Subgroups — #6629121

Order 512.

4226 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 426 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₄×#585	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#35279	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
3	#32976	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#32975	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#20890	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
6	#20632	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
7	#20610	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₂×#585	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
10	C₄×2₋¹⁺⁴	—	2	3	no	—
11	C₄×2₋¹⁺⁴	—	2	3	no	—
12	C₄×H(5,𝔽₂)	—	2	3	no	—
13	C₄×H(5,𝔽₂)	—	2	3	no	—
14	C₄×H(5,𝔽₂)	C₂²	1	4	yes	—
15	C₄×H(5,𝔽₂)	C₂²	1	4	yes	—
16	#3428	—	2	6	no	—
17	#3428	C₂²	1	3	yes	—
18	C₂×C₄×#41	—	2	6	no	—
19	C₂×C₄×#41	C₂²	1	3	yes	—
20	C₂×#410	C₂²	1	6	yes	—
21	#2857	—	2	6	no	—
22	#2628	—	2	6	no	—
23	#2568	—	2	3	no	—
24	#2567	—	2	3	no	—
25	#2563	—	2	3	no	—
26	#2542	—	2	3	no	—
27	#2487	C₂²	1	12	yes	complemented
28	#2409	C₂²	1	12	yes	complemented
29	#2317	C₂²	1	6	yes	complemented
30	#2311	C₂²	1	6	yes	—
31	#2285	C₂²	1	3	yes	complemented
32	#1867	C₂²	1	48	yes	complemented
33	#1799	C₂²	1	12	yes	complemented
34	#1799	C₂²	1	12	yes	complemented
35	#1790	C₂²	1	16	yes	—
36	#1740	C₂²	1	6	yes	complemented
37	#585	—	2	12	no	—
38	#585	Q₈	1	8	yes	complemented
39	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	3	no	—
40	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	3	no	—
41	C₂×H(5,𝔽₂)	C₂³	1	4	yes	—
42	C₂²×#41	—	2	6	no	—
43	C₂²×#41	C₂³	1	3	yes	—
44	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	3	no	—
46	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	3	no	—
47	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	3	no	—
48	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	3	no	—
49	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	12	no	—
50	#520	—	2	12	no	—
51	#520	—	2	12	no	—
52	#520	—	2	12	no	—
53	#520	—	2	12	no	—
54	#520	—	2	6	no	—
55	#520	—	2	6	no	—
56	#519	—	2	12	no	—
57	#519	—	2	3	no	—
58	#518	—	2	12	no	—
59	#518	—	2	3	no	—
60	#518	—	2	12	no	—
61	#518	—	2	12	no	—
62	#518	C₂³	1	12	yes	—
63	C₄×#41	—	2	4	no	—
64	C₄×#41	—	2	12	no	—
65	C₄×#41	—	2	12	no	—
66	C₄×#41	—	2	12	no	—
67	C₄×#41	—	2	6	no	—
68	C₄×#41	—	2	12	no	—
69	C₄×#41	—	2	12	no	—
70	C₄×#41	—	2	12	no	—
71	C₄×#41	—	2	6	no	—
72	C₄×#41	—	2	6	no	—
73	C₄×#41	—	2	6	no	—
74	C₂×C₄×Q₈	—	2	6	no	—
75	C₂×C₄×Q₈	—	2	6	no	—
76	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	3	yes	—
77	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	3	yes	—
78	C₂×C₄×D₄	—	2	6	no	—
79	C₂×C₄×D₄	—	2	6	no	—
80	C₂×C₄×D₄	—	2	12	no	—
81	C₂×C₄×D₄	—	2	12	no	—
82	C₂×C₄×D₄	D₄	1	3	yes	—
83	C₂×C₄×D₄	D₄	1	3	yes	—
84	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	6	yes	—
85	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	6	yes	—
86	C₂×#117	—	2	12	no	—
87	C₂×#117	—	2	6	no	—
88	C₂×#117	D₄	1	6	yes	—
89	C₂×#117	C₂³	1	6	yes	—
90	C₂×#117	C₂³	1	3	yes	—
91	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
94	C₂²×C₄²	D₄	1	6	yes	—
95	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	#410	—	2	24	no	—
97	C₂×#99	C₂³	1	24	yes	—
98	#400	—	2	12	no	—
99	#399	—	2	12	no	—
100	#395	—	2	12	no	—
101	#393	—	2	12	no	—
102	#391	—	2	6	no	—
103	#391	—	2	12	no	—
104	#390	—	2	6	no	—
105	#389	—	2	12	no	—
106	#389	—	2	12	no	—
107	#386	C₂³	1	24	yes	—
108	#385	C₂³	1	24	yes	—
109	#384	—	2	6	no	—
110	#384	—	2	3	no	—
111	#382	—	2	6	no	—
112	#382	—	2	3	no	—
113	#380	—	2	12	no	—
114	#380	—	2	12	no	—
115	#380	C₂³	1	6	yes	—
116	#380	C₂³	1	6	yes	—
117	C₄×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
118	C₄×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
119	#342	C₂³	1	24	yes	—
120	2₋¹⁺⁴	—	2	24	no	—
121	2₋¹⁺⁴	—	2	24	no	—
122	H(5,𝔽₂)	—	2	24	no	—
123	H(5,𝔽₂)	—	2	24	no	—
124	H(5,𝔽₂)	—	2	24	no	—
125	H(5,𝔽₂)	C₂×Q₈	1	16	yes	—
126	C₂×#41	—	2	4	no	—
127	C₂×#41	—	2	12	no	—
128	C₂×#41	—	2	48	no	—
