Subgroups — #6629595

Order 512.

2244 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 414 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2860	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₄²×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#33081	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
4	#33080	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
5	#33079	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#33078	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#21060	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
8	#21034	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
9	#20928	C₂	1	3	yes	maximal
10	#20875	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
11	#20772	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×#126	—	2	1	no	—
14	C₂×C₄×#41	C₂²	1	3	yes	—
15	C₂×#428	C₂²	1	3	yes	—
16	C₂×#417	C₂²	1	3	yes	—
17	C₂×#418	C₂²	1	3	yes	—
18	#2860	—	2	1	no	—
19	#2860	—	2	3	no	—
20	#2860	C₂²	1	2	yes	—
21	#2860	C₂²	1	6	yes	—
22	C₂×#390	C₂²	1	3	yes	—
23	C₂×#389	C₂²	1	3	yes	—
24	C₂×#388	—	2	3	no	—
25	C₄²×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
26	C₄²×Q₈	C₂²	1	3	yes	complemented
27	C₄²×D₄	—	2	1	no	—
28	C₄²×D₄	—	2	3	no	—
29	C₄²×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
30	C₄²×D₄	C₂²	1	3	yes	complemented
31	C₄×#117	—	2	3	no	—
32	C₄×#117	C₂²	1	3	yes	—
33	C₂×C₄³	—	2	1	no	—
34	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#1926	C₂²	1	6	yes	—
36	#1926	C₂²	1	6	yes	—
37	#1925	C₂²	1	6	yes	—
38	#1925	C₂²	1	6	yes	—
39	#1921	C₂²	1	6	yes	complemented
40	#1920	C₂²	1	6	yes	complemented
41	#1919	C₂²	1	6	yes	complemented
42	#1918	C₂²	1	6	yes	complemented
43	#1880	C₂²	1	6	yes	—
44	#1880	C₂²	1	6	yes	—
45	#1879	C₂²	1	6	yes	—
46	#1879	C₂²	1	6	yes	—
47	#1865	C₂²	1	6	yes	complemented
48	#1864	C₂²	1	6	yes	complemented
49	#1863	C₂²	1	6	yes	complemented
50	#1862	C₂²	1	6	yes	complemented
51	#1839	C₂²	1	2	yes	complemented
52	#1839	C₂²	1	6	yes	complemented
53	#1736	C₂²	1	3	yes	—
54	#1736	C₂²	1	3	yes	—
55	#1728	C₂²	1	3	yes	—
56	#1728	C₂²	1	3	yes	—
57	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂³×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	12	no	—
60	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂²×M₁₆	C₂³	1	3	yes	—
63	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂×#126	—	2	6	no	—
65	C₂×#126	—	2	2	no	—
66	C₂×#126	—	4	8	no	—
67	C₄×#41	—	2	12	no	—
68	C₄×#41	—	2	12	no	—
69	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	3	yes	—
70	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	3	yes	—
71	C₂×C₄×D₄	—	2	3	no	—
72	C₂×C₄×D₄	—	2	3	no	—
73	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	3	yes	—
74	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	3	yes	—
75	C₂×#117	—	2	3	no	—
76	C₂×#117	C₂³	1	3	yes	—
77	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
78	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
79	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
80	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
81	C₂²×C₄²	—	2	3	no	—
82	C₂²×C₄²	—	2	3	no	—
83	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
84	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂²×C₄²	D₄	1	3	yes	—
86	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
87	#428	—	2	12	no	—
88	C₂×#107	C₂³	1	6	yes	—
89	C₂×#106	C₂³	1	6	yes	—
90	#418	—	2	12	no	—
91	#417	—	2	12	no	—
92	C₂×#103	C₂³	1	6	yes	—
93	C₂×#102	C₂³	1	6	yes	—
94	C₂×#102	C₂³	1	6	yes	—
95	C₂×#102	C₂³	1	6	yes	—
96	#390	—	2	3	no	—
97	#390	—	2	3	no	—
98	#390	C₂³	1	6	yes	—
99	#390	C₂³	1	6	yes	—
