Subgroups — #6621372

Order 512.

1990 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 368 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3395	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#2971	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#36445	C₂	1	2	yes	maximal
4	#33176	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
5	#28489	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
6	#28232	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
7	#25394	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
8	#24660	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
9	Q₈×#106	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#22542	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₄×#470	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
12	C₂×#557	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#3395	—	2	8	no	—
15	C₂×#494	C₂²	1	3	yes	—
16	C₂×#470	C₂²	1	3	yes	—
17	C₂×#470	C₂²	1	6	yes	—
18	C₂×#470	C₂²	1	6	yes	—
19	C₂×#462	C₂²	1	6	yes	—
20	#2971	—	2	8	no	—
21	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	3	yes	—
24	C₂×#436	C₂²	1	3	yes	—
25	C₂×#436	C₂²	1	3	yes	—
26	C₂×#432	C₂²	1	3	yes	—
27	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	3	yes	—
28	#2857	C₂²	1	6	yes	—
29	#2542	C₂²	1	6	yes	—
30	#2538	C₂²	1	6	yes	—
31	#2454	—	2	6	no	—
32	#2441	—	2	6	no	—
33	Q₈×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
34	Q₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
35	#2341	—	2	2	no	—
36	C₄×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	6	yes	—
37	#2035	C₂²	1	12	yes	—
38	#2001	C₂²	1	12	yes	—
39	#1981	C₂²	1	6	yes	—
40	#1971	C₂²	1	3	yes	—
41	#1971	C₂²	1	6	yes	—
42	#1956	C₂²	1	6	yes	—
43	#1948	C₂²	1	6	yes	—
44	#1944	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	#1935	C₂²	1	6	yes	—
46	#1894	C₂²	1	6	yes	—
47	#1844	C₂²	1	3	yes	—
48	#1809	C₂²	1	3	yes	—
49	#1803	C₂²	1	6	yes	—
50	C₄×#106	C₂²	1	3	yes	—
51	C₄×#103	C₂²	1	6	yes	—
52	C₂²×#41	D₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	3	yes	—
54	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	6	yes	—
55	C₂²×M₁₆	C₂³	1	3	yes	—
56	C₂²×M₁₆	C₂³	1	3	yes	—
57	#557	—	2	8	no	—
58	#557	—	2	8	no	—
59	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	6	yes	—
60	C₂×#125	—	2	6	no	—
61	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	6	yes	—
62	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	12	yes	—
63	C₄×#41	—	2	4	no	—
64	C₄×#41	—	2	4	no	—
65	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
67	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	6	yes	—
69	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₄×D₄	D₄	1	3	yes	—
71	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	3	yes	—
72	C₂×#117	D₄	1	3	yes	—
73	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
74	#494	—	2	12	no	—
75	#470	—	2	12	no	—
76	#470	—	4	12	no	—
77	#470	—	4	12	no	—
78	#462	—	2	24	no	—
79	C₈×Q₈	—	2	4	no	—
80	C₈×Q₈	D₄	1	8	yes	—
81	C₄×Q₁₆	—	2	12	no	—
82	#436	—	2	12	no	—
83	#436	—	2	12	no	—
84	#432	—	2	12	no	—
85	C₂×#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂×#106	C₂³	1	3	yes	—
87	C₂×#106	C₂³	1	6	yes	—
88	C₂×#106	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
90	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
91	C₂×#103	C₂³	1	6	yes	—
92	C₂×#103	C₂³	1	6	yes	—
93	C₂×#103	C₂³	1	6	yes	—
94	C₂×#103	C₂³	1	12	yes	—
95	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	6	yes	—
96	C₄×M₁₆	—	2	12	no	—
97	C₂×#97	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂×#97	C₂³	1	3	yes	—
99	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	3	yes	—
100	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	3	yes	—
101	#399	—	2	12	no	—
102	#396	—	2	12	no	—
103	#391	C₂³	1	6	yes	—
104	#390	—	2	6	no	—
105	#390	—	2	6	no	—
106	#389	—	2	6	no	—
107	#389	—	2	6	no	—
108	#389	—	2	6	no	—
109	#389	—	2	6	no	—
110	#389	C₂³	1	2	yes	—
111	#387	—	2	6	no	—
112	#385	—	2	6	no	—
