Subgroups — #6621045

Order 512.

2133 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 427 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3362	C₂	1	2	yes	maximal
2	Q₈×C₄⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₄×#550	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#33197	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
5	#28716	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
6	#28252	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
7	#25322	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
8	#24680	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
9	Q₈×C₄⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	Q₈×#103	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₄×#461	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
12	C₂×Q₈²	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#550	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₄×#41	—	2	1	no	—
15	#3362	—	2	16	no	—
16	C₂×#486	C₂²	1	6	yes	—
17	C₂×#476	C₂²	1	6	yes	—
18	C₂×#460	C₂²	1	6	yes	—
19	C₂×#461	C₂²	1	3	yes	—
20	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₄×SD₁₆	C₂²	1	6	yes	—
22	#2868	C₂²	1	3	yes	—
23	#2567	C₂²	1	6	yes	—
24	#2551	—	2	3	no	—
25	#2551	—	2	3	no	—
26	#2366	C₂²	1	3	yes	—
27	#2363	—	2	3	no	—
28	#2354	C₂²	1	3	yes	—
29	Q₈×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
30	Q₈×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
31	Q₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#2341	—	2	1	no	—
33	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	3	yes	—
34	C₄×#127	C₂²	1	3	yes	—
35	C₄×#121	—	2	3	no	—
36	C₄²×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₄²×D₄	C₂²	1	3	yes	—
38	#2071	C₂²	1	12	yes	—
39	#2055	C₂²	1	12	yes	—
40	#1990	C₂²	1	6	yes	—
41	#1987	C₂²	1	6	yes	—
42	#1981	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	#1948	C₂²	1	6	yes	—
44	#1948	C₂²	1	3	yes	—
45	#1939	C₂²	1	6	yes	—
46	#1927	C₂²	1	6	yes	—
47	#1877	C₂²	1	6	yes	—
48	#1842	C₂²	1	3	yes	—
49	#1803	C₂²	1	6	yes	—
50	#1802	C₂²	1	3	yes	—
51	#1802	C₂²	1	6	yes	—
52	#1802	C₂²	1	6	yes	—
53	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	3	yes	—
54	C₄×#103	C₂²	1	6	yes	—
55	C₂²×#41	—	2	1	no	—
56	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	6	yes	—
57	Q₈²	—	2	8	no	—
58	Q₈²	—	2	8	no	—
59	#550	—	2	4	no	—
60	#550	D₄	1	8	yes	—
61	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	6	no	—
62	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	3	no	—
63	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	3	no	—
64	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	6	yes	—
66	C₂×#127	C₂³	1	3	yes	—
67	C₂×#121	—	2	3	no	—
68	C₄×#41	—	4	8	no	—
69	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
70	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
71	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	6	yes	—
74	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄×D₄	—	2	3	no	—
76	C₂×C₄×D₄	—	2	3	no	—
77	C₂×C₄×D₄	—	2	3	no	—
78	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	3	yes	—
79	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	3	yes	—
80	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	3	yes	—
81	C₂×#117	—	2	3	no	—
82	C₂²×C₄²	—	2	3	no	—
83	#486	—	2	24	no	—
84	#476	—	2	24	no	—
85	#461	—	2	12	no	—
86	#460	—	2	24	no	—
87	C₈×Q₈	—	2	8	no	—
88	C₄×SD₁₆	—	2	24	no	—
89	C₂×#106	C₂³	1	6	yes	—
90	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
92	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	6	yes	—
93	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	6	yes	—
94	C₂×#103	C₂³	1	6	yes	—
95	C₂×#103	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂×#103	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂×#102	C₂³	1	12	yes	—
98	C₂×#102	C₂³	1	6	yes	—
