Subgroups — #6591005

Order 512.

1806 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 395 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#36559	C₂	1	2	yes	maximal
2	#33289	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#33198	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#28142	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#26302	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#25340	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#24971	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#24122	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#22705	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#22487	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	C₈×#127	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₄²×Q₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	C₂×#554	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×#477	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	4	yes	—
19	#2868	C₂²	1	2	yes	—
20	#2859	—	2	2	no	—
21	#2566	—	2	4	no	—
22	#2563	C₂²	1	4	yes	—
23	#2538	C₂²	1	4	yes	—
24	#2538	C₂²	1	4	yes	—
25	#2452	—	2	4	no	—
26	#2452	—	2	4	no	—
27	D₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
28	D₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
29	C₄×#127	—	2	2	no	—
30	C₄×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₄²×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
32	#2076	C₂²	1	8	yes	—
33	#2076	C₂²	1	4	yes	—
34	#2036	C₂²	1	8	yes	—
35	#2001	C₂²	1	4	yes	—
36	#1990	C₂²	1	4	yes	—
37	#1990	C₂²	1	4	yes	—
38	#1987	C₂²	1	4	yes	—
39	#1954	C₂²	1	4	yes	—
40	#1954	C₂²	1	2	yes	—
41	#1947	C₂²	1	4	yes	—
42	#1947	C₂²	1	4	yes	—
43	#1892	C₂²	1	8	yes	—
44	#1872	C₂²	1	8	yes	—
45	#1852	C₂²	1	8	yes	—
46	#1842	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	#1834	C₂²	1	2	yes	—
48	#1834	C₂²	1	2	yes	—
49	#1824	C₂²	1	8	yes	—
50	#1808	C₂²	1	4	yes	—
51	#1803	C₂²	1	4	yes	—
52	#1803	C₂²	1	4	yes	—
53	C₄×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
54	C₄×#107	C₂²	1	2	yes	—
55	C₄×#103	C₂²	1	2	yes	—
56	C₄×#103	C₂²	1	2	yes	—
57	C₄×#103	C₂²	1	2	yes	—
58	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
59	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
62	#554	—	2	16	no	—
63	#554	—	4	8	no	—
64	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
65	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂×#127	D₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂×#125	—	2	4	no	—
69	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
70	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	8	yes	—
71	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
75	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
76	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
77	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
78	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
80	#477	—	4	8	no	—
81	C₄×Q₁₆	—	2	8	no	—
82	C₄×Q₁₆	—	2	4	no	—
83	C₈×D₄	—	2	8	no	—
84	C₈×D₄	—	4	8	no	—
85	C₂×#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	—
88	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
89	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂×#103	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂×#103	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂×#103	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
94	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
95	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
96	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
99	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	#396	—	2	8	no	—
101	#396	—	2	8	no	—
102	#393	—	2	8	no	—
103	#390	—	2	4	no	—
104	#390	—	2	4	no	—
105	#390	—	2	4	no	—
106	#390	D₄	1	4	yes	—
107	#390	D₄	1	2	yes	—
108	#389	—	2	4	no	—
109	#389	—	2	4	no	—
110	#389	—	2	4	no	—
111	#389	—	2	4	no	—
112	#385	—	2	8	no	—
113	#385	—	2	8	no	—
114	#384	—	2	2	no	—
115	#384	—	2	2	no	—
116	#384	D₄	1	1	yes	characteristic
117	#384	C₂³	1	4	yes	—
118	#384	C₂³	1	4	yes	—
119	#382	—	2	4	no	—
120	#380	C₂³	1	8	yes	—
121	#380	C₂³	1	8	yes	—
122	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
123	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
124	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
125	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
126	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
127	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
128	C₄³	—	2	2	no	—
129	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
130	#340	C₂³	1	8	yes	—
131	#340	C₂³	1	8	yes	—
132	#340	C₂³	1	1	yes	characteristic
133	#340	C₂³	1	4	yes	—
134	#340	C₂³	1	2	yes	—
135	#340	C₂³	1	8	yes	—
136	#340	C₂³	1	4	yes	—
