Subgroups — #6628984

Order 512.

5042 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 356 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₄×#585	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#3027	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#35272	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
4	#32926	C₂	1	16	yes	maximal, complemented
5	#20961	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
6	#20632	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
7	C₂×#585	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂×#535	C₂²	1	6	yes	—
9	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
10	C₄×2₋¹⁺⁴	—	2	6	no	—
11	C₄×H(5,𝔽₂)	—	2	6	no	—
12	C₄×H(5,𝔽₂)	C₂²	1	8	yes	—
13	#3428	—	2	6	no	—
14	#3428	C₂²	1	3	yes	—
15	C₂×C₄×#41	—	2	6	no	—
16	C₂×C₄×#41	C₂²	1	3	yes	—
17	#3027	—	2	16	no	—
18	C₂×B(4,𝔽₂)	C₂²	1	16	yes	—
19	C₂×#410	C₂²	1	6	yes	—
20	#2856	—	2	6	no	—
21	#2619	—	2	6	no	—
22	#2548	—	2	6	no	—
23	#2541	—	2	6	no	—
24	#2408	C₂²	1	24	yes	complemented
25	#2309	C₂²	1	6	yes	complemented
26	#2285	C₂²	1	3	yes	complemented
27	#1889	C₂²	1	48	yes	complemented
28	#1799	C₂²	1	24	yes	complemented
29	#1740	C₂²	1	6	yes	complemented
30	#585	—	2	12	no	—
31	#585	D₄	1	8	yes	complemented
32	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	3	no	—
33	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	3	no	—
34	C₂×H(5,𝔽₂)	C₂³	1	4	yes	—
35	C₂²×#41	—	2	6	no	—
36	C₂²×#41	C₂³	1	3	yes	—
37	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂³×D₄	C₂³	1	4	yes	—
39	#535	—	2	24	no	—
40	#535	—	2	24	no	—
41	C₂×#127	—	2	6	no	—
42	C₂×#127	—	2	3	no	—
43	C₂×#127	—	2	3	no	—
44	C₂×#127	—	2	6	no	—
45	C₂×#124	—	2	6	no	—
46	C₂×#121	—	2	12	no	—
47	C₂×#121	—	2	24	no	—
48	C₂×#120	C₂³	1	24	yes	—
49	#520	—	2	24	no	—
50	#520	—	2	24	no	—
51	#520	—	2	12	no	—
52	#519	—	2	12	no	—
53	#519	—	2	3	no	—
54	#518	—	2	12	no	—
55	#518	—	2	3	no	—
56	#518	—	2	24	no	—
57	#518	C₂³	1	12	yes	—
58	C₄×#41	—	2	4	no	—
59	C₄×#41	—	2	12	no	—
60	C₄×#41	—	2	24	no	—
61	C₄×#41	—	2	6	no	—
62	C₄×#41	—	2	12	no	—
63	C₄×#41	—	2	24	no	—
64	C₄×#41	—	2	6	no	—
65	C₄×#41	—	2	12	no	—
66	C₂×C₄×Q₈	—	2	12	no	—
67	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	6	yes	complemented
68	C₂×C₄×D₄	—	2	12	no	—
69	C₂×C₄×D₄	—	2	24	no	—
70	C₂×C₄×D₄	D₄	1	6	yes	complemented
71	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	12	yes	—
72	C₂×#117	—	2	12	no	—
73	C₂×#117	—	2	6	no	—
74	C₂×#117	D₄	1	6	yes	complemented
75	C₂×#117	C₂³	1	6	yes	—
76	C₂×#117	C₂³	1	3	yes	—
77	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
78	C₂²×C₄²	D₄	1	6	yes	complemented
79	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	B(4,𝔽₂)	—	2	64	no	—
81	#410	—	2	24	no	—
82	C₂×#99	C₂³	1	24	yes	—
83	#394	—	2	24	no	—
84	#392	—	2	24	no	—
85	#390	—	2	12	no	—
86	#390	—	2	12	no	—
87	#390	—	2	24	no	—
88	#384	—	2	3	no	—
89	#382	—	2	3	no	—
90	#380	C₂³	1	12	yes	—
91	#379	C₂³	1	24	yes	—
92	C₄×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
93	#342	C₂³	1	24	yes	—
94	C₂⁵	C₂⁴	1	4	yes	—
95	2₋¹⁺⁴	—	2	24	no	—
96	2₋¹⁺⁴	—	2	24	no	—
97	H(5,𝔽₂)	—	2	24	no	—
98	H(5,𝔽₂)	—	2	24	no	—
99	H(5,𝔽₂)	—	2	24	no	—
100	H(5,𝔽₂)	C₂×D₄	1	16	yes	—
101	C₂×#41	—	2	4	no	—
102	C₂×#41	—	2	12	no	—
103	C₂×#41	—	2	48	no	—
104	C₂×#41	—	2	48	no	—
105	C₂×#41	—	2	6	no	—
106	C₂×#41	—	2	12	no	—
107	C₂×#41	—	2	6	no	—
108	C₂×#41	—	2	12	no	—
109	C₂×#41	C₂×D₄	1	12	yes	—
110	C₂×#41	#41	1	12	yes	—
111	C₂²×Q₈	—	2	6	no	—
112	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	3	yes	—