100	#389	—	2	3	no	—
101	#389	—	2	3	no	—
102	#389	C₂³	1	6	yes	—
103	#389	C₂³	1	6	yes	—
104	#388	—	2	6	no	—
105	#388	—	2	6	no	—
106	#388	—	2	6	no	—
107	#388	—	2	6	no	—
108	C₄×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
109	C₄×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
110	C₄×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
111	C₄×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
112	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
113	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
114	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
115	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
116	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
117	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
118	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
119	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
120	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
121	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
122	#376	—	2	3	no	—
123	C₂×#95	—	2	3	no	—
124	C₄³	—	2	3	no	—
125	C₄³	—	2	3	no	—
126	C₄³	—	2	1	no	—
127	C₄³	D₄	1	1	yes	characteristic
128	C₄³	D₄	1	3	yes	—
129	C₄³	C₂³	1	3	yes	—
130	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
131	#340	C₂³	1	6	yes	—
132	#340	C₂³	1	6	yes	—
133	#340	C₂³	1	6	yes	—
134	#340	C₂³	1	6	yes	—
135	#336	C₂³	1	6	yes	—
136	#336	C₂³	1	6	yes	—
137	#336	C₂³	1	6	yes	—
138	#336	C₂³	1	6	yes	—
139	C₂⁵	—	2	1	no	—
140	C₂×#41	—	2	6	no	—
141	C₂×#41	#41	1	12	yes	—
142	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
143	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
144	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
145	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
146	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
147	C₂²×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
148	C₂²×D₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
149	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
150	C₂³×C₄	—	2	3	no	—
151	C₂³×C₄	—	2	3	no	—
152	C₂³×C₄	—	2	3	no	—
153	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
154	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
155	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
156	AGL(1,ℤ/8)	—	4	16	no	—
157	C₂×SD₁₆	—	2	12	no	—
158	C₂×D₈	—	2	12	no	—
159	C₂×M₁₆	—	2	6	no	—
160	C₂×M₁₆	—	2	6	no	—
161	C₂×M₁₆	—	2	6	no	—
162	C₂×M₁₆	—	2	6	no	—
163	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
164	C₂²×C₈	C₂⁴	1	6	yes	—
165	#126	—	4	24	no	—
166	#126	—	4	8	no	—
167	C₄×Q₈	—	2	6	no	—
168	C₄×Q₈	—	2	6	no	—
169	C₄×Q₈	—	2	6	no	—
170	C₄×Q₈	—	2	6	no	—
171	C₄×D₄	—	2	24	no	—
172	C₄×D₄	—	2	24	no	—
173	C₄×D₄	—	2	6	no	—
174	C₄×D₄	—	2	6	no	—
175	C₄×D₄	—	2	6	no	—
176	C₄×D₄	—	2	6	no	—
177	#117	—	2	24	no	—
178	#117	—	2	6	no	—
179	#117	#41	1	12	yes	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
189	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
190	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
191	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
192	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
193	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
194	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
195	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
196	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
197	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
198	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
199	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
200	C₂×C₄²	—	2	24	no	—
201	C₂×C₄²	—	2	3	no	—
