Subgroups — #6629046

Order 512.

4410 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 439 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#63076	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#60455	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
3	#60398	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#3028	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#32949	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#32947	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#21009	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
8	C₂×#1909	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
9	#20671	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
10	C₂×#585	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#137	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
12	#3573	—	2	12	no	—
13	#3573	C₂²	1	8	yes	—
14	C₂×#568	—	2	12	no	—
15	C₂×#568	C₂²	1	3	yes	—
16	C₂×#568	C₂²	1	3	yes	—
17	#3449	C₂²	1	3	yes	—
18	C₂×#536	C₂²	1	3	yes	—
19	#3063	—	2	12	no	—
20	#3059	C₂²	1	12	yes	complemented
21	#3057	C₂²	1	12	yes	complemented
22	#3056	—	2	12	no	—
23	#3028	—	2	4	no	—
24	#3028	C₂²	1	8	yes	—
25	#3028	C₂²	1	4	yes	—
26	#3027	C₂²	1	4	yes	—
27	#3026	—	2	4	no	—
28	#3025	—	2	4	no	—
29	C₂×#458	—	2	4	no	—
30	#2911	C₂²	1	3	yes	complemented
31	#2896	C₂²	1	3	yes	complemented
32	C₂×#419	C₂²	1	3	yes	complemented
33	C₂×#410	C₂²	1	3	yes	—
34	C₂×#410	C₂²	1	3	yes	—
35	#1910	C₂²	1	12	yes	complemented
36	#1909	C₂²	1	24	yes	complemented
37	#1909	C₂²	1	12	yes	complemented
38	#1812	C₂²	1	24	yes	complemented
39	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	6	yes	complemented
40	#585	—	2	6	no	—
41	#585	—	2	6	no	—
42	#585	D₄	1	4	yes	—
43	#585	C₂³	1	4	yes	—
44	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	3	no	—
45	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	3	no	—
46	C₂×H(5,𝔽₂)	D₄	1	4	yes	—
47	C₂²×#41	—	2	6	no	—
48	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂²×#41	C₂³	1	3	yes	—
50	C₂³×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂×#137	—	2	6	no	—
52	C₂×#137	—	2	6	no	—
53	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	complemented
54	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	complemented
55	#568	—	2	16	no	—
56	#568	—	2	48	no	—
57	#568	—	2	6	no	—
58	#568	—	2	12	no	—
59	#568	—	2	12	no	—
60	#568	—	2	48	no	—
61	#568	—	2	12	no	—
62	#568	C₂³	1	12	yes	—
63	C₂×#131	—	2	48	no	—
64	C₂×#131	—	2	48	no	—
65	C₂×#131	—	2	12	no	—
66	C₂×#131	D₄	1	12	yes	complemented
67	C₂×#131	C₂³	1	12	yes	—
68	C₂²×M₁₆	—	2	16	no	—
69	C₂²×M₁₆	—	2	6	no	—
70	C₂²×M₁₆	D₄	1	12	yes	complemented
71	C₂²×M₁₆	C₂³	1	3	yes	—
72	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	#537	—	2	6	no	—
74	#536	—	2	6	no	—
75	#536	—	2	6	no	—
76	#536	—	2	6	no	—
77	#536	—	2	3	no	—
78	#536	C₂³	1	12	yes	—
79	#536	C₂³	1	6	yes	—
80	#535	—	2	3	no	—
81	#535	C₂³	1	6	yes	—