113	#384	—	2	6	no	—
114	#384	C₂³	1	6	yes	—
115	#380	—	2	6	no	—
116	#380	—	2	6	no	—
117	#380	C₂³	1	6	yes	—
118	C₄×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
119	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
120	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
121	#340	C₂³	1	6	yes	—
122	#340	C₂³	1	2	yes	—
123	#340	C₂³	1	6	yes	—
124	C₂×#41	—	2	4	no	—
125	C₂×#41	—	2	8	no	—
126	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	6	yes	—
128	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
129	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
130	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
131	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
132	C₂×Q₁₆	—	2	6	no	—
133	C₂×Q₁₆	—	2	12	no	—
134	C₂×Q₁₆	—	2	6	no	—
135	C₂×Q₁₆	—	2	6	no	—
136	C₂×Q₁₆	—	4	6	no	—
137	C₂×Q₁₆	—	4	6	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	6	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	6	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	6	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	6	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	6	no	—
143	C₂×M₁₆	—	4	3	no	—
144	C₂²×C₈	C₂⁴	1	3	yes	—
145	C₂²×C₈	C₂⁴	1	3	yes	—
146	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
147	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
148	C₄⋊Q₈	—	2	12	no	—
149	C₄⋊Q₈	—	2	12	no	—
150	#125	—	4	24	no	—
151	C₂²⋊Q₈	—	2	12	no	—
152	C₂²⋊Q₈	—	4	6	no	—
153	C₂²⋊Q₈	—	4	12	no	—
154	C₂²⋊Q₈	—	4	12	no	—
155	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
156	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
157	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
158	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
159	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
160	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
161	C₄×Q₈	#41	1	4	yes	—
162	C₄×D₄	—	2	12	no	—
163	C₄×D₄	—	2	6	no	—
164	C₄×D₄	—	2	6	no	—
165	#117	—	2	12	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
175	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
176	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
177	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
178	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
183	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
184	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
185	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
186	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
187	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
188	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
189	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
191	#107	—	2	2	no	—
192	#106	—	2	6	no	—
193	#106	—	4	6	no	—
194	#106	#41	1	4	yes	complemented
195	C₄⋊C₈	—	2	6	no	—
196	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	12	yes	—
197	#103	—	2	12	no	—
198	#103	—	2	12	no	—
199	#103	—	2	12	no	—
200	#103	—	4	12	no	—
201	C₂²⋊C₈	—	2	12	no	—
202	#97	—	2	2	no	—
203	#97	—	2	6	no	—
204	C₄×C₈	—	2	6	no	—
205	C₄×C₈	C₂×D₄	1	12	yes	—
206	#95	—	2	2	no	—
207	#95	—	2	6	no	—
208	#95	—	2	6	no	—
209	#95	—	2	6	no	—
210	#95	—	2	6	no	—
211	C₂⁴	C₂²×D₄	1	3	yes	—
212	#41	—	4	16	no	—
213	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
214	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
215	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
216	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
217	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
218	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
219	C₂×Q₈	#121	1	4	yes	—
220	C₂×Q₈	#137	1	8	yes	—
221	C₂×D₄	—	2	6	no	—
222	C₂×D₄	—	2	12	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
237	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
243	Q₁₆	—	4	12	no	—
244	Q₁₆	—	8	12	no	—
245	M₁₆	—	4	12	no	—
246	M₁₆	—	4	12	no	—
247	C₂×C₈	—	2	1	no	—
248	C₂×C₈	—	2	3	no	—
249	C₂×C₈	—	2	1	no	—
250	C₂×C₈	—	2	3	no	—
251	C₂×C₈	—	2	3	no	—
252	C₂×C₈	—	2	3	no	—
