semidirect
83. #498	D₄	semidirect
221. C₄×C₈	#41	semidirect
376. C₈	#550	semidirect
400. C₄	#3184	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3184	2
#36128	2
#33301	2
#33175	2
#28749	2
#28488	2
#25599	2
#25426	2
#23188	2
C₄×#498	2
C₄×#436	2