82	#534	—	2	6	no	—
83	#532	—	2	6	no	—
84	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	3	no	—
85	C₂×#124	—	2	3	no	—
86	#525	—	2	6	no	—
87	#525	—	2	6	no	—
88	C₂×#123	—	2	6	no	—
89	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	6	no	—
90	C₂×#117	C₂³	1	3	yes	—
91	C₂×#117	C₂³	1	3	yes	—
92	#470	—	2	24	no	—
93	#468	—	2	24	no	—
94	#467	—	2	24	no	—
95	#465	—	2	24	no	—
96	#458	—	2	32	no	—
97	#458	—	2	16	no	—
98	B(4,𝔽₂)	—	2	16	no	—
99	#428	—	2	6	no	—
100	#428	—	2	6	no	—
101	#427	C₂³	1	12	yes	complemented
102	#419	—	2	6	no	—
103	#419	C₂³	1	12	yes	complemented
104	#419	C₂³	1	6	yes	complemented
105	#418	C₂³	1	6	yes	complemented
106	#417	—	2	6	no	—
107	#416	—	2	6	no	—
108	C₂×#103	—	2	6	no	—
109	#410	—	2	6	no	—
110	#410	—	2	6	no	—
111	#410	C₂³	1	12	yes	—
112	#410	C₂³	1	12	yes	—
113	C₂×#99	—	2	6	no	—
114	C₂×#99	—	2	6	no	—
115	H(3,ℤ/4)	C₂³	1	24	yes	complemented
116	2₋¹⁺⁴	—	2	24	no	—
117	2₋¹⁺⁴	—	2	12	no	—
118	2₋¹⁺⁴	—	2	12	no	—
119	H(5,𝔽₂)	—	2	24	no	—
120	H(5,𝔽₂)	—	2	12	no	—
121	H(5,𝔽₂)	—	2	24	no	—
122	H(5,𝔽₂)	—	2	12	no	—
123	H(5,𝔽₂)	C₂×D₄	1	16	yes	—
124	C₂×#41	—	2	24	no	—
125	C₂×#41	—	2	4	no	—
126	C₂×#41	—	2	12	no	—
127	C₂×#41	—	2	24	no	—
128	C₂×#41	—	2	12	no	—
129	C₂×#41	—	2	24	no	—
130	C₂×#41	—	2	24	no	—
131	C₂×#41	—	2	6	no	—
132	C₂×#41	—	2	6	no	—
133	C₂×#41	—	2	6	no	—
134	C₂×#41	—	2	6	no	—
135	C₂×#41	—	2	3	no	—
136	C₂×#41	—	2	3	no	—
137	C₂×#41	—	2	3	no	—
138	C₂×#41	—	2	3	no	—
139	C₂×#41	C₂×D₄	1	6	yes	—
140	C₂×#41	C₂×D₄	1	6	yes	—
141	C₂×#41	#41	1	6	yes	—
142	C₂×#41	C₂⁴	1	6	yes	—
143	C₂²×Q₈	—	2	6	no	—
144	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
145	C₂²×Q₈	—	2	3	no	—
146	C₂²×Q₈	—	2	3	no	—
147	C₂²×Q₈	—	2	3	no	—
148	C₂²×Q₈	—	2	3	no	—
149	C₂²×Q₈	#41	1	3	yes	—
150	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
151	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
152	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
153	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
154	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
155	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
156	C₂²×D₄	#41	1	3	yes	—
157	C₂²×D₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
158	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
159	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
160	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
161	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
162	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
163	#137	—	4	4	no	—
164	#137	—	4	12	no	—
165	C₂×Q₁₆	—	2	12	no	—
166	C₂×SD₁₆	—	2	12	no	—
167	#131	—	2	48	no	—
168	#131	—	2	96	no	—
169	#131	—	2	32	no	—
170	#131	—	2	48	no	—
171	#131	—	2	48	no	—
172	#131	—	2	48	no	—
173	C₂×M₁₆	—	2	24	no	—
174	C₂×M₁₆	—	2	96	no	—
175	C₂×M₁₆	—	2	12	no	—
176	C₂×M₁₆	—	2	6	no	—
177	C₂×M₁₆	—	2	24	no	—
178	C₂×M₁₆	—	2	6	no	—
179	C₂×M₁₆	—	2	24	no	—
180	C₂×M₁₆	—	2	24	no	—