253	C₂×C₈	—	2	3	no	—
254	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	6	yes	—
255	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
256	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
257	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
258	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
259	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
260	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
261	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
262	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
263	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
264	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
265	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
266	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
267	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
268	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
269	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
270	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
271	C₄⋊C₄	—	8	6	no	—
272	C₄⋊C₄	—	8	12	no	—
273	C₄⋊C₄	#121	1	12	yes	—
274	C₄⋊C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
275	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	8	6	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	8	12	no	—
279	C₄²	—	2	6	no	—
280	C₄²	—	2	6	no	—
281	C₄²	—	2	1	no	—
282	C₄²	—	2	1	no	—
283	C₄²	—	4	12	no	—
284	C₄²	—	4	12	no	—
285	C₄²	C₂²×D₄	1	6	yes	—
286	C₄²	C₂×#41	1	6	yes	—
287	C₂³	—	2	6	no	—
288	C₂³	—	2	3	no	—
289	C₂³	—	2	3	no	—
290	C₂³	—	2	3	no	—
291	C₂³	—	2	6	no	—
292	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
293	Q₈	—	4	6	no	—
294	Q₈	—	4	6	no	—
295	Q₈	—	4	6	no	—
296	Q₈	—	4	6	no	—
297	Q₈	#470	1	16	yes	complemented
298	D₄	—	4	12	no	—
299	C₂×C₄	—	2	6	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	1	no	—
302	C₂×C₄	—	2	1	no	—
303	C₂×C₄	—	2	3	no	—
304	C₂×C₄	—	2	4	no	—
305	C₂×C₄	—	2	3	no	—
306	C₂×C₄	—	2	3	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	4	2	no	—
309	C₂×C₄	—	4	2	no	—
310	C₂×C₄	—	4	3	no	—
311	C₂×C₄	—	4	3	no	—
312	C₂×C₄	—	4	3	no	—
313	C₂×C₄	—	4	3	no	—
314	C₂×C₄	—	4	12	no	—
315	C₂×C₄	—	4	2	no	—
316	C₂×C₄	—	4	6	no	—
317	C₂×C₄	—	4	2	no	—
318	C₂×C₄	—	4	2	no	—
319	C₂×C₄	—	4	6	no	—
320	C₂×C₄	—	4	6	no	—
321	C₂×C₄	—	4	6	no	—
322	C₂×C₄	—	4	6	no	—
323	C₂×C₄	—	4	6	no	—
324	C₂×C₄	—	8	6	no	—
325	C₂×C₄	C₂×#121	1	6	yes	—
326	C₂×C₄	C₂×#121	1	6	yes	—
327	C₂×C₄	C₂×#137	1	12	yes	—
328	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	#585	1	1	yes	characteristic
334	C₈	—	2	6	no	—
335	C₈	—	2	2	no	—
336	C₈	—	4	3	no	—
337	C₈	#550	1	4	yes	—
338	C₂²	—	4	3	no	—
339	C₂²	—	4	6	no	—
340	C₂²	—	4	3	no	—
341	C₂²	—	4	3	no	—
342	C₂²	—	4	6	no	—
343	C₂²	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
344	C₂²	D₄×#41	1	1	yes	characteristic
345	C₂²	#3498	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	C₂²×#137	1	2	yes	—
347	C₂²	#3586	1	2	yes	—
348	C₄	—	2	6	no	—
349	C₄	—	4	1	no	—
350	C₄	—	4	4	no	—
351	C₄	—	4	1	no	—
352	C₄	—	4	3	no	—
353	C₄	—	8	2	no	—
354	C₄	—	8	6	no	—
355	C₄	—	8	6	no	—
356	C₄	C₂×#470	1	12	yes	—
357	C₄	C₂×#550	1	1	yes	characteristic
358	C₄	#3483	1	1	yes	characteristic
359	C₄	#3488	1	1	yes	characteristic
360	C₄	#3517	1	1	yes	characteristic
361	C₂	—	8	3	no	—
362	C₂	#36455	1	1	yes	characteristic
363	C₂	C₂²×#470	1	1	yes	characteristic
364	C₂	#60462	1	1	yes	characteristic
365	C₂	#61470	1	2	yes	—
366	C₂	#62454	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂²×#41	D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3395	C₂	semidirect
4. #33176	C₂	semidirect
5. #28489	C₂	semidirect
6. #28232	C₂	semidirect
7. #25394	C₂	semidirect
8. #24660	C₂	semidirect
9. Q₈×#106	C₂	semidirect
10. #22542	C₂	semidirect
11. C₄×#470	C₂	semidirect
194. #106	#41	semidirect
297. Q₈	#470	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3395	2
C₂×#2971	2
#36445	2
#33176	2
#28489	2
#28232	2
#25394	2
#24660	2
Q₈×#106	2
#22542	2
C₄×#470	2