113	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
118	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
119	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
120	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
122	C₂²×D₄	—	8	8	no	—
123	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
124	C₂²×D₄	C₂⁴	1	6	yes	—
125	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
126	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
127	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
128	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
129	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
130	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
131	#127	—	4	24	no	—
132	#127	—	4	1	no	—
133	#127	—	4	3	no	—
134	#127	—	4	6	no	—
135	#127	—	4	6	no	—
136	#124	—	4	24	no	—
137	#121	—	4	48	no	—
138	#121	—	8	48	no	—
139	#120	—	2	48	no	—
140	#120	—	2	48	no	—
141	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
142	C₄×Q₈	—	2	24	no	—
143	C₄×Q₈	—	2	24	no	—
144	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
145	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
146	C₄×D₄	—	2	24	no	—
147	C₄×D₄	—	2	48	no	—
148	C₄×D₄	—	2	24	no	—
149	C₄×D₄	—	2	24	no	—
150	C₄×D₄	—	2	24	no	—
151	C₄×D₄	—	2	48	no	—
152	C₄×D₄	—	2	24	no	—
153	C₄×D₄	—	2	12	no	—
154	C₄×D₄	—	2	12	no	—
155	#117	—	2	12	no	—
156	#117	—	2	12	no	—
157	#117	—	2	48	no	—
158	#117	—	2	6	no	—
159	#117	—	2	12	no	—
160	#117	—	2	6	no	—
161	#117	—	2	12	no	—
162	#117	—	2	12	no	—
163	#117	—	2	12	no	—
164	#117	—	2	12	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
170	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	48	no	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
178	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
179	C₂×C₄²	—	2	24	no	—
180	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
181	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
182	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
183	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
184	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	6	yes	—
185	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	12	yes	—
186	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
187	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	6	yes	—
188	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
189	#99	—	2	48	no	—
190	#95	—	2	12	no	—
191	C₂⁴	—	2	4	no	—
192	C₂⁴	—	2	12	no	—
193	C₂⁴	—	2	4	no	—
194	C₂⁴	—	2	12	no	—
195	C₂⁴	—	8	8	no	—
196	C₂⁴	C₂²×D₄	1	6	yes	—
197	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
198	#41	—	2	32	no	—
199	#41	—	2	48	no	—
200	#41	—	2	96	no	—
201	#41	—	2	24	no	—
202	#41	—	2	48	no	—
203	#41	—	2	24	no	—
204	#41	—	2	24	no	—
205	#41	—	2	24	no	—
206	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
207	C₂×Q₈	—	2	48	no	—
208	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
209	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
210	C₂×Q₈	#121	1	12	yes	complemented
211	C₂×D₄	—	2	12	no	—
212	C₂×D₄	—	2	48	no	—
213	C₂×D₄	—	2	48	no	—
214	C₂×D₄	—	2	48	no	—
215	C₂×D₄	—	2	12	no	—
216	C₂×D₄	—	2	12	no	—
217	C₂×D₄	—	2	6	no	—
218	C₂×D₄	—	2	6	no	—
219	C₂×D₄	—	4	48	no	—
220	C₂×D₄	—	4	48	no	—
221	C₂×D₄	—	4	12	no	—
222	C₂×D₄	—	4	2	no	—
223	C₂×D₄	—	4	6	no	—
224	C₂×D₄	—	4	4	no	—
225	C₂×D₄	—	4	12	no	—
226	C₂×D₄	—	4	12	no	—
227	C₂×D₄	—	4	12	no	—
228	C₂×D₄	—	4	12	no	—
229	C₂×D₄	—	8	24	no	—
230	C₂×D₄	—	8	48	no	—
231	C₂×D₄	#121	1	12	yes	complemented
232	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