137	#340	C₂³	1	2	yes	—
138	#340	C₂³	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
140	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
141	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
142	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
143	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
144	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
145	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
146	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
147	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
148	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
149	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
150	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
151	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
152	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
153	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
154	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
155	C₄⋊Q₈	—	8	4	no	—
156	C₄⋊Q₈	—	8	4	no	—
157	#127	Q₁₆	1	8	yes	complemented
158	#125	—	4	16	no	—
159	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
160	C₂²⋊Q₈	—	4	32	no	—
161	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
162	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
163	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
164	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
165	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
166	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
167	C₄×Q₈	#41	1	8	yes	—
168	C₄×D₄	—	2	8	no	—
169	C₄×D₄	—	2	4	no	—
170	C₄×D₄	—	2	8	no	—
171	C₄×D₄	—	2	4	no	—
172	C₄×D₄	—	4	16	no	—
173	C₄×D₄	—	8	8	no	—
174	C₄×D₄	—	8	8	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
188	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
189	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
190	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
191	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
192	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
193	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
194	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
195	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
196	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
197	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
198	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
199	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
200	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
201	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
202	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
203	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
204	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
206	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
207	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
208	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
209	#107	—	2	2	no	—
210	#107	—	2	4	no	—
211	#107	—	4	8	no	—
212	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
213	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
214	#103	—	2	4	no	—
215	#103	—	2	4	no	—
216	#103	—	2	4	no	—
217	#103	—	4	8	no	—
218	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
219	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
220	C₄×C₈	—	2	4	no	—
221	C₄×C₈	—	2	4	no	—
222	C₄×C₈	—	2	2	no	—
223	C₄×C₈	#41	1	4	yes	—
224	#95	—	2	2	no	—
225	#95	—	2	2	no	—
226	#95	—	2	2	no	—
227	#95	—	2	8	no	—
228	#95	—	2	8	no	—
229	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
230	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
231	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
232	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
233	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
234	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
235	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
236	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
237	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
238	C₂×Q₈	C₂×#41	1	4	yes	—
239	C₂×D₄	—	2	8	no	—
240	C₂×D₄	—	2	4	no	—
241	C₂×D₄	—	2	4	no	—
242	C₂×D₄	—	2	8	no	—
243	C₂×D₄	C₂×Q₁₆	1	8	yes	—
244	C₂×D₄	C₂×Q₁₆	1	16	yes	—
245	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
255	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
256	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
257	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
259	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
260	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
262	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
263	Q₁₆	—	2	8	no	—
264	C₂×C₈	—	2	2	no	—
265	C₂×C₈	—	2	2	no	—