202	C₂×C₄²	—	2	3	no	—
203	C₂×C₄²	—	2	3	no	—
204	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
205	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
206	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
207	C₂×C₄²	—	2	3	no	—
208	C₂×C₄²	—	2	3	no	—
209	C₂×C₄²	—	2	3	no	—
210	C₂×C₄²	—	2	3	no	—
211	C₂×C₄²	—	4	6	no	—
212	C₂×C₄²	—	4	12	no	—
213	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
214	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
215	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
216	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
217	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
218	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
219	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
220	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
221	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
223	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
224	#107	—	2	12	no	—
225	#106	—	2	12	no	—
226	#103	—	2	12	no	—
227	#102	—	2	12	no	—
228	#102	—	2	12	no	—
229	#102	—	2	12	no	—
230	#95	—	2	6	no	—
231	#95	—	2	6	no	—
232	#95	—	2	3	no	—
233	#95	—	2	3	no	—
234	#95	—	2	3	no	—
235	#95	—	2	3	no	—
236	C₂⁴	—	2	1	no	—
237	C₂⁴	—	2	2	no	—
238	C₂⁴	—	4	2	no	—
239	C₂⁴	—	4	6	no	—
240	C₂⁴	—	4	6	no	—
241	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
242	#41	—	2	24	no	—
243	#41	#126	1	16	yes	complemented
244	C₂×Q₈	—	2	3	no	—
245	C₂×Q₈	C₂×#41	1	6	yes	—
246	C₂×D₄	—	2	12	no	—
247	C₂×D₄	—	2	3	no	—
248	C₂×D₄	—	2	6	no	—
249	C₂×D₄	—	2	6	no	—
250	C₂×D₄	—	4	6	no	—
251	C₂×D₄	—	4	4	no	—
252	C₂×D₄	—	4	12	no	—
253	C₂×D₄	C₂×#41	1	6	yes	—
254	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
260	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
261	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
262	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
263	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
264	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
265	C₂²×C₄	—	4	3	no	—
266	C₂²×C₄	—	4	3	no	—
267	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
268	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
269	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
270	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
271	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
272	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
273	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
274	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
275	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
276	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
277	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
278	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
279	C₂²×C₄	C₂×#41	1	6	yes	—
280	C₂²×C₄	C₂×#41	1	6	yes	—
281	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
282	SD₁₆	—	4	8	no	—
283	D₈	—	4	8	no	—
284	M₁₆	—	4	4	no	—
285	M₁₆	—	4	12	no	—
286	C₂×C₈	—	2	6	no	—
287	C₂×C₈	—	2	6	no	—
288	C₂×C₈	—	2	6	no	—
289	C₂×C₈	—	2	6	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
293	C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
294	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
295	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
296	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
297	C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
298	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
299	C₄⋊C₄	C₂×#41	1	6	yes	—
300	C₄⋊C₄	C₂×#41	1	6	yes	—
301	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
