Subgroups — #6629394

Order 512.

4107 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 428 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₄×#585	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#35138	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
3	#33023	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
4	#32976	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#32927	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#32901	C₂	1	2	yes	maximal
7	#21481	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
8	#20723	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
9	C₂×#585	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
11	C₄×2₋¹⁺⁴	—	2	3	no	—
12	C₄×2₋¹⁺⁴	—	2	3	no	—
13	C₄×H(5,𝔽₂)	—	2	3	no	—
14	C₄×H(5,𝔽₂)	—	2	3	no	—
15	C₄×H(5,𝔽₂)	C₂²	1	4	yes	—
16	C₄×H(5,𝔽₂)	C₂²	1	4	yes	—
17	#3428	—	2	6	no	—
18	#3428	C₂²	1	3	yes	—
19	C₂×C₄×#41	—	2	6	no	—
20	C₂×C₄×#41	C₂²	1	3	yes	—
21	C₂×#458	C₂²	1	8	yes	—
22	#2851	—	2	6	no	—
23	#2634	—	2	3	no	—
24	#2633	—	2	3	no	—
25	#2611	—	2	6	no	—
26	#2584	—	2	3	no	—
27	#2562	—	2	3	no	—
28	#2487	C₂²	1	6	yes	complemented
29	#2486	C₂²	1	6	yes	complemented
30	#2484	C₂²	1	6	yes	complemented
31	#2406	C₂²	1	6	yes	—
32	#2322	C₂²	1	12	yes	complemented
33	#2283	C₂²	1	3	yes	complemented
34	#1890	C₂²	1	24	yes	complemented
35	#1867	C₂²	1	24	yes	complemented
36	#1820	C₂²	1	6	yes	complemented
37	#1799	C₂²	1	12	yes	complemented
38	#1790	C₂²	1	8	yes	—
39	#1782	C₂²	1	6	yes	—
40	C₄×#99	C₂²	1	12	yes	complemented
41	#585	—	2	16	no	—
42	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	3	no	—
43	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	3	no	—
44	C₂×H(5,𝔽₂)	C₂³	1	4	yes	—
45	C₂²×#41	—	2	6	no	—
46	C₂²×#41	C₂³	1	3	yes	—
47	C₂×#125	—	2	3	no	—
48	C₂×#125	—	2	3	no	—
49	C₂×#125	—	2	3	no	—
50	C₂×#125	—	2	3	no	—
51	C₂×#123	C₂³	1	12	yes	—
52	#520	—	2	12	no	—
53	#520	—	2	12	no	—
54	#520	—	2	12	no	—
55	#520	—	2	12	no	—
56	#520	—	2	6	no	—
57	#520	—	2	6	no	—
58	#519	—	2	12	no	—
59	#519	—	2	3	no	—
60	#518	—	2	12	no	—
61	#518	—	2	3	no	—
62	#518	—	2	12	no	—
63	#518	—	2	12	no	—
64	#518	C₂³	1	12	yes	—
65	C₄×#41	—	2	4	no	—
66	C₄×#41	—	2	12	no	—
67	C₄×#41	—	2	12	no	—
68	C₄×#41	—	2	12	no	—
69	C₄×#41	—	2	6	no	—
70	C₄×#41	—	2	12	no	—
71	C₄×#41	—	2	12	no	—
72	C₄×#41	—	2	12	no	—
73	C₄×#41	—	2	6	no	—
74	C₄×#41	—	2	6	no	—
75	C₄×#41	—	2	6	no	—
76	C₂×C₄×Q₈	—	2	6	no	—
77	C₂×C₄×Q₈	—	2	6	no	—
78	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	3	yes	—
79	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	3	yes	—
80	C₂×C₄×D₄	—	2	6	no	—
81	C₂×C₄×D₄	—	2	6	no	—
82	C₂×C₄×D₄	—	2	12	no	—
83	C₂×C₄×D₄	—	2	12	no	—
84	C₂×C₄×D₄	D₄	1	3	yes	—
85	C₂×C₄×D₄	D₄	1	3	yes	—
86	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	6	yes	—
87	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	6	yes	—
88	C₂×#117	—	2	12	no	—
89	C₂×#117	—	2	6	no	—
90	C₂×#117	D₄	1	6	yes	—
91	C₂×#117	C₂³	1	3	yes	—
92	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
94	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
97	C₂²×C₄²	D₄	1	6	yes	—
98	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	#458	—	2	32	no	—
100	C₂×#99	C₂³	1	24	yes	—
101	#400	—	2	6	no	—
102	#400	—	2	6	no	—
103	#399	—	2	6	no	—
104	#398	—	2	6	no	—
105	#398	—	2	6	no	—
106	#397	—	2	6	no	—
107	#395	—	2	6	no	—
108	#394	—	2	6	no	—
109	#389	—	2	12	no	—
110	#389	—	2	6	no	—
111	#389	—	2	6	no	—
112	#388	—	2	12	no	—
113	#387	—	2	12	no	—
114	#387	—	2	12	no	—
115	#386	C₂³	1	12	yes	—
116	#385	—	2	12	no	—
117	#385	—	2	12	no	—
118	#385	C₂³	1	12	yes	—
119	#383	—	2	3	no	—
120	#382	—	2	3	no	—
121	#381	C₂³	1	12	yes	—
122	#381	C₂³	1	6	yes	—
123	#380	—	2	6	no	—
124	#380	—	2	6	no	—
125	#380	C₂³	1	6	yes	—
126	C₄×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
127	C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
128	#376	—	2	3	no	—
129	#342	C₂³	1	24	yes	—
130	2₋¹⁺⁴	—	2	48	no	—
131	H(5,𝔽₂)	—	2	48	no	—
