Subgroups — #6621413

Order 512.

1631 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 374 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	Q₈×C₄⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₄×#557	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#33198	C₂	1	3	yes	maximal
4	#29141	C₂	1	3	yes	maximal
5	#28284	C₂	1	3	yes	maximal
6	#26466	C₂	1	6	yes	maximal
7	#26026	C₂	1	6	yes	maximal
8	#22740	C₂	1	2	yes	maximal
9	Q₈×C₄⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	#22542	C₂	1	2	yes	maximal
11	C₄×#477	C₂	1	3	yes	maximal
12	C₂×Q₈²	—	2	1	no	—
13	C₂×#557	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#477	C₂²	1	3	yes	—
15	C₂×#477	C₂²	1	6	yes	—
16	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
17	#2868	C₂²	1	3	yes	—
18	#2567	—	2	3	no	—
19	#2551	—	2	3	no	—
20	#2551	C₂²	1	6	yes	—
21	#2370	—	2	3	no	—
22	#2365	C₂²	1	3	yes	—
23	#2355	C₂²	1	3	yes	—
24	#2351	—	2	1	no	—
25	Q₈×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
26	Q₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
27	Q₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	3	yes	—
29	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	3	yes	—
30	C₄×#125	—	2	3	no	—
31	C₄²×Q₈	—	2	1	no	—
32	C₄²×Q₈	C₂²	1	3	yes	—
33	C₄²×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#2068	C₂²	1	12	yes	—
35	#2024	C₂²	1	12	yes	—
36	#1987	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1987	C₂²	1	6	yes	—
38	#1981	C₂²	1	6	yes	—
39	#1956	C₂²	1	6	yes	—
40	#1947	C₂²	1	6	yes	—
41	#1947	C₂²	1	3	yes	—
42	#1947	C₂²	1	6	yes	—
43	#1939	C₂²	1	6	yes	—
44	#1921	C₂²	1	6	yes	—
45	#1863	C₂²	1	6	yes	—
46	#1842	C₂²	1	3	yes	—
47	#1834	C₂²	1	6	yes	—
48	#1803	C₂²	1	6	yes	—
49	#1803	C₂²	1	3	yes	—
50	#1803	C₂²	1	6	yes	—
51	C₄×#107	C₂²	1	6	yes	—
52	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	3	yes	—
53	C₄×#103	C₂²	1	6	yes	—
54	Q₈²	—	4	8	no	—
55	#557	—	2	4	no	—
56	#557	Q₈	1	8	yes	complemented
57	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	6	no	—
58	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	3	no	—
59	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	3	no	—
60	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	3	yes	—
61	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	6	yes	—
63	C₂×#125	—	2	3	no	—
64	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
65	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
67	C₂×C₄×Q₈	—	2	3	no	—
68	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	3	yes	—
71	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	3	yes	—
72	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	3	yes	—
73	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	#477	—	2	12	no	—
75	#477	—	4	12	no	—
76	C₈×Q₈	—	2	8	no	—
77	C₂×#107	C₂³	1	6	yes	—
78	C₂×#107	C₂³	1	6	yes	—
79	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
80	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	6	yes	—
82	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	6	yes	—
83	C₂×#103	C₂³	1	6	yes	—
84	C₂×#103	C₂³	1	12	yes	—
85	C₂×#103	C₂³	1	6	yes	—
86	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	6	yes	—
87	#395	—	2	12	no	—
88	#391	—	2	3	no	—
89	#391	C₂³	1	6	yes	—
90	#389	—	2	3	no	—
91	#389	—	2	3	no	—
92	#389	—	2	6	no	—
93	#389	—	2	6	no	—
94	#389	—	2	3	no	—
95	#389	—	2	3	no	—
96	#389	—	2	3	no	—
97	#389	C₂³	1	6	yes	—
98	#387	—	2	6	no	—
99	#387	—	2	6	no	—
100	#384	—	2	3	no	—
101	#384	—	2	3	no	—
102	#384	C₂³	1	3	yes	—
103	#384	C₂³	1	3	yes	—
104	#384	C₂³	1	6	yes	—
105	#382	—	2	3	no	—
106	C₄×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
107	C₄×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
108	C₄×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
109	C₄×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
110	C₄×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
111	C₄×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
112	C₄×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
113	C₄×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
114	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	3	yes	—
115	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	3	yes	—