233	C₂×D₄	C₂×#41	1	12	yes	—
234	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	24	no	—
245	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
246	C₂²×C₄	#121	1	24	yes	complemented
247	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂×#41	1	6	yes	—
255	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
256	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
257	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
258	C₄⋊C₄	—	4	24	no	—
259	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	4	48	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	8	48	no	—
267	C₄²	—	2	24	no	—
268	C₄²	—	2	6	no	—
269	C₄²	—	2	12	no	—
270	C₄²	—	2	12	no	—
271	C₄²	—	2	6	no	—
272	C₄²	—	4	12	no	—
273	C₄²	#120	1	1	yes	characteristic
274	C₄²	#120	1	3	yes	—
275	C₄²	#120	1	6	yes	—
276	C₄²	#120	1	6	yes	—
277	C₂³	—	2	16	no	—
278	C₂³	—	2	6	no	—
279	C₂³	—	2	6	no	—
280	C₂³	—	4	2	no	—
281	C₂³	—	4	12	no	—
282	C₂³	—	4	48	no	—
283	C₂³	—	4	4	no	—
284	C₂³	—	4	12	no	—
285	C₂³	—	4	12	no	—
286	C₂³	—	8	8	no	—
287	C₂³	—	16	4	no	—
288	C₂³	—	16	12	no	—
289	C₂³	C₂×#121	1	12	yes	—
290	C₂³	C₂³×D₄	1	3	yes	—
291	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
292	C₂³	C₂²×#41	1	3	yes	—
293	Q₈	—	2	16	no	—
294	Q₈	—	2	24	no	—
295	D₄	—	2	48	no	—
296	D₄	—	2	24	no	—
297	D₄	—	2	24	no	—
298	D₄	—	2	24	no	—
299	D₄	—	8	24	no	—
300	D₄	—	8	4	no	—
301	D₄	—	8	12	no	—
302	D₄	—	8	8	no	—
303	D₄	—	16	48	no	—
304	C₂×C₄	—	2	48	no	—
305	C₂×C₄	—	2	6	no	—
306	C₂×C₄	—	2	6	no	—
307	C₂×C₄	—	2	24	no	—
308	C₂×C₄	—	2	24	no	—
309	C₂×C₄	—	2	12	no	—
310	C₂×C₄	—	2	12	no	—
311	C₂×C₄	—	4	6	no	—
312	C₂×C₄	—	4	24	no	—
313	C₂×C₄	—	4	12	no	—
314	C₂×C₄	—	4	24	no	—
315	C₂×C₄	—	4	12	no	—
316	C₂×C₄	—	8	12	no	—
317	C₂×C₄	—	8	24	no	—
318	C₂×C₄	C₂×#120	1	6	yes	—
319	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₄	C₂×#120	1	3	yes	—
321	C₂×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	C₂×#121	1	12	yes	—
323	C₂×C₄	C₂×#121	1	6	yes	—
324	C₂×C₄	C₂×#121	1	6	yes	—
325	C₂×C₄	#525	1	6	yes	—
326	C₂×C₄	#525	1	6	yes	—
327	C₂²	—	2	6	no	—
328	C₂²	—	2	12	no	—
329	C₂²	—	4	1	no	—
330	C₂²	—	4	3	no	—
331	C₂²	—	4	12	no	—
332	C₂²	—	4	12	no	—
333	C₂²	—	8	6	no	—
334	C₂²	—	8	24	no	—
335	C₂²	—	8	24	no	—
336	C₂²	—	8	16	no	—
337	C₂²	—	8	4	no	—
338	C₂²	—	8	8	no	—
339	C₂²	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
340	C₂²	C₂²×#121	1	3	yes	—
341	C₂²	C₂×#525	1	3	yes	—
342	C₄	—	2	12	no	—
343	C₄	—	2	6	no	—
344	C₄	—	4	12	no	—
345	C₄	—	8	12	no	—
346	C₄	#2847	1	2	yes	—
347	C₄	#2847	1	6	yes	—
348	C₄	#3027	1	4	yes	complemented
349	C₂	—	2	3	no	—
350	C₂	—	2	3	no	—
351	C₂	—	4	12	no	—
352	C₂	—	16	4	no	—
353	C₂	C₂×#2847	1	1	yes	characteristic
354	C₂	C₂×#3027	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂²×#120
commutator, Frattini, cosocle	C₂⁴	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₄×#585	C₂	semidirect
2. C₂×#3027	C₂	semidirect
3. #35272	C₂	semidirect
4. #32926	C₂	semidirect
5. #20961	C₂	semidirect
6. #20632	C₂	semidirect
9. C₂²×#127	C₂²	semidirect
24. #2408	C₂²	semidirect
25. #2309	C₂²	semidirect
26. #2285	C₂²	semidirect
27. #1889	C₂²	semidirect
28. #1799	C₂²	semidirect
29. #1740	C₂²	semidirect
31. #585	D₄	semidirect
67. C₂×C₄×Q₈	D₄	semidirect
70. C₂×C₄×D₄	D₄	semidirect
74. C₂×#117	D₄	semidirect
78. C₂²×C₄²	D₄	semidirect
210. C₂×Q₈	#121	semidirect
231. C₂×D₄	#121	semidirect
246. C₂²×C₄	#121	semidirect
348. C₄	#3027	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₄×#585	2
C₂×#3027	2
#35272	2
#32926	2
#20961	2
#20632	2