132	H(5,𝔽₂)	—	2	24	no	—
133	H(5,𝔽₂)	#41	1	16	yes	—
134	C₂×#41	—	2	4	no	—
135	C₂×#41	—	2	12	no	—
136	C₂×#41	—	2	48	no	—
137	C₂×#41	—	2	48	no	—
138	C₂×#41	—	2	24	no	—
139	C₂×#41	—	2	6	no	—
140	C₂×#41	—	2	12	no	—
141	C₂×#41	—	2	6	no	—
142	C₂²×Q₈	—	2	6	no	—
143	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	3	yes	—
144	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
145	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
146	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
147	C₂²×D₄	C₂⁴	1	6	yes	—
148	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
149	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
150	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
151	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
152	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
153	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
154	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
155	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
156	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
157	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
158	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
159	#125	—	4	1	no	—
160	#125	—	4	3	no	—
161	#125	—	4	3	no	—
162	#125	—	4	3	no	—
163	#125	—	4	6	no	—
164	#123	—	2	48	no	—
165	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
166	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
167	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
168	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
169	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
170	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
171	C₄×Q₈	—	2	6	no	—
172	C₄×Q₈	—	2	6	no	—
173	C₄×Q₈	—	2	6	no	—
174	C₄×Q₈	—	2	6	no	—
175	C₄×D₄	—	2	12	no	—
176	C₄×D₄	—	2	12	no	—
177	C₄×D₄	—	2	24	no	—
178	C₄×D₄	—	2	24	no	—
179	C₄×D₄	—	2	12	no	—
180	C₄×D₄	—	2	12	no	—
181	C₄×D₄	—	2	12	no	—
182	C₄×D₄	—	2	12	no	—
183	C₄×D₄	—	2	12	no	—
184	C₄×D₄	—	2	12	no	—
185	C₄×D₄	—	2	24	no	—
186	C₄×D₄	—	2	24	no	—
187	C₄×D₄	—	2	12	no	—
188	C₄×D₄	—	2	12	no	—
189	C₄×D₄	—	2	6	no	—
190	C₄×D₄	—	2	6	no	—
191	C₄×D₄	—	2	6	no	—
192	C₄×D₄	—	2	6	no	—
193	#117	—	2	12	no	—
194	#117	—	2	12	no	—
195	#117	—	2	24	no	—
196	#117	—	2	24	no	—
197	#117	—	2	6	no	—
198	#117	—	2	12	no	—
199	#117	—	2	6	no	—
200	#117	—	2	12	no	—
201	#117	—	2	12	no	—
202	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
203	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
204	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
205	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
206	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
207	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
208	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
209	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
210	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
211	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
212	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
213	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
214	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
215	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
216	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
217	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
218	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
219	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
220	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
221	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
222	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
223	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
224	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
225	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
226	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
227	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