116	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
117	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
118	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
119	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
120	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
121	C₄³	—	2	3	no	—
122	C₄³	C₂³	1	3	yes	—
123	#340	C₂³	1	6	yes	—
124	#340	C₂³	1	12	yes	—
125	#340	C₂³	1	6	yes	—
126	#340	C₂³	1	2	yes	—
127	#340	C₂³	1	2	yes	—
128	#336	C₂³	1	6	yes	—
129	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
130	C₂²×Q₈	—	2	6	no	—
131	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	3	yes	—
133	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
134	C₂²×C₈	C₂⁴	1	6	yes	—
135	C₄⋊Q₈	—	2	6	no	—
136	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
137	C₄⋊Q₈	—	4	6	no	—
138	C₄⋊Q₈	—	4	6	no	—
139	C₄⋊Q₈	—	4	12	no	—
140	C₄⋊Q₈	—	4	24	no	—
141	C₄⋊Q₈	—	8	6	no	—
142	C₄⋊Q₈	C₂×Q₈	1	12	yes	—
143	C₄⋊Q₈	#41	1	4	yes	—
144	#125	—	2	24	no	—
145	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
146	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
147	C₄×Q₈	—	2	6	no	—
148	C₄×Q₈	—	2	6	no	—
149	C₄×Q₈	—	2	6	no	—
150	C₄×Q₈	—	2	6	no	—
151	C₄×Q₈	—	4	3	no	—
152	C₄×Q₈	—	4	12	no	—
153	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
154	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
155	C₄×Q₈	Q₁₆	1	8	yes	—
156	C₄×Q₈	C₂×Q₈	1	12	yes	—
157	C₄×Q₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
158	C₄×Q₈	#41	1	4	yes	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
174	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
175	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
176	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
177	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
178	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
180	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₄²	—	2	3	no	—
182	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
183	C₂×C₄²	—	2	3	no	—
184	C₂×C₄²	—	2	3	no	—
185	C₂×C₄²	—	2	3	no	—
186	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
187	C₂×C₄²	—	2	3	no	—
188	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
189	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
190	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
191	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
192	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
193	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
194	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
195	#107	—	2	12	no	—
196	#107	—	2	12	no	—
197	C₄⋊C₈	—	2	12	no	—
198	C₄⋊C₈	—	2	6	no	—
199	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
200	C₄⋊C₈	—	4	6	no	—
201	#103	—	2	12	no	—
202	#103	—	4	6	no	—
203	#103	—	4	12	no	—
204	C₄×C₈	—	2	12	no	—
205	#95	—	2	1	no	—
206	#95	—	2	6	no	—
207	#95	—	2	3	no	—
208	#95	—	2	3	no	—
209	#95	—	2	6	no	—
210	#95	—	2	6	no	—
211	#95	—	2	6	no	—
212	#95	C₂×D₄	1	6	yes	—
213	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
214	C₂×Q₈	—	2	3	no	—
215	C₂×Q₈	—	2	3	no	—
216	C₂×Q₈	—	2	3	no	—
217	C₂×Q₈	—	2	3	no	—
218	C₂×Q₈	—	2	3	no	—
219	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
220	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
221	C₂×Q₈	—	4	12	no	—
222	C₂×Q₈	—	8	6	no	—
223	C₂×Q₈	—	8	6	no	—
224	C₂×Q₈	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
225	C₂×Q₈	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
226	C₂×Q₈	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
227	C₂×Q₈	C₂²×Q₈	1	6	yes	—
228	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
234	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
241	C₂×C₈	—	2	2	no	—
242	C₂×C₈	—	2	6	no	—
243	C₂×C₈	—	2	6	no	—
244	C₂×C₈	—	2	6	no	—
245	C₂×C₈	—	2	2	no	—
246	C₂×C₈	—	2	2	no	—
247	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
248	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
249	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
250	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
251	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
252	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
253	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
