Subgroups — #6595371

Order 512.

1730 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 358 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#36211	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#33311	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#33171	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#29143	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#28225	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#27890	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#27790	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
8	#22810	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	C₄×#493	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#20817	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₄×C₈×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#499	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#466	C₂²	1	8	yes	—
15	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
18	#2859	C₂²	1	2	yes	—
19	#2856	C₂²	1	4	yes	—
20	#2535	C₂²	1	4	yes	—
21	#2513	—	2	4	no	—
22	#2490	C₂²	1	8	yes	—
23	#2420	—	2	4	no	—
24	#2414	—	2	4	no	—
25	#2363	—	2	4	no	—
26	#2357	C₂²	1	4	yes	—
27	C₄×#127	C₂²	1	2	yes	—
28	#2285	C₂²	1	4	yes	—
29	C₄²×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#2034	C₂²	1	16	yes	—
31	#2025	C₂²	1	8	yes	—
32	#1970	C₂²	1	8	yes	—
33	#1970	C₂²	1	4	yes	—
34	#1957	C₂²	1	4	yes	—
35	#1957	C₂²	1	2	yes	—
36	#1926	C₂²	1	16	yes	—
37	#1846	C₂²	1	4	yes	—
38	#1845	C₂²	1	2	yes	—
39	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#1844	C₂²	1	2	yes	—
41	#1834	C₂²	1	4	yes	—
42	#1808	C₂²	1	8	yes	—
43	#1804	C₂²	1	8	yes	—
44	C₄×#107	C₂²	1	8	yes	—
45	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
46	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
48	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
49	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×D₈	C₂³	1	4	yes	—
51	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
52	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂×#125	C₂³	1	4	yes	—
54	C₂×#121	—	2	4	no	—
55	C₂×#121	—	2	4	no	—
56	C₂×#121	C₂³	1	8	yes	—
57	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
58	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
59	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
60	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂×#117	—	2	4	no	—
62	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
63	#499	—	4	8	no	—
64	#493	—	2	4	no	—
65	#466	—	4	16	no	—
66	C₄×D₈	—	2	16	no	—
67	C₈×D₄	—	2	8	no	—
68	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
69	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	—
70	C₂×#106	C₂³	1	8	yes	—
71	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
73	C₂×#102	C₂³	1	16	yes	—
74	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
75	C₂×C₄×C₈	—	2	8	no	—
76	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
79	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
82	#397	—	2	4	no	—
83	#397	—	2	8	no	—
84	#394	—	2	8	no	—
85	#392	—	2	4	no	—
86	#390	—	2	8	no	—
87	#390	—	2	4	no	—
88	#390	—	2	4	no	—
89	#390	—	2	4	no	—
90	#390	C₂³	1	4	yes	—
91	#390	C₂³	1	8	yes	—
92	#389	—	2	4	no	—
93	#389	—	2	4	no	—
94	#388	—	2	8	no	—
95	#388	—	2	8	no	—
96	#386	—	2	8	no	—
97	#384	C₂³	1	2	yes	—
98	#384	C₂³	1	4	yes	—
99	#382	—	2	4	no	—
100	#382	C₂³	1	4	yes	—
101	#381	—	2	4	no	—
102	#380	—	2	4	no	—
103	#380	C₂³	1	8	yes	—
104	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
105	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
106	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
107	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
108	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
109	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
110	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
111	C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
112	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
113	#340	C₂³	1	16	yes	—
114	#336	C₂³	1	4	yes	—
115	#336	C₂³	1	2	yes	—
116	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
118	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
120	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
121	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
122	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
123	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
124	C₂×D₈	—	2	8	no	—
125	C₂×D₈	—	2	8	no	—
126	C₂×D₈	—	2	8	no	—
127	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
128	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
130	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
131	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
132	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
133	#127	—	2	4	no	—
134	#127	—	2	4	no	—
135	#125	—	4	8	no	—
136	#121	—	4	16	no	—
137	#121	—	4	16	no	—
138	#121	—	8	8	no	—
139	C₄×D₄	—	2	8	no	—
140	C₄×D₄	—	2	4	no	—
141	C₄×D₄	—	2	16	no	—
142	C₄×D₄	—	8	8	no	—
143	#117	—	8	8	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
151	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
154	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
155	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