99	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	6	yes	—
100	#395	—	2	12	no	—
101	#391	C₂³	1	6	yes	—
102	#390	—	2	3	no	—
103	#390	—	2	3	no	—
104	#390	—	2	3	no	—
105	#390	C₂³	1	6	yes	—
106	#389	—	2	6	no	—
107	#389	—	2	6	no	—
108	#389	—	2	3	no	—
109	#389	—	2	3	no	—
110	#389	—	2	3	no	—
111	#388	—	2	6	no	—
112	#386	—	2	6	no	—
113	#384	—	2	3	no	—
114	#384	—	2	3	no	—
115	#384	C₂³	1	3	yes	—
116	#384	C₂³	1	3	yes	—
117	#384	C₂³	1	6	yes	—
118	#380	—	2	3	no	—
119	C₄×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
120	C₄×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
121	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	3	yes	—
122	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	3	yes	—
123	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
124	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
125	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
126	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
127	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
128	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
129	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
130	C₄³	C₂³	1	3	yes	—
131	#340	C₂³	1	12	yes	—
132	#340	C₂³	1	6	yes	—
133	#340	C₂³	1	6	yes	—
134	#336	C₂³	1	6	yes	—
135	C₂×#41	—	2	8	no	—
136	C₂×#41	—	4	4	no	—
137	C₂×#41	—	4	4	no	—
138	C₂²×Q₈	—	2	6	no	—
139	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
141	C₂²×D₄	—	2	3	no	—
142	C₂²×D₄	—	2	3	no	—
143	C₂²×D₄	C₂⁴	1	3	yes	—
144	C₂³×C₄	—	2	3	no	—
145	C₂³×C₄	—	2	3	no	—
146	C₂³×C₄	—	2	3	no	—
147	C₂×SD₁₆	—	2	12	no	—
148	C₂×SD₁₆	—	2	12	no	—
149	C₂×SD₁₆	—	4	6	no	—
150	C₂²×C₈	C₂⁴	1	6	yes	—
151	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
152	C₄⋊Q₈	—	2	12	no	—
153	C₄⋊Q₈	—	2	12	no	—
154	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
155	C₄⋊Q₈	—	4	24	no	—
156	C₄⋊Q₈	—	8	6	no	—
157	C₄⋊Q₈	—	8	6	no	—
158	C₄⋊Q₈	#41	1	4	yes	complemented
159	#127	—	2	6	no	—
160	#127	C₂×D₄	1	12	yes	—
161	#121	—	2	24	no	—
162	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
163	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
164	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
165	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
166	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
167	C₄×Q₈	SD₁₆	1	8	yes	complemented
168	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
169	C₄×Q₈	#41	1	4	yes	—
170	C₄×D₄	—	2	6	no	—
171	C₄×D₄	—	2	6	no	—
172	C₄×D₄	—	2	6	no	—
173	C₄×D₄	—	2	6	no	—
174	C₄×D₄	—	4	3	no	—
175	C₄×D₄	—	4	12	no	—
176	C₄×D₄	—	4	12	no	—
177	C₄×D₄	—	8	6	no	—
178	C₄×D₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
179	#117	—	4	12	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
191	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
192	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
193	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
194	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
195	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
196	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
197	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
198	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
199	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
200	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
201	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
202	C₂×C₄²	—	2	3	no	—
203	C₂×C₄²	—	2	3	no	—
204	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
205	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
206	C₂×C₄²	—	4	12	no	—
207	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
208	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
209	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
210	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
211	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