129	C₂×#41	—	2	48	no	—
130	C₂×#41	—	2	6	no	—
131	C₂×#41	—	2	12	no	—
132	C₂×#41	—	2	6	no	—
133	C₂×#41	—	2	12	no	—
134	C₂×#41	C₂×Q₈	1	12	yes	—
135	C₂×#41	#41	1	12	yes	—
136	C₂²×Q₈	—	2	6	no	—
137	C₂²×Q₈	—	2	6	no	—
138	C₂²×Q₈	—	2	6	no	—
139	C₂²×Q₈	—	8	4	no	—
140	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	3	yes	—
141	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
142	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
143	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
144	C₂²×D₄	C₂⁴	1	6	yes	—
145	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
146	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
147	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
148	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
149	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
150	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
151	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
152	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
153	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
154	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
155	C₄⋊Q₈	—	4	1	no	—
156	C₄⋊Q₈	—	4	3	no	—
157	C₄⋊Q₈	—	4	3	no	—
158	C₄⋊Q₈	—	4	3	no	—
159	C₄⋊Q₈	—	4	6	no	—
160	C₂²⋊Q₈	—	8	24	no	—
161	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
162	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
163	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
164	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
165	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
166	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
167	C₄×Q₈	—	2	6	no	—
168	C₄×Q₈	—	2	6	no	—
169	C₄×Q₈	—	2	6	no	—
170	C₄×Q₈	—	2	6	no	—
171	C₄×D₄	—	2	12	no	—
172	C₄×D₄	—	2	12	no	—
173	C₄×D₄	—	2	24	no	—
174	C₄×D₄	—	2	24	no	—
175	C₄×D₄	—	2	12	no	—
176	C₄×D₄	—	2	12	no	—
177	C₄×D₄	—	2	12	no	—
178	C₄×D₄	—	2	12	no	—
179	C₄×D₄	—	2	12	no	—
180	C₄×D₄	—	2	12	no	—
181	C₄×D₄	—	2	24	no	—
182	C₄×D₄	—	2	24	no	—
183	C₄×D₄	—	2	12	no	—
184	C₄×D₄	—	2	12	no	—
185	C₄×D₄	—	2	6	no	—
186	C₄×D₄	—	2	6	no	—
187	C₄×D₄	—	2	6	no	—
188	C₄×D₄	—	2	6	no	—
189	#117	—	2	12	no	—
190	#117	—	2	12	no	—
191	#117	—	2	24	no	—
192	#117	—	2	24	no	—
193	#117	—	2	6	no	—
194	#117	—	2	12	no	—
195	#117	—	2	6	no	—
196	#117	—	2	12	no	—
197	#117	—	2	12	no	—
198	#117	—	2	24	no	—
199	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
200	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
201	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
202	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
203	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
204	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
205	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
206	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
207	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
208	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
209	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
210	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
211	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
212	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
213	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
214	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
215	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
216	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
217	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
218	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
219	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
220	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
221	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
222	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
223	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
224	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
225	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
226	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
227	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
