Subgroups — #6585827

Order 512.

1968 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 426 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#61410	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#60712	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#33300	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#33189	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#28764	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#28502	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#25589	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#25588	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#25431	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
10	#23198	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	#21732	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₄×#443	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	#3509	C₂²	1	2	yes	—
14	#3508	C₂²	1	2	yes	—
15	#3400	—	2	4	no	—
16	#3397	—	2	4	no	—
17	#3394	—	2	4	no	—
18	#3392	—	2	4	no	—
19	#3182	—	2	4	no	—
20	#3174	—	2	8	no	—
21	#3167	—	2	4	no	—
22	#3160	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#3154	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#492	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#492	C₂²	1	4	yes	—
28	#3139	C₂²	1	2	yes	—
29	#3138	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#471	C₂²	1	8	yes	—
31	#3057	C₂²	1	8	yes	—
32	#3043	C₂²	1	4	yes	—
33	#3042	C₂²	1	4	yes	—
34	#3039	C₂²	1	2	yes	—
35	#3038	C₂²	1	2	yes	—
36	#2960	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×#443	C₂²	1	2	yes	—
38	#2949	C₂²	1	8	yes	—
39	#2949	C₂²	1	4	yes	—
40	C₄×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₄×#131	C₂²	1	2	yes	—
42	#2868	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	#2867	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#2046	C₂²	1	8	yes	—
45	#2005	C₂²	1	8	yes	—
46	#2002	C₂²	1	8	yes	—
47	#1994	C₂²	1	2	yes	—
48	#1977	C₂²	1	8	yes	—
49	#1977	C₂²	1	8	yes	—
50	#1966	C₂²	1	2	yes	—
51	#1965	C₂²	1	2	yes	—
52	#1945	C₂²	1	4	yes	—
53	#1887	C₂²	1	8	yes	—
54	#1886	C₂²	1	8	yes	—
55	#1848	C₂²	1	1	yes	characteristic
56	C₄×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
57	#1772	C₂²	1	2	yes	—
58	#1772	C₂²	1	4	yes	—
59	#1764	C₂²	1	4	yes	—
60	C₄×#104	C₂²	1	2	yes	—
61	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
62	C₂×#137	C₂³	1	4	yes	—
63	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂×#135	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
66	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	8	yes	—
67	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
68	C₂×#131	C₂³	1	4	yes	—
69	#559	—	2	4	no	—
70	#557	—	2	4	no	—
71	#556	—	2	4	no	—
72	#552	—	4	4	no	—
73	#550	—	2	4	no	—
74	#546	—	4	4	no	—
75	#541	—	2	4	no	—
76	#540	—	2	4	no	—
77	#536	C₂³	1	4	yes	—
78	#535	C₂³	1	4	yes	—
79	#533	—	2	4	no	—
80	#533	C₂³	1	2	yes	—
81	#532	—	2	4	no	—
82	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
83	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂×#127	—	4	2	no	—
85	C₂×#127	C₂³	1	4	yes	—
86	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
87	#519	C₂³	1	4	yes	—
88	#518	C₂³	1	4	yes	—
89	C₄×#41	C₂³	1	2	yes	—
90	#500	D₄	1	2	yes	complemented
91	#499	D₄	1	4	yes	complemented
92	#498	D₄	1	2	yes	complemented
93	#497	—	2	4	no	—
94	#496	—	2	4	no	—
95	#495	—	2	4	no	—
96	#492	—	2	4	no	—
97	#492	—	2	4	no	—
98	#492	—	2	4	no	—
99	#492	—	2	2	no	—
100	#492	—	2	4	no	—
101	#492	—	2	2	no	—
102	#492	—	2	16	no	—
103	#492	—	4	8	no	—
104	#491	—	2	4	no	—
105	#490	—	2	4	no	—
106	#487	—	2	4	no	—
107	#486	—	2	4	no	—
108	#471	—	4	16	no	—
109	#468	—	2	16	no	—
110	#465	—	2	16	no	—
111	#464	—	2	8	no	—
112	#463	—	2	8	no	—
113	#462	—	2	4	no	—
114	#461	—	2	4	no	—
115	#461	—	2	8	no	—
116	#460	—	2	4	no	—
117	#460	—	2	8	no	—
118	#459	—	2	4	no	—
119	#446	—	2	4	no	—
120	C₈×Q₈	—	2	4	no	—
121	#443	—	2	8	no	—
122	#440	—	2	8	no	—
123	#440	—	2	16	no	—
124	C₄×Q₁₆	D₄	1	2	yes	complemented
125	C₄×SD₁₆	—	2	8	no	—
126	C₄×SD₁₆	—	2	16	no	—
127	C₄×SD₁₆	D₄	1	4	yes	complemented
128	C₄×D₈	D₄	1	2	yes	complemented
129	C₂×#108	C₂³	1	4	yes	—
130	C₂×#108	C₂³	1	2	yes	—
131	#427	C₂³	1	4	yes	—
132	#427	C₂³	1	1	yes	characteristic
133	#424	C₂³	1	4	yes	—
134	#423	C₂³	1	2	yes	—
135	C₂×#104	C₂³	1	4	yes	—
136	#419	C₂³	1	8	yes	—
137	#419	C₂³	1	4	yes	—
138	#418	C₂³	1	8	yes	—
139	#418	C₂³	1	4	yes	—
140	#416	C₂³	1	2	yes	—
141	C₂×#101	C₂³	1	8	yes	—
142	C₂×#100	C₂³	1	8	yes	—
143	#405	—	2	4	no	—
144	#405	C₂³	1	4	yes	—
145	#405	C₂³	1	4	yes	—
146	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
147	C₄×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
148	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
149	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
150	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
152	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
153	#384	—	4	2	no	—
154	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
155	#341	C₂³	1	2	yes	—
156	#339	C₂³	1	4	yes	—
157	#339	C₂³	1	8	yes	—