161	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
162	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
163	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
164	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
165	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
166	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
167	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
168	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
169	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
170	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
171	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
172	#107	—	2	8	no	—
173	#107	—	2	16	no	—
174	#106	—	4	8	no	—
175	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
176	#102	—	2	16	no	—
177	#102	—	4	16	no	—
178	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
179	C₄×C₈	—	2	8	no	—
180	C₄×C₈	—	2	4	no	—
181	C₄×C₈	—	2	4	no	—
182	C₄×C₈	—	2	2	no	—
183	C₄×C₈	#41	1	4	yes	—
184	C₄×C₈	#41	1	8	yes	—
185	#95	—	2	4	no	—
186	#95	—	2	8	no	—
187	#95	—	2	8	no	—
188	#95	—	2	4	no	—
189	#95	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
190	#95	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
191	#95	C₂×D₄	1	2	yes	—
192	#95	C₂×D₄	1	2	yes	—
193	C₂⁴	—	2	4	no	—
194	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
195	C₂×D₄	—	2	4	no	—
196	C₂×D₄	—	2	2	no	—
197	C₂×D₄	—	2	8	no	—
198	C₂×D₄	—	2	4	no	—
199	C₂×D₄	—	2	8	no	—
200	C₂×D₄	—	2	4	no	—
201	C₂×D₄	—	4	16	no	—
202	C₂×D₄	—	4	8	no	—
203	C₂×D₄	—	4	8	no	—
204	C₂×D₄	—	4	8	no	—
205	C₂×D₄	—	8	8	no	—
206	C₂×D₄	—	8	8	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
219	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
220	C₂²×C₄	#135	1	8	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
229	D₈	—	4	16	no	—
230	C₂×C₈	—	2	2	no	—
231	C₂×C₈	—	2	2	no	—
232	C₂×C₈	—	2	4	no	—
233	C₂×C₈	—	2	4	no	—
234	C₂×C₈	—	2	4	no	—
235	C₂×C₈	—	4	16	no	—
236	C₂×C₈	C₂×#41	1	4	yes	—
237	C₂×C₈	C₂×#41	1	4	yes	—
238	C₂×C₈	C₂×#41	1	4	yes	—
239	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
240	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
241	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
242	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
243	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
244	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
245	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
246	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
247	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
257	C₄²	—	2	4	no	—
258	C₄²	—	2	4	no	—
259	C₄²	—	2	4	no	—
260	C₄²	—	2	4	no	—
261	C₄²	—	2	2	no	—
262	C₄²	—	2	2	no	—
263	C₄²	—	2	2	no	—
264	C₄²	—	8	8	no	—
265	C₄²	C₂×#41	1	4	yes	—
266	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
267	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
268	C₂³	—	2	2	no	—
269	C₂³	—	2	2	no	—
270	C₂³	—	2	2	no	—
271	C₂³	—	2	2	no	—
272	C₂³	—	2	2	no	—
273	C₂³	—	2	2	no	—
274	C₂³	—	4	4	no	—
275	C₂³	—	4	4	no	—
276	C₂³	—	4	4	no	—
277	C₂³	—	4	8	no	—
278	C₂³	—	4	8	no	—
279	C₂³	C₂×#135	1	4	yes	—
280	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
281	D₄	—	2	8	no	—
282	D₄	—	4	8	no	—
283	D₄	—	4	8	no	—
284	D₄	—	8	16	no	—
285	D₄	—	16	16	no	—
286	C₂×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂×C₄	—	2	16	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	4	8	no	—
301	C₂×C₄	—	4	4	no	—
302	C₂×C₄	—	4	4	no	—
303	C₂×C₄	—	4	4	no	—
304	C₂×C₄	—	4	8	no	—
305	C₂×C₄	—	4	8	no	—
306	C₂×C₄	—	4	8	no	—
307	C₂×C₄	—	4	8	no	—
308	C₂×C₄	—	16	8	no	—
309	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	#547	1	4	yes	—
312	C₂×C₄	C₂×#135	1	4	yes	—
313	C₂×C₄	C₂×#135	1	4	yes	—
314	C₂×C₄	#576	1	4	yes	—
315	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
319	C₈	—	2	4	no	—
320	C₈	—	4	4	no	—
321	C₈	#555	1	8	yes	—
322	C₂²	—	2	4	no	—
323	C₂²	—	2	4	no	—
324	C₂²	—	2	4	no	—
325	C₂²	—	4	2	no	—
326	C₂²	—	4	2	no	—
327	C₂²	—	4	2	no	—
328	C₂²	—	4	2	no	—
329	C₂²	—	8	4	no	—
330	C₂²	—	8	4	no	—
331	C₂²	—	8	8	no	—
332	C₂²	—	8	4	no	—
333	C₂²	—	8	8	no	—
334	C₂²	C₂×#532	1	1	yes	characteristic
335	C₂²	C₂×#547	1	1	yes	characteristic
336	C₂²	#3498	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	C₂²×#135	1	2	yes	—
338	C₂²	C₂×#576	1	2	yes	—
339	C₄	—	2	2	no	—
340	C₄	—	2	2	no	—
341	C₄	—	2	4	no	—
342	C₄	—	4	2	no	—
343	C₄	—	4	2	no	—
344	C₄	—	4	2	no	—
345	C₄	—	8	4	no	—
346	C₄	—	8	8	no	—
347	C₄	#3339	1	8	yes	—
348	C₄	C₂×#555	1	2	yes	—
349	C₄	#3511	1	2	yes	—
350	C₂	—	4	4	no	—
351	C₂	—	16	4	no	—
352	C₂	#36187	1	1	yes	characteristic
353	C₂	#60673	1	1	yes	characteristic
354	C₂	#60714	1	1	yes	characteristic
355	C₂	C₂×#3339	1	2	yes	—
356	C₂	#62417	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄²×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #36211	C₂	semidirect
2. #33311	C₂	semidirect
3. #33171	C₂	semidirect
4. #29143	C₂	semidirect
5. #28225	C₂	semidirect
6. #27890	C₂	semidirect
7. #27790	C₂	semidirect
8. #22810	C₂	semidirect
9. C₄×#493	C₂	semidirect
10. #20817	C₂	semidirect
11. C₄×C₈×D₄	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#36211	2
#33311	2
#33171	2
#29143	2
#28225	2
#27890	2
#27790	2
#22810	2
C₄×#493	2
#20817	2
C₄×C₈×D₄	2