228	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
229	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
230	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
231	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	6	yes	—
232	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	6	yes	—
233	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	6	yes	—
234	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
235	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
236	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
237	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
238	#99	—	2	48	no	—
239	#95	—	2	6	no	—
240	#95	—	2	6	no	—
241	#95	—	2	24	no	—
242	#95	—	2	24	no	—
243	C₂⁴	—	2	4	no	—
244	C₂⁴	C₂²×D₄	1	6	yes	—
245	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
246	#41	—	2	32	no	—
247	#41	—	2	48	no	—
248	#41	—	2	96	no	—
249	#41	—	2	24	no	—
250	#41	—	2	48	no	—
251	#41	—	2	24	no	—
252	#41	—	2	24	no	—
253	#41	—	2	24	no	—
254	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
255	C₂×Q₈	—	2	48	no	—
256	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
257	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
258	C₂×Q₈	—	4	24	no	—
259	C₂×Q₈	—	4	6	no	—
260	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
261	C₂×Q₈	—	8	12	no	—
262	C₂×Q₈	C₂²⋊Q₈	1	12	yes	complemented
263	C₂×D₄	—	2	12	no	—
264	C₂×D₄	—	2	48	no	—
265	C₂×D₄	—	2	48	no	—
266	C₂×D₄	—	2	48	no	—
267	C₂×D₄	—	2	12	no	—
268	C₂×D₄	—	2	12	no	—
269	C₂×D₄	—	2	6	no	—
270	C₂×D₄	—	2	6	no	—
271	C₂×D₄	C₂²⋊Q₈	1	12	yes	complemented
272	C₂×D₄	C₂²×Q₈	1	12	yes	—
273	C₂×D₄	C₂×#41	1	12	yes	—
274	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
275	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
276	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
277	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
278	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
279	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
280	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
281	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
282	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
283	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
284	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
285	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
286	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
287	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
288	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
289	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
290	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
291	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
292	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
293	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
294	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	24	yes	complemented
295	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
296	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
297	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
298	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
299	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
300	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
301	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
302	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
303	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
304	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
305	C₂²×C₄	C₂×#41	1	6	yes	—
306	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
307	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
308	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
309	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
310	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
311	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
312	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
313	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