228	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
229	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
230	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
231	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
232	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
233	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
234	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
235	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
236	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
237	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
238	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	6	yes	—
239	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	6	yes	—
240	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	6	yes	—
241	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
242	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
243	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
244	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
245	#99	—	2	48	no	—
246	#95	—	2	6	no	—
247	#95	—	2	6	no	—
248	#95	—	2	6	no	—
249	#95	—	2	6	no	—
250	#95	—	2	12	no	—
251	#95	—	2	12	no	—
252	#95	—	2	12	no	—
253	#95	—	2	12	no	—
254	C₂⁴	—	2	4	no	—
255	C₂⁴	C₂²×D₄	1	6	yes	—
256	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
257	#41	—	2	32	no	—
258	#41	—	2	48	no	—
259	#41	—	2	96	no	—
260	#41	—	2	48	no	—
261	#41	—	2	48	no	—
262	#41	—	2	48	no	—
263	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
264	C₂×Q₈	—	2	48	no	—
265	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
266	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
267	C₂×D₄	—	2	12	no	—
268	C₂×D₄	—	2	48	no	—
269	C₂×D₄	—	2	48	no	—
270	C₂×D₄	—	2	48	no	—
271	C₂×D₄	—	2	12	no	—
272	C₂×D₄	—	2	12	no	—
273	C₂×D₄	—	2	12	no	—
274	C₂×D₄	—	2	6	no	—
275	C₂×D₄	C₂×#41	1	24	yes	—
276	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
277	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
278	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
279	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
281	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
282	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
283	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
284	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
285	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
286	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
287	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
288	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
289	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
290	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
291	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
292	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
293	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
294	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
295	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
296	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
297	C₂²×C₄	—	8	6	no	—
298	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
299	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
300	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
301	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
302	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
303	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
304	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
305	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
306	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
307	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
308	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
309	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
310	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
311	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
312	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