181	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	6	yes	—
182	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	24	yes	—
183	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	6	yes	—
184	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	6	yes	—
185	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	6	yes	—
186	C₂²×C₈	—	2	12	no	—
187	C₂²×C₈	—	2	32	no	—
188	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	24	yes	—
189	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	6	yes	—
190	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
191	C₄⋊Q₈	—	2	12	no	—
192	C₄⋊Q₈	—	2	6	no	—
193	C₄⋊Q₈	—	4	6	no	—
194	#127	—	2	6	no	—
195	#124	—	2	6	no	—
196	#124	—	2	12	no	—
197	#124	—	2	6	no	—
198	#124	—	4	6	no	—
199	#123	—	2	24	no	—
200	#123	—	2	12	no	—
201	#123	—	4	12	no	—
202	#123	—	4	6	no	—
203	C₂²⋊Q₈	—	2	24	no	—
204	C₂²⋊Q₈	—	2	12	no	—
205	C₂²⋊Q₈	—	4	6	no	—
206	C₂²⋊Q₈	—	4	12	no	—
207	#121	—	2	12	no	—
208	#121	—	4	6	no	—
209	#121	—	4	12	no	—
210	#120	—	2	12	no	—
211	#120	—	4	6	no	—
212	C₄×D₄	—	4	12	no	—
213	#117	—	2	3	no	—
214	#117	—	2	3	no	—
215	#117	—	2	3	no	—
216	#117	—	2	3	no	—
217	#117	—	2	3	no	—
218	#117	—	2	3	no	—
219	#117	C₂⁴	1	6	yes	—
220	#117	C₂⁴	1	6	yes	—
221	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
222	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
223	C₂×C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
224	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
225	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
226	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	6	no	—
227	C₂×C₄²	—	2	3	no	—
228	C₂×C₄²	—	2	3	no	—
229	#107	—	2	12	no	—
230	#106	—	2	12	no	—
231	#103	—	2	24	no	—
232	#103	—	2	12	no	—
233	#102	—	2	12	no	—
234	#99	—	2	24	no	—
235	#99	—	2	24	no	—
236	C₂⁴	—	2	4	no	—
237	C₂⁴	—	2	1	no	—
238	C₂⁴	#121	1	6	yes	—
239	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
240	#41	—	2	16	no	—
241	#41	—	2	16	no	—
242	#41	—	2	48	no	—
243	#41	—	2	48	no	—
244	#41	—	2	48	no	—
245	#41	—	2	12	no	—
246	#41	—	2	12	no	—
247	#41	—	2	48	no	—
248	#41	—	2	12	no	—
249	#41	—	2	12	no	—
250	#41	—	2	12	no	—
251	#41	—	2	12	no	—
252	#41	—	2	12	no	—
253	#41	—	2	12	no	—
254	#41	—	4	3	no	—
255	#41	—	4	1	no	—
256	#41	—	4	3	no	—
257	#41	—	4	3	no	—
258	#41	—	4	6	no	—
259	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
260	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
261	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
262	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
263	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
264	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
265	C₂×Q₈	—	2	3	no	—
266	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
267	C₂×Q₈	—	2	3	no	—
268	C₂×Q₈	—	4	3	no	—
269	C₂×Q₈	—	4	3	no	—
270	C₂×Q₈	—	4	3	no	—
271	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
272	C₂×Q₈	—	4	3	no	—