314	C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
315	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
316	C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
317	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
318	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
319	C₄⋊C₄	—	8	24	no	—
320	C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
321	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
322	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
323	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
324	C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
325	C₂²⋊C₄	—	8	24	no	—
326	C₄²	—	2	24	no	—
327	C₄²	—	2	6	no	—
328	C₄²	—	2	6	no	—
329	C₄²	—	2	6	no	—
330	C₄²	—	2	6	no	—
331	C₄²	—	2	6	no	—
332	C₄²	—	2	6	no	—
333	C₄²	—	4	12	no	—
334	C₄²	#120	1	1	yes	characteristic
335	C₄²	#120	1	3	yes	—
336	C₄²	#120	1	3	yes	—
337	C₄²	#120	1	3	yes	—
338	C₄²	#120	1	6	yes	—
339	C₂³	—	2	16	no	—
340	C₂³	—	2	6	no	—
341	C₂³	—	2	6	no	—
342	C₂³	—	4	1	no	—
343	C₂³	—	4	1	no	—
344	C₂³	—	4	6	no	—
345	C₂³	—	4	6	no	—
346	C₂³	—	8	4	no	—
347	C₂³	—	8	4	no	—
348	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	12	yes	—
349	C₂³	C₂³×D₄	1	3	yes	—
350	C₂³	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
351	C₂³	C₂²×#41	1	3	yes	—
352	Q₈	—	2	16	no	—
353	Q₈	—	2	24	no	—
354	Q₈	—	8	12	no	—
355	Q₈	—	8	4	no	—
356	D₄	—	2	48	no	—
357	D₄	—	2	24	no	—
358	D₄	—	2	24	no	—
359	D₄	—	2	24	no	—
360	C₂×C₄	—	2	48	no	—
361	C₂×C₄	—	2	6	no	—
362	C₂×C₄	—	2	6	no	—
363	C₂×C₄	—	2	24	no	—
364	C₂×C₄	—	2	24	no	—
365	C₂×C₄	—	2	6	no	—
366	C₂×C₄	—	2	6	no	—
367	C₂×C₄	—	2	6	no	—
368	C₂×C₄	—	2	6	no	—
369	C₂×C₄	—	4	3	no	—
370	C₂×C₄	—	4	3	no	—
371	C₂×C₄	—	4	12	no	—
372	C₂×C₄	—	4	12	no	—
373	C₂×C₄	—	4	6	no	—
374	C₂×C₄	—	4	6	no	—
375	C₂×C₄	—	4	12	no	—
376	C₂×C₄	—	4	24	no	—
377	C₂×C₄	—	4	12	no	—
378	C₂×C₄	—	4	4	no	—
379	C₂×C₄	—	4	12	no	—
380	C₂×C₄	—	8	6	no	—
381	C₂×C₄	—	8	6	no	—
382	C₂×C₄	—	8	12	no	—
383	C₂×C₄	—	8	12	no	—
384	C₂×C₄	C₂×#120	1	3	yes	—
385	C₂×C₄	C₂×#120	1	3	yes	—
386	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
387	C₂×C₄	C₂×#120	1	3	yes	—
388	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
389	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
390	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	12	yes	—
391	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	6	yes	—
392	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	6	yes	—
393	C₂×C₄	#525	1	6	yes	—
394	C₂×C₄	#525	1	6	yes	—
395	C₂²	—	2	3	no	—
396	C₂²	—	2	3	no	—
397	C₂²	—	2	12	no	—
398	C₂²	—	4	1	no	—
399	C₂²	—	4	3	no	—
400	C₂²	—	4	12	no	—
401	C₂²	—	4	6	no	—
402	C₂²	—	4	6	no	—
403	C₂²	—	8	6	no	—
404	C₂²	—	8	16	no	—
405	C₂²	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
406	C₂²	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	3	yes	—
407	C₂²	C₂×#525	1	3	yes	—
408	C₄	—	2	12	no	—
409	C₄	—	2	3	no	—
410	C₄	—	2	3	no	—
411	C₄	—	4	6	no	—
412	C₄	—	4	6	no	—
413	C₄	—	8	12	no	—
414	C₄	—	8	4	no	—
415	C₄	#2848	1	2	yes	—
416	C₄	#2848	1	6	yes	—
417	C₄	#3027	1	2	yes	—
418	C₄	#3028	1	2	yes	—
419	C₂	—	2	3	no	—
420	C₂	—	2	3	no	—
421	C₂	—	4	12	no	—
422	C₂	C₂×#2848	1	1	yes	characteristic
423	C₂	C₂×#3027	1	1	yes	characteristic
424	C₂	C₂×#3028	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂²×#120
commutator, Frattini, cosocle	C₂⁴	C₂⁵
prime radical	C₂×#585	C₂²
LCS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #35279	C₂	semidirect
3. #32976	C₂	semidirect
4. #32975	C₂	semidirect
5. #20890	C₂	semidirect
6. #20632	C₂	semidirect
9. C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	semidirect
27. #2487	C₂²	semidirect
28. #2409	C₂²	semidirect
29. #2317	C₂²	semidirect
31. #2285	C₂²	semidirect
32. #1867	C₂²	semidirect
33. #1799	C₂²	semidirect
34. #1799	C₂²	semidirect
36. #1740	C₂²	semidirect
38. #585	Q₈	semidirect
262. C₂×Q₈	C₂²⋊Q₈	semidirect
271. C₂×D₄	C₂²⋊Q₈	semidirect
294. C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₄×#585	2
#35279	2
#32976	2
#32975	2
#20890	2
#20632	2
#20610	2