158	C₂×#41	—	4	4	no	—
159	C₂×#41	C₂⁴	1	2	yes	—
160	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
161	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
162	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
163	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
164	#137	—	4	8	no	—
165	AGL(1,ℤ/8)	—	4	8	no	—
166	#135	—	2	4	no	—
167	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
168	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
170	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
171	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
172	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
173	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
174	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
175	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
176	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
177	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
178	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
179	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
180	C₂×SD₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
181	C₂×D₈	—	2	4	no	—
182	C₂×D₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
183	#131	—	2	8	no	—
184	#131	—	2	8	no	—
185	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
186	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
187	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	4	yes	—
188	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
189	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
190	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
191	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
192	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
193	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
194	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
195	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
196	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
197	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
198	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
199	#127	—	2	4	no	—
200	#127	—	2	2	no	—
201	#127	—	2	2	no	—
202	#127	—	2	4	no	—
203	#127	—	2	8	no	—
204	#127	—	4	4	no	—
205	#127	—	8	8	no	—
206	#126	—	4	8	no	—
207	#125	—	4	4	no	—
208	#125	—	4	8	no	—
209	#125	C₂×D₄	1	4	yes	—
210	#124	—	2	4	no	—
211	#124	—	2	4	no	—
212	#124	—	4	4	no	—
213	#123	—	4	4	no	—
214	#123	—	4	8	no	—
215	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
216	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
217	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
218	#121	—	2	8	no	—
219	#121	—	4	8	no	—
220	#121	—	4	4	no	—
221	#120	—	4	4	no	—
222	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
223	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
224	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
225	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
226	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
227	C₄×D₄	—	2	4	no	—
228	C₄×D₄	—	2	8	no	—
229	C₄×D₄	—	2	8	no	—
230	C₄×D₄	—	4	4	no	—
231	C₄×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
232	#117	—	2	2	no	—
233	#117	—	4	4	no	—
234	#117	—	4	4	no	—
235	#117	C₂⁴	1	2	yes	—
236	#117	C₂⁴	1	4	yes	—
237	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
238	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
239	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
240	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
241	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
242	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
243	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
244	#108	—	2	4	no	—
245	#108	—	2	8	no	—
246	#107	C₂×D₄	1	2	yes	—
247	#107	C₂×D₄	1	8	yes	—
248	#106	C₂×D₄	1	2	yes	—
249	#106	C₂×D₄	1	8	yes	—
250	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
251	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
252	#104	—	2	8	no	—
253	#103	—	2	8	no	—
254	#103	—	2	16	no	—
255	#103	C₂×D₄	1	4	yes	—
256	#102	—	2	8	no	—
257	#102	—	2	16	no	—
258	#102	C₂×D₄	1	4	yes	—
259	#101	—	4	8	no	—
260	#100	—	4	8	no	—
261	#97	—	2	4	no	—
262	#97	—	2	4	no	—
263	#97	—	2	2	no	—
264	C₄×C₈	—	2	4	no	—
265	C₄×C₈	—	2	4	no	—
266	C₄×C₈	—	2	4	no	—
267	C₄×C₈	—	2	2	no	—
268	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
269	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
270	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
271	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
272	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
273	C₄×C₈	#41	1	8	yes	complemented
274	C₂⁴	—	2	4	no	—
275	#41	—	2	4	no	—
276	#41	—	2	4	no	—
277	#41	—	16	8	no	—
278	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
279	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
280	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
281	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
282	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
283	C₂×Q₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