254	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
255	C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
256	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
257	C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
258	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
259	C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
260	C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
261	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
262	C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
263	C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
264	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
265	C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
266	C₄⋊C₄	—	8	3	no	—
267	C₄⋊C₄	—	8	6	no	—
268	C₄⋊C₄	—	8	6	no	—
269	C₄⋊C₄	C₂²⋊Q₈	1	12	yes	—
270	C₄⋊C₄	C₂×Q₁₆	1	12	yes	—
271	C₄⋊C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
272	C₄⋊C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
273	C₄⋊C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
274	C₄²	—	2	12	no	—
275	C₄²	—	2	6	no	—
276	C₄²	—	2	6	no	—
277	C₄²	—	2	3	no	—
278	C₄²	—	2	3	no	—
279	C₄²	—	4	3	no	—
280	C₄²	—	4	6	no	—
281	C₄²	—	4	6	no	—
282	C₄²	—	4	6	no	—
283	C₄²	—	4	12	no	—
284	C₄²	—	4	2	no	—
285	C₄²	—	8	3	no	—
286	C₄²	C₂×Q₁₆	1	12	yes	—
287	C₄²	C₂²×Q₈	1	6	yes	—
288	C₄²	C₂×#41	1	6	yes	—
289	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
290	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
291	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
292	Q₈	—	2	6	no	—
293	Q₈	—	2	6	no	—
294	Q₈	—	4	8	no	—
295	Q₈	—	4	3	no	—
296	Q₈	—	4	3	no	—
297	Q₈	—	16	12	no	—
298	Q₈	#477	1	16	yes	complemented
299	C₂×C₄	—	2	1	no	—
300	C₂×C₄	—	2	3	no	—
301	C₂×C₄	—	2	3	no	—
302	C₂×C₄	—	2	3	no	—
303	C₂×C₄	—	2	1	no	—
304	C₂×C₄	—	2	3	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	6	no	—
307	C₂×C₄	—	2	4	no	—
308	C₂×C₄	—	2	3	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	3	no	—
311	C₂×C₄	—	2	3	no	—
312	C₂×C₄	—	4	1	no	—
313	C₂×C₄	—	4	2	no	—
314	C₂×C₄	—	4	3	no	—
315	C₂×C₄	—	4	3	no	—
316	C₂×C₄	—	4	2	no	—
317	C₂×C₄	—	4	1	no	—
318	C₂×C₄	—	4	1	no	—
319	C₂×C₄	—	4	1	no	—
320	C₂×C₄	—	4	3	no	—
321	C₂×C₄	—	4	3	no	—
322	C₂×C₄	—	4	6	no	—
323	C₂×C₄	—	4	6	no	—
324	C₂×C₄	—	4	3	no	—
325	C₂×C₄	—	4	6	no	—
326	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	6	yes	—
327	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	6	yes	—
328	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	6	yes	—
331	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	6	yes	—
332	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	6	yes	—
334	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	#585	1	1	yes	characteristic
341	C₈	—	4	6	no	—
342	C₈	—	4	2	no	—
343	C₂²	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
344	C₂²	C₂×#548	1	1	yes	characteristic
345	C₂²	#3488	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	C₂³×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
347	C₂²	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
348	C₂²	C₂×#577	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	#3586	1	1	yes	characteristic
350	C₄	—	2	6	no	—
351	C₄	—	2	6	no	—
352	C₄	—	2	2	no	—
353	C₄	—	4	3	no	—
354	C₄	—	4	2	no	—
355	C₄	—	4	2	no	—
356	C₄	—	4	6	no	—
357	C₄	—	4	4	no	—
358	C₄	—	8	6	no	—
359	C₄	—	8	3	no	—
360	C₄	C₂×#477	1	12	yes	—
361	C₄	#3363	1	4	yes	—
362	C₄	Q₈×#41	1	1	yes	characteristic
363	C₄	#3483	1	1	yes	characteristic
364	C₄	#3503	1	1	yes	characteristic
365	C₄	#3518	1	1	yes	characteristic
366	C₂	#36456	1	1	yes	characteristic
367	C₂	C₂²×#477	1	1	yes	characteristic
368	C₂	#60497	1	1	yes	characteristic
369	C₂	C₂×#3363	1	1	yes	characteristic
370	C₂	#61317	1	1	yes	characteristic
371	C₂	#61952	1	1	yes	characteristic
372	C₂	#61999	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle, prime radical	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄²×Q₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
56. #557	Q₈	semidirect
298. Q₈	#477	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
Q₈×C₄⋊Q₈	2
C₄×#557	2
#33198	2
#29141	2
#28284	2
#26466	2
#26026	2
#22740	2
Q₈×C₄⋊C₈	2
#22542	2
C₄×#477	2