273	C₂×Q₈	—	4	3	no	—
274	C₂×Q₈	—	4	6	no	—
275	C₂×Q₈	#121	1	6	yes	—
276	C₂×Q₈	C₂×#41	1	6	yes	—
277	C₂×D₄	—	2	12	no	—
278	C₂×D₄	—	2	48	no	—
279	C₂×D₄	—	2	24	no	—
280	C₂×D₄	—	2	24	no	—
281	C₂×D₄	—	2	12	no	—
282	C₂×D₄	—	2	48	no	—
283	C₂×D₄	—	2	12	no	—
284	C₂×D₄	—	2	6	no	—
285	C₂×D₄	—	2	6	no	—
286	C₂×D₄	—	2	3	no	—
287	C₂×D₄	—	2	3	no	—
288	C₂×D₄	—	4	3	no	—
289	C₂×D₄	—	4	3	no	—
290	C₂×D₄	—	4	12	no	—
291	C₂×D₄	#121	1	12	yes	—
292	C₂×D₄	#121	1	6	yes	—
293	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
294	C₂×D₄	C₂×#41	1	6	yes	—
295	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
296	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
297	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
298	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
299	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
300	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
301	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
302	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
303	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂²×C₄	—	4	3	no	—
305	C₂²×C₄	—	4	3	no	—
306	C₂²×C₄	—	4	3	no	—
307	C₂²×C₄	—	4	3	no	—
308	C₂²×C₄	—	4	3	no	—
309	C₂²×C₄	—	4	3	no	—
310	C₂²×C₄	#121	1	6	yes	—
311	C₂²×C₄	#121	1	12	yes	—
312	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
313	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
314	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
315	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
316	C₂²×C₄	C₂×#41	1	3	yes	—
317	C₂²×C₄	C₂×#41	1	3	yes	—
318	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
319	Q₁₆	—	4	8	no	—
320	SD₁₆	—	4	8	no	—
321	M₁₆	—	2	48	no	—
322	M₁₆	—	2	6	no	—
323	M₁₆	—	2	6	no	—
324	M₁₆	—	2	12	no	—
325	M₁₆	—	2	48	no	—
326	M₁₆	#120	1	4	yes	—
327	M₁₆	#120	1	12	yes	—
328	C₂×C₈	—	2	48	no	—
329	C₂×C₈	—	2	12	no	—
330	C₂×C₈	—	2	48	no	—
331	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	12	yes	—
332	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	12	yes	—
333	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
334	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
335	C₄⋊C₄	—	4	3	no	—
336	C₄⋊C₄	—	4	3	no	—
337	C₄⋊C₄	—	4	24	no	—
338	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
339	C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
340	C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
341	C₂²⋊C₄	—	4	3	no	—
342	C₂²⋊C₄	—	4	3	no	—
343	C₂²⋊C₄	—	4	24	no	—
344	C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
345	C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
346	C₄²	—	2	6	no	—
347	C₄²	—	2	6	no	—
348	C₄²	—	4	3	no	—
349	C₄²	—	4	3	no	—
350	C₂³	—	2	16	no	—
351	C₂³	—	2	6	no	—
352	C₂³	—	2	6	no	—
353	C₂³	—	4	3	no	—
354	C₂³	—	8	1	no	—
355	C₂³	—	8	6	no	—
356	C₂³	—	16	1	no	—
357	C₂³	—	16	4	no	—
358	C₂³	C₂×#121	1	12	yes	—
359	C₂³	C₂×#121	1	3	yes	—
360	C₂³	C₂×#121	1	3	yes	—