302	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
303	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
304	C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
306	C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
308	C₄²	—	2	12	no	—
309	C₄²	—	2	12	no	—
310	C₄²	—	2	6	no	—
311	C₄²	—	2	12	no	—
312	C₄²	—	2	6	no	—
313	C₄²	—	2	6	no	—
314	C₄²	—	2	6	no	—
315	C₄²	—	2	6	no	—
316	C₄²	—	2	3	no	—
317	C₄²	—	2	3	no	—
318	C₄²	—	2	3	no	—
319	C₄²	—	2	3	no	—
320	C₄²	—	4	3	no	—
321	C₄²	—	4	3	no	—
322	C₄²	—	4	6	no	—
323	C₄²	—	4	6	no	—
324	C₄²	—	4	6	no	—
325	C₄²	—	4	6	no	—
326	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	complemented
327	C₂³	—	2	1	no	—
328	C₂³	—	2	3	no	—
329	C₂³	—	2	6	no	—
330	C₂³	—	4	1	no	—
331	C₂³	—	4	3	no	—
332	C₂³	—	4	6	no	—
333	C₂³	—	4	2	no	—
334	C₂³	—	4	6	no	—
335	C₂³	—	8	12	no	—
336	C₂³	—	8	12	no	—
337	C₂³	—	8	4	no	—
338	C₂³	#525	1	6	yes	—
339	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
340	Q₈	—	2	6	no	—
341	Q₈	C₂×#126	1	4	yes	complemented
342	D₄	—	2	16	no	—
343	D₄	—	2	6	no	—
344	D₄	—	4	2	no	—
345	D₄	—	4	6	no	—
346	D₄	—	8	4	no	—
347	D₄	C₂×#126	1	4	yes	complemented
348	C₂×C₄	—	2	3	no	—
349	C₂×C₄	—	2	3	no	—
350	C₂×C₄	—	2	6	no	—
351	C₂×C₄	—	2	3	no	—
352	C₂×C₄	—	2	3	no	—
353	C₂×C₄	—	2	16	no	—
354	C₂×C₄	—	2	3	no	—
355	C₂×C₄	—	2	3	no	—
356	C₂×C₄	—	2	6	no	—
357	C₂×C₄	—	2	6	no	—
358	C₂×C₄	—	2	3	no	—
359	C₂×C₄	—	2	3	no	—
360	C₂×C₄	—	2	3	no	—
361	C₂×C₄	—	2	3	no	—
362	C₂×C₄	—	4	12	no	—
363	C₂×C₄	—	4	12	no	—
364	C₂×C₄	—	4	24	no	—
365	C₂×C₄	—	4	24	no	—
366	C₂×C₄	—	4	3	no	—
367	C₂×C₄	—	4	3	no	—
368	C₂×C₄	—	4	3	no	—
369	C₂×C₄	—	4	3	no	—
370	C₂×C₄	—	4	6	no	—
371	C₂×C₄	—	4	6	no	—
372	C₂×C₄	—	4	6	no	—
373	C₂×C₄	—	8	12	no	—
374	C₂×C₄	#525	1	6	yes	—
375	C₂×C₄	C₂×#126	1	4	yes	—
376	C₂×C₄	#529	1	12	yes	—
377	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	6	yes	—
378	C₂×C₄	#575	1	6	yes	—
379	C₂×C₄	C₂²×#41	1	3	yes	—
380	C₂×C₄	C₂²×#41	1	3	yes	—
381	C₈	—	4	2	no	—
382	C₈	—	4	6	no	—
383	C₂²	—	2	6	no	—
384	C₂²	—	2	6	no	—
385	C₂²	—	2	4	no	—
386	C₂²	—	4	6	no	—
387	C₂²	—	4	6	no	—
388	C₂²	—	8	2	no	—
389	C₂²	—	8	6	no	—
390	C₂²	—	8	6	no	—
391	C₂²	—	16	8	no	—
392	C₂²	#2852	1	4	yes	—
393	C₂²	C₂×#525	1	3	yes	—
394	C₂²	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
395	C₂²	C₂×#575	1	3	yes	—
396	C₄	—	2	4	no	—
397	C₄	—	2	6	no	—
398	C₄	—	2	6	no	—
399	C₄	—	4	3	no	—
400	C₄	—	4	6	no	—
401	C₄	—	4	3	no	—
402	C₄	—	4	6	no	—
403	C₄	—	8	6	no	—
404	C₄	#2852	1	4	yes	—
405	C₄	C₂²×#126	1	1	yes	characteristic
406	C₄	C₂×#529	1	3	yes	—
407	C₂	—	2	4	no	—
408	C₂	—	4	4	no	—
409	C₂	—	16	2	no	—
410	C₂	C₂×#2852	1	1	yes	characteristic
411	C₂	#60561	1	3	yes	—
412	C₂	#60563	1	3	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#2860	C₂	semidirect
2. C₄²×#41	C₂	semidirect
3. #33081	C₂	semidirect
4. #33080	C₂	semidirect
5. #33079	C₂	semidirect
6. #33078	C₂	semidirect
7. #21060	C₂	semidirect
8. #21034	C₂	semidirect
10. #20875	C₂	semidirect
11. #20772	C₂	semidirect
25. C₄²×Q₈	C₂²	semidirect
26. C₄²×Q₈	C₂²	semidirect
29. C₄²×D₄	C₂²	semidirect
30. C₄²×D₄	C₂²	semidirect
39. #1921	C₂²	semidirect
40. #1920	C₂²	semidirect
41. #1919	C₂²	semidirect
42. #1918	C₂²	semidirect
47. #1865	C₂²	semidirect
48. #1864	C₂²	semidirect
49. #1863	C₂²	semidirect
50. #1862	C₂²	semidirect
51. #1839	C₂²	semidirect
52. #1839	C₂²	semidirect
243. #41	#126	semidirect
326. C₄²	AGL(1,ℤ/8)	semidirect
341. Q₈	C₂×#126	semidirect
347. D₄	C₂×#126	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2860	2
C₄²×#41	2
#33081	2
#33080	2
#33079	2
#33078	2
#21060	2
#21034	2
#20928	2
#20875	2
#20772	2