212	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
213	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
214	#106	—	2	12	no	—
215	C₄⋊C₈	—	2	12	no	—
216	C₄⋊C₈	—	2	6	no	—
217	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
218	C₄⋊C₈	—	4	6	no	—
219	#103	—	2	12	no	—
220	#103	—	2	4	no	—
221	#103	—	2	4	no	—
222	#102	—	2	12	no	—
223	#102	—	2	24	no	—
224	C₄×C₈	—	2	12	no	—
225	#95	—	2	1	no	—
226	#95	—	2	3	no	—
227	#95	—	2	3	no	—
228	#95	—	2	6	no	—
229	#95	—	2	6	no	—
230	#95	C₂×D₄	1	6	yes	—
231	C₂⁴	—	2	3	no	—
232	#41	—	4	32	no	—
233	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
234	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
235	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
236	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
237	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
238	C₂×Q₈	—	4	12	no	—
239	C₂×Q₈	—	8	6	no	—
240	C₂×Q₈	—	8	6	no	—
241	C₂×Q₈	#121	1	4	yes	—
242	C₂×Q₈	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
243	C₂×Q₈	#137	1	4	yes	—
244	C₂×Q₈	C₂×#41	1	4	yes	—
245	C₂×D₄	—	2	12	no	—
246	C₂×D₄	—	2	12	no	—
247	C₂×D₄	—	2	3	no	—
248	C₂×D₄	—	2	3	no	—
249	C₂×D₄	—	2	3	no	—
250	C₂×D₄	—	2	3	no	—
251	C₂×D₄	—	2	3	no	—
252	C₂×D₄	—	4	6	no	—
253	C₂×D₄	—	4	6	no	—
254	C₂×D₄	—	8	3	no	—
255	C₂×D₄	—	8	3	no	—
256	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
257	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
260	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
261	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
262	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
263	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
264	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
265	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
266	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
267	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
268	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
269	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
270	C₂²×C₄	—	8	3	no	—
271	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
272	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
273	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
274	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
275	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
276	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
277	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
278	SD₁₆	—	4	24	no	—
279	C₂×C₈	—	2	2	no	—
280	C₂×C₈	—	2	6	no	—
281	C₂×C₈	—	2	6	no	—
282	C₂×C₈	—	2	2	no	—
283	C₂×C₈	—	2	2	no	—
284	C₂×C₈	—	2	6	no	—
285	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
286	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
287	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
288	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
293	C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
294	C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
295	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
296	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
297	C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
298	C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
299	C₄⋊C₄	—	8	3	no	—
300	C₄⋊C₄	—	8	6	no	—
301	C₄⋊C₄	—	8	6	no	—
302	C₄⋊C₄	#121	1	12	yes	—
303	C₄⋊C₄	C₂×SD₁₆	1	12	yes	—
304	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
305	C₄⋊C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
306	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	4	6	no	—
308	C₂²⋊C₄	—	4	6	no	—
309	C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
310	C₂²⋊C₄	—	8	6	no	—
311	C₄²	—	2	6	no	—
312	C₄²	—	2	6	no	—
313	C₄²	—	2	3	no	—
314	C₄²	—	2	3	no	—
315	C₄²	—	4	3	no	—
316	C₄²	—	4	12	no	—
317	C₄²	—	4	2	no	—
318	C₄²	—	4	6	no	—
319	C₄²	—	4	6	no	—