361	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
362	Q₈	—	2	16	no	—
363	Q₈	—	2	12	no	—
364	Q₈	—	2	12	no	—
365	Q₈	—	4	2	no	—
366	Q₈	—	4	1	no	—
367	Q₈	—	4	6	no	—
368	Q₈	—	4	3	no	—
369	Q₈	—	8	1	no	—
370	Q₈	—	8	3	no	—
371	D₄	—	2	48	no	—
372	D₄	—	2	24	no	—
373	D₄	—	2	24	no	—
374	D₄	—	2	12	no	—
375	D₄	—	2	12	no	—
376	D₄	—	4	1	no	—
377	D₄	—	4	3	no	—
378	D₄	—	8	1	no	—
379	D₄	—	8	3	no	—
380	D₄	—	16	12	no	—
381	C₂×C₄	—	2	48	no	—
382	C₂×C₄	—	2	6	no	—
383	C₂×C₄	—	2	6	no	—
384	C₂×C₄	—	2	12	no	—
385	C₂×C₄	—	2	12	no	—
386	C₂×C₄	—	2	12	no	—
387	C₂×C₄	—	2	12	no	—
388	C₂×C₄	—	4	6	no	—
389	C₂×C₄	—	4	6	no	—
390	C₂×C₄	—	4	3	no	—
391	C₂×C₄	—	4	6	no	—
392	C₂×C₄	—	8	6	no	—
393	C₂×C₄	—	8	1	no	—
394	C₂×C₄	—	8	3	no	—
395	C₂×C₄	—	8	1	no	—
396	C₂×C₄	—	8	3	no	—
397	C₂×C₄	—	16	3	no	—
398	C₂×C₄	C₂×#120	1	3	yes	—
399	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
400	C₂×C₄	C₂×#121	1	12	yes	—
401	C₂×C₄	C₂×#121	1	3	yes	—
402	C₂×C₄	C₂×#121	1	3	yes	—
403	C₂×C₄	#525	1	3	yes	—
404	C₂×C₄	#525	1	3	yes	—
405	C₂×C₄	#525	1	6	yes	—
406	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	3	yes	—
407	C₂×C₄	C₂²×#41	1	3	yes	—
408	C₈	—	2	12	no	—
409	C₈	C₂×#120	1	8	yes	—
410	C₂²	—	2	12	no	—
411	C₂²	—	4	3	no	—
412	C₂²	—	4	3	no	—
413	C₂²	—	4	1	no	—
414	C₂²	—	4	12	no	—
415	C₂²	—	8	6	no	—
416	C₂²	—	8	6	no	—
417	C₂²	—	8	6	no	—
418	C₂²	—	8	16	no	—
419	C₂²	—	8	1	no	—
420	C₂²	#2847	1	1	yes	characteristic
421	C₂²	#2847	1	3	yes	—
422	C₂²	C₂²×#121	1	3	yes	—
423	C₄	—	2	12	no	—
424	C₄	—	8	6	no	—
425	C₄	—	8	6	no	—
426	C₄	—	8	1	no	—
427	C₄	—	8	2	no	—
428	C₄	#2847	1	1	yes	characteristic
429	C₄	#2847	1	3	yes	—
430	C₄	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
431	C₄	C₂×#525	1	3	yes	—
432	C₂	—	2	3	no	—
433	C₂	—	2	1	no	—
434	C₂	—	2	3	no	—
435	C₂	—	4	12	no	—
436	C₂	—	16	1	no	—
437	C₂	C₂×#2847	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂	C₂×#2847
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	#60398	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #63076	C₂	semidirect
2. #60455	C₂	semidirect
4. C₂×#3028	C₂	semidirect
5. #32949	C₂	semidirect
6. #32947	C₂	semidirect
7. #21009	C₂	semidirect
8. C₂×#1909	C₂	semidirect
9. #20671	C₂	semidirect
11. C₂²×#137	C₂²	semidirect
20. #3059	C₂²	semidirect
21. #3057	C₂²	semidirect
30. #2911	C₂²	semidirect
31. #2896	C₂²	semidirect
32. C₂×#419	C₂²	semidirect
35. #1910	C₂²	semidirect
36. #1909	C₂²	semidirect
37. #1909	C₂²	semidirect
38. #1812	C₂²	semidirect
39. C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	semidirect
53. C₂²×Q₁₆	C₂³	semidirect
54. C₂²×SD₁₆	C₂³	semidirect
66. C₂×#131	D₄	semidirect
70. C₂²×M₁₆	D₄	semidirect
101. #427	C₂³	semidirect
103. #419	C₂³	semidirect
104. #419	C₂³	semidirect
105. #418	C₂³	semidirect
115. H(3,ℤ/4)	C₂³	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#63076	2
#60455	2
#60398	2
C₂×#3028	2
#32949	2
#32947	2
#21009	2
C₂×#1909	2
#20671	2