266	C₂×C₈	—	2	2	no	—
267	C₂×C₈	—	2	4	no	—
268	C₂×C₈	—	2	2	no	—
269	C₂×C₈	—	2	8	no	—
270	C₂×C₈	—	2	2	no	—
271	C₂×C₈	—	8	8	no	—
272	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
273	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
274	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
275	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
276	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
277	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
278	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
279	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
280	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
281	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
282	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
283	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
284	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
285	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
286	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
287	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
288	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
289	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
290	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
291	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
292	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
293	C₄⋊C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
294	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
295	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
299	C₄²	—	2	8	no	—
300	C₄²	—	2	2	no	—
301	C₄²	—	2	4	no	—
302	C₄²	—	4	4	no	—
303	C₄²	—	4	4	no	—
304	C₄²	—	4	4	no	—
305	C₄²	—	4	4	no	—
306	C₄²	—	4	4	no	—
307	C₄²	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
308	C₄²	C₂×#41	1	4	yes	—
309	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
310	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
311	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
312	C₂³	—	2	8	no	—
313	C₂³	—	2	4	no	—
314	C₂³	—	2	4	no	—
315	C₂³	—	2	8	no	—
316	C₂³	C₂²×Q₁₆	1	8	yes	—
317	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
318	Q₈	—	2	4	no	—
319	Q₈	—	2	4	no	—
320	Q₈	—	4	2	no	—
321	Q₈	—	4	2	no	—
322	Q₈	—	16	8	no	—
323	D₄	—	2	16	no	—
324	D₄	—	2	32	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	4	no	—
329	C₂×C₄	—	2	4	no	—
330	C₂×C₄	—	2	8	no	—
331	C₂×C₄	—	2	4	no	—
332	C₂×C₄	—	4	2	no	—
333	C₂×C₄	—	4	2	no	—
334	C₂×C₄	—	4	2	no	—
335	C₂×C₄	—	4	2	no	—
336	C₂×C₄	—	4	4	no	—
337	C₂×C₄	—	4	4	no	—
338	C₂×C₄	—	4	8	no	—
339	C₂×C₄	—	4	2	no	—
340	C₂×C₄	—	4	8	no	—
341	C₂×C₄	—	4	2	no	—
342	C₂×C₄	—	4	2	no	—
343	C₂×C₄	—	4	8	no	—
344	C₂×C₄	—	4	2	no	—
345	C₂×C₄	—	4	2	no	—
346	C₂×C₄	—	4	2	no	—
347	C₂×C₄	—	4	8	no	—
348	C₂×C₄	—	16	16	no	—
349	C₂×C₄	#546	1	4	yes	—
350	C₂×C₄	#546	1	4	yes	—
351	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
352	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
353	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	4	yes	—
355	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
356	C₂×C₄	#577	1	4	yes	—
357	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
358	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
360	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
361	C₈	—	2	2	no	—
362	C₈	—	2	2	no	—
363	C₈	—	4	4	no	—
364	C₈	—	4	2	no	—
365	C₂²	—	2	8	no	—
366	C₂²	—	2	16	no	—
367	C₂²	—	4	8	no	—
368	C₂²	—	4	4	no	—
369	C₂²	—	4	4	no	—
370	C₂²	C₂×#546	1	2	yes	—
371	C₂²	C₂×#547	1	1	yes	characteristic
372	C₂²	C₂³×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
373	C₂²	C₂×#576	1	1	yes	characteristic
374	C₂²	C₂×#577	1	2	yes	—
375	C₄	—	2	4	no	—
376	C₄	—	2	2	no	—
377	C₄	—	4	4	no	—
378	C₄	—	4	4	no	—
379	C₄	—	4	4	no	—
380	C₄	—	8	2	no	—
381	C₄	—	8	8	no	—
382	C₄	—	8	2	no	—
383	C₄	#3299	1	8	yes	—
384	C₄	#3338	1	4	yes	—
385	C₄	#3444	1	1	yes	characteristic
386	C₄	#3508	1	1	yes	characteristic
387	C₄	#3511	1	2	yes	—
388	C₂	—	4	8	no	—
389	C₂	#36149	1	1	yes	characteristic
390	C₂	C₂×#3299	1	2	yes	—
391	C₂	#61215	1	2	yes	—
392	C₂	C₂×#3338	1	1	yes	characteristic
393	C₂	#61288	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂×#127	D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×#127 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #33289	C₂	semidirect
3. #33198	C₂	semidirect
4. #28142	C₂	semidirect
5. #26302	C₂	semidirect
6. #25340	C₂	semidirect
7. #24971	C₂	semidirect
8. #24122	C₂	semidirect
9. #22705	C₂	semidirect
10. #22487	C₂	semidirect
12. C₄²×Q₁₆	C₂	semidirect
157. #127	Q₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#36559	2
#33289	2
#33198	2
#28142	2
#26302	2
#25340	2
#24971	2
#24122	2
#22705	2
#22487	2
C₈×#127	2
C₄²×Q₁₆	2