313	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
314	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
315	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
316	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
317	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
318	C₄⋊C₄	—	4	3	no	—
319	C₄⋊C₄	—	4	3	no	—
320	C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
321	C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
322	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
323	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
324	C₄⋊C₄	—	4	24	no	—
325	C₄⋊C₄	—	8	12	no	—
326	C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
327	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
328	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
329	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
330	C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
331	C₂²⋊C₄	—	4	24	no	—
332	C₂²⋊C₄	—	8	12	no	—
333	C₄²	—	2	24	no	—
334	C₄²	—	2	6	no	—
335	C₄²	—	2	6	no	—
336	C₄²	—	2	6	no	—
337	C₄²	—	2	6	no	—
338	C₄²	—	2	6	no	—
339	C₄²	—	2	6	no	—
340	C₄²	—	8	6	no	—
341	C₄²	#120	1	1	yes	characteristic
342	C₄²	#120	1	3	yes	—
343	C₄²	#120	1	3	yes	—
344	C₄²	#120	1	3	yes	—
345	C₄²	#120	1	6	yes	—
346	C₂³	—	2	16	no	—
347	C₂³	—	2	6	no	—
348	C₂³	—	2	6	no	—
349	C₂³	—	4	1	no	—
350	C₂³	—	4	1	no	—
351	C₂³	—	4	6	no	—
352	C₂³	—	4	6	no	—
353	C₂³	—	8	4	no	—
354	C₂³	—	8	4	no	—
355	C₂³	#525	1	12	yes	—
356	C₂³	C₂³×D₄	1	3	yes	—
357	C₂³	C₂²×#41	1	4	yes	—
358	Q₈	—	2	24	no	—
359	Q₈	—	2	16	no	—
360	D₄	—	2	24	no	—
361	D₄	—	2	48	no	—
362	D₄	—	2	48	no	—
363	C₂×C₄	—	2	24	no	—
364	C₂×C₄	—	2	24	no	—
365	C₂×C₄	—	2	48	no	—
366	C₂×C₄	—	2	6	no	—
367	C₂×C₄	—	2	6	no	—
368	C₂×C₄	—	2	6	no	—
369	C₂×C₄	—	2	6	no	—
370	C₂×C₄	—	2	6	no	—
371	C₂×C₄	—	2	6	no	—
372	C₂×C₄	—	2	6	no	—
373	C₂×C₄	—	4	3	no	—
374	C₂×C₄	—	4	3	no	—
375	C₂×C₄	—	4	3	no	—
376	C₂×C₄	—	4	12	no	—
377	C₂×C₄	—	4	12	no	—
378	C₂×C₄	—	4	6	no	—
379	C₂×C₄	—	4	6	no	—
380	C₂×C₄	—	4	12	no	—
381	C₂×C₄	—	4	6	no	—
382	C₂×C₄	—	4	12	no	—
383	C₂×C₄	—	4	6	no	—
384	C₂×C₄	—	4	2	no	—
385	C₂×C₄	—	4	2	no	—
386	C₂×C₄	—	4	12	no	—
387	C₂×C₄	—	4	12	no	—
388	C₂×C₄	—	8	6	no	—
389	C₂×C₄	—	8	6	no	—
390	C₂×C₄	—	8	12	no	—
391	C₂×C₄	—	8	12	no	—
392	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
393	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
394	C₂×C₄	C₂×#120	1	3	yes	—
395	C₂×C₄	C₂×#120	1	3	yes	—
396	C₂×C₄	C₂×#120	1	3	yes	—
397	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
398	C₂×C₄	#525	1	12	yes	—
399	C₂²	—	2	3	no	—
400	C₂²	—	2	3	no	—
401	C₂²	—	2	12	no	—
402	C₂²	—	4	4	no	—
403	C₂²	—	4	12	no	—
404	C₂²	—	4	6	no	—
405	C₂²	—	4	6	no	—
406	C₂²	—	8	6	no	—
407	C₂²	—	8	16	no	—
408	C₂²	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
409	C₂²	C₂×#525	1	6	yes	—
410	C₄	—	2	1	no	—
411	C₄	—	2	3	no	—
412	C₄	—	2	12	no	—
413	C₄	—	2	3	no	—
414	C₄	—	2	1	no	—
415	C₄	—	2	3	no	—
416	C₄	—	4	6	no	—
417	C₄	—	4	6	no	—
418	C₄	—	8	12	no	—
419	C₄	—	8	2	no	—
420	C₄	—	8	2	no	—
421	C₄	#3028	1	2	yes	—
422	C₂	—	2	6	no	—
423	C₂	—	4	12	no	—
424	C₂	#36614	1	1	yes	characteristic
425	C₂	C₂×#3028	1	1	yes	characteristic
426	C₂	#60398	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂²×#120
commutator, Frattini, cosocle	C₂⁴	C₂⁵
prime radical	C₂×#585	C₂²
LCS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #35138	C₂	semidirect
3. #33023	C₂	semidirect
4. #32976	C₂	semidirect
5. #32927	C₂	semidirect
7. #21481	C₂	semidirect
8. #20723	C₂	semidirect
10. C₂²×#125	C₂²	semidirect
28. #2487	C₂²	semidirect
29. #2486	C₂²	semidirect
30. #2484	C₂²	semidirect
32. #2322	C₂²	semidirect
33. #2283	C₂²	semidirect
34. #1890	C₂²	semidirect
35. #1867	C₂²	semidirect
36. #1820	C₂²	semidirect
37. #1799	C₂²	semidirect
40. C₄×#99	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₄×#585	2
#35138	2
#33023	2
#32976	2
#32927	2
#32901	2
#21481	2
#20723	2