284	C₂×D₄	—	2	2	no	—
285	C₂×D₄	—	2	4	no	—
286	C₂×D₄	—	2	4	no	—
287	C₂×D₄	—	2	8	no	—
288	C₂×D₄	—	2	8	no	—
289	C₂×D₄	—	4	8	no	—
290	C₂×D₄	—	4	4	no	—
291	C₂×D₄	—	4	4	no	—
292	C₂×D₄	—	8	8	no	—
293	C₂×D₄	—	8	8	no	—
294	C₂×D₄	—	8	16	no	—
295	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
296	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
298	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
300	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
301	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
302	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
303	Q₁₆	—	2	2	no	—
304	Q₁₆	—	8	4	no	—
305	SD₁₆	—	2	4	no	—
306	SD₁₆	—	4	8	no	—
307	SD₁₆	—	4	8	no	—
308	SD₁₆	—	4	16	no	—
309	SD₁₆	—	4	16	no	—
310	SD₁₆	—	8	8	no	—
311	SD₁₆	—	8	4	no	—
312	SD₁₆	—	8	4	no	—
313	D₈	—	2	2	no	—
314	D₈	—	8	4	no	—
315	M₁₆	—	2	4	no	—
316	M₁₆	—	2	4	no	—
317	M₁₆	—	2	8	no	—
318	M₁₆	—	4	8	no	—
319	C₂×C₈	—	2	2	no	—
320	C₂×C₈	—	2	4	no	—
321	C₂×C₈	—	2	4	no	—
322	C₂×C₈	—	4	8	no	—
323	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
324	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
327	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
328	C₂×C₈	C₂×#41	1	4	yes	—
329	C₂×C₈	C₂×#41	1	4	yes	—
330	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
331	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
332	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
333	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
334	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
335	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
336	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
337	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
338	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
339	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
340	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
341	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
342	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
343	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
344	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
345	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
346	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
347	C₄²	—	2	8	no	—
348	C₄²	—	2	4	no	—
349	C₄²	—	2	2	no	—
350	C₄²	—	2	4	no	—
351	C₄²	—	2	2	no	—
352	C₄²	—	4	8	no	—
353	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
354	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
355	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
356	C₄²	C₂×#41	1	4	yes	—
357	C₂³	—	2	2	no	—
358	C₂³	—	4	4	no	—
359	C₂³	—	4	8	no	—
360	C₂³	—	8	8	no	—
361	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
362	Q₈	—	2	2	no	—
363	Q₈	—	2	2	no	—
364	Q₈	—	4	8	no	—
365	Q₈	—	4	4	no	—
366	Q₈	—	4	8	no	—
367	Q₈	—	4	4	no	—
368	D₄	—	2	2	no	—
369	D₄	—	2	2	no	—
370	D₄	—	4	4	no	—
371	D₄	—	4	4	no	—
372	D₄	—	4	8	no	—
373	D₄	—	4	4	no	—
374	D₄	—	8	8	no	—
375	D₄	—	16	4	no	—
376	D₄	—	16	16	no	—
377	D₄	—	16	8	no	—
378	C₂×C₄	—	2	8	no	—
379	C₂×C₄	—	2	4	no	—
380	C₂×C₄	—	2	4	no	—
381	C₂×C₄	—	2	4	no	—
382	C₂×C₄	—	2	2	no	—
383	C₂×C₄	—	2	8	no	—
384	C₂×C₄	—	4	4	no	—
385	C₂×C₄	—	4	8	no	—
386	C₂×C₄	—	4	4	no	—
387	C₂×C₄	—	4	8	no	—
388	C₂×C₄	—	16	8	no	—
389	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
390	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
391	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
392	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
393	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
394	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
395	C₈	—	2	2	no	—
396	C₈	—	4	4	no	—
397	C₈	—	4	4	no	—
398	C₈	#532	1	2	yes	—
399	C₈	#532	1	2	yes	—
400	C₈	#550	1	4	yes	—
401	C₈	#550	1	4	yes	—
402	C₂²	—	2	2	no	—
403	C₂²	—	4	2	no	—
404	C₂²	—	4	4	no	—
405	C₂²	—	8	4	no	—
406	C₂²	—	8	8	no	—
407	C₂²	—	16	8	no	—
408	C₂²	C₂×D₄²	1	1	yes	characteristic
409	C₂²	#3508	1	2	yes	—
410	C₄	—	2	8	no	—
411	C₄	—	2	2	no	—
412	C₄	—	4	2	no	—
413	C₄	—	4	4	no	—
414	C₄	—	4	8	no	—
415	C₄	—	8	4	no	—
416	C₄	#3291	1	4	yes	—
417	C₄	C₂×#532	1	1	yes	characteristic
418	C₄	C₂×#550	1	2	yes	—
419	C₄	#3498	1	1	yes	characteristic
420	C₂	—	2	2	no	—
421	C₂	—	8	2	no	—
422	C₂	—	16	4	no	—
423	C₂	#36128	1	1	yes	characteristic
424	C₂	C₂×#3291	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂×D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #61410	C₂	semidirect
2. #60712	C₂	semidirect
3. #33300	C₂	semidirect
4. #33189	C₂	semidirect
5. #28764	C₂	semidirect
6. #28502	C₂	semidirect
7. #25589	C₂	semidirect
8. #25588	C₂	semidirect
9. #25431	C₂	semidirect
10. #23198	C₂	semidirect
11. #21732	C₂	semidirect
12. C₄×#443	C₂	semidirect
90. #500	D₄	semidirect
91. #499	D₄	semidirect
92. #498	D₄	semidirect
124. C₄×Q₁₆	D₄	semidirect
127. C₄×SD₁₆	D₄	semidirect
128. C₄×D₈	D₄	semidirect
273. C₄×C₈	#41	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#61410	2
#60712	2
#33300	2
#33189	2
#28764	2
#28502	2
#25589	2
#25588	2
#25431	2
#23198	2
#21732	2
C₄×#443	2