320	C₄²	C₂×SD₁₆	1	12	yes	—
321	C₄²	C₂²×D₄	1	6	yes	—
322	C₄²	C₂×#41	1	6	yes	—
323	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
324	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
325	C₂³	—	2	6	no	—
326	C₂³	—	4	3	no	—
327	C₂³	—	4	3	no	—
328	C₂³	—	4	3	no	—
329	C₂³	—	4	3	no	—
330	C₂³	—	4	3	no	—
331	C₂³	—	4	3	no	—
332	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
333	Q₈	—	2	4	no	—
334	Q₈	—	2	4	no	—
335	Q₈	—	4	2	no	—
336	Q₈	—	4	2	no	—
337	Q₈	—	16	12	no	—
338	Q₈	#461	1	16	yes	complemented
339	D₄	—	2	6	no	—
340	D₄	—	2	6	no	—
341	D₄	—	4	3	no	—
342	D₄	—	4	3	no	—
343	D₄	—	4	24	no	—
344	D₄	—	8	12	no	—
345	C₂×C₄	—	2	1	no	—
346	C₂×C₄	—	2	3	no	—
347	C₂×C₄	—	2	3	no	—
348	C₂×C₄	—	2	3	no	—
349	C₂×C₄	—	2	1	no	—
350	C₂×C₄	—	2	3	no	—
351	C₂×C₄	—	2	2	no	—
352	C₂×C₄	—	2	4	no	—
353	C₂×C₄	—	2	3	no	—
354	C₂×C₄	—	2	2	no	—
355	C₂×C₄	—	2	3	no	—
356	C₂×C₄	—	2	3	no	—
357	C₂×C₄	—	4	1	no	—
358	C₂×C₄	—	4	2	no	—
359	C₂×C₄	—	4	2	no	—
360	C₂×C₄	—	4	1	no	—
361	C₂×C₄	—	4	1	no	—
362	C₂×C₄	—	4	1	no	—
363	C₂×C₄	—	4	24	no	—
364	C₂×C₄	—	4	6	no	—
365	C₂×C₄	—	4	6	no	—
366	C₂×C₄	—	4	3	no	—
367	C₂×C₄	—	4	3	no	—
368	C₂×C₄	—	4	3	no	—
369	C₂×C₄	—	4	6	no	—
370	C₂×C₄	—	8	12	no	—
371	C₂×C₄	—	8	12	no	—
372	C₂×C₄	C₂×#121	1	6	yes	—
373	C₂×C₄	C₂×#121	1	6	yes	—
374	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
375	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
376	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	6	yes	—
377	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	2	yes	—
378	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	6	yes	—
379	C₂×C₄	C₂×#137	1	6	yes	—
380	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
381	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
382	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
383	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
384	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
385	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
386	C₂×C₄	#585	1	1	yes	characteristic
387	C₈	—	4	6	no	—
388	C₈	—	4	2	no	—
389	C₂²	—	4	6	no	—
390	C₂²	—	4	6	no	—
391	C₂²	—	4	6	no	—
392	C₂²	—	8	3	no	—
393	C₂²	—	8	3	no	—
394	C₂²	—	8	3	no	—
395	C₂²	—	8	3	no	—
396	C₂²	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
397	C₂²	C₂×#548	1	1	yes	characteristic
398	C₂²	#3489	1	1	yes	characteristic
399	C₂²	C₂³×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
400	C₂²	C₂²×#137	1	1	yes	characteristic
401	C₂²	C₂×#576	1	1	yes	characteristic
402	C₂²	#3585	1	1	yes	characteristic
403	C₄	—	2	6	no	—
404	C₄	—	2	2	no	—
405	C₄	—	2	6	no	—
406	C₄	—	4	4	no	—
407	C₄	—	4	2	no	—
408	C₄	—	4	3	no	—
409	C₄	—	4	2	no	—
410	C₄	—	8	6	no	—
411	C₄	—	8	3	no	—
412	C₄	C₂×#461	1	12	yes	—
413	C₄	#3362	1	4	yes	complemented
414	C₄	D₄×#41	1	1	yes	characteristic
415	C₄	#3482	1	1	yes	characteristic
416	C₄	#3499	1	1	yes	characteristic
417	C₄	#3518	1	1	yes	characteristic
418	C₂	—	8	6	no	—
419	C₂	#36444	1	1	yes	characteristic
420	C₂	C₂²×#461	1	1	yes	characteristic
421	C₂	#60428	1	1	yes	characteristic
422	C₂	C₂×#3362	1	1	yes	characteristic
423	C₂	#61319	1	1	yes	characteristic
424	C₂	#62096	1	1	yes	characteristic
425	C₂	#62149	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂×#550	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄²×Q₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. Q₈×C₄⋊Q₈	C₂	semidirect
4. #33197	C₂	semidirect
5. #28716	C₂	semidirect
6. #28252	C₂	semidirect
7. #25322	C₂	semidirect
8. #24680	C₂	semidirect
9. Q₈×C₄⋊C₈	C₂	semidirect
10. Q₈×#103	C₂	semidirect
11. C₄×#461	C₂	semidirect
158. C₄⋊Q₈	#41	semidirect
167. C₄×Q₈	SD₁₆	semidirect
338. Q₈	#461	semidirect
413. C₄	#3362	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3362	2
Q₈×C₄⋊Q₈	2
C₄×#550	2
#33197	2
#28716	2
#28252	2
#25322	2
#24680	2
Q₈×C₄⋊C₈	2
Q₈×#103	2
C₄×#461	2