Subgroups — #6630000

Order 512.

3504 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 317 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3040	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
2	C₂×#3038	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
3	C₂×#2657	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#33999	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#33167	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#33166	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#21261	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
8	#21260	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
9	#20792	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×#137	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	3	yes	—
12	C₂²×#127	C₂²	1	3	yes	—
13	C₂²×#124	C₂²	1	3	yes	—
14	C₂×C₄×#41	C₂²	1	3	yes	—
15	#3040	—	2	24	no	—
16	#3038	—	2	24	no	—
17	C₂×#464	C₂²	1	12	yes	complemented
18	C₂×#460	C₂²	1	12	yes	complemented
19	C₂×#463	C₂²	1	12	yes	complemented
20	C₂×#459	C₂²	1	12	yes	complemented
21	C₂×#423	C₂²	1	3	yes	—
22	C₂×#423	C₂²	1	3	yes	—
23	C₂×#419	C₂²	1	3	yes	—
24	C₂×#418	C₂²	1	3	yes	—
25	C₂×#418	C₂²	1	6	yes	—
26	#2657	—	2	1	no	—
27	#2657	—	2	3	no	—
28	#2657	C₂²	1	8	yes	—
29	C₂×#392	—	2	4	no	—
30	#2276	C₂²	1	4	yes	complemented
31	#2275	—	2	4	no	—
32	#2275	C₂²	1	4	yes	complemented
33	C₄×#117	—	2	3	no	—
34	C₄×#117	C₂²	1	3	yes	—
35	C₂×#376	—	2	1	no	—
36	C₂×#376	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1983	C₂²	1	24	yes	complemented
38	#1982	C₂²	1	24	yes	complemented
39	#1843	C₂²	1	8	yes	complemented
40	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂³×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂³×D₄	—	2	6	no	—
43	C₂³×D₄	C₂³	1	3	yes	—
44	C₂×#137	—	2	12	no	—
45	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	24	no	—
46	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	12	no	—
47	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	6	yes	—
50	C₂²×D₈	C₂³	1	6	yes	—
51	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×M₁₆	C₂³	1	3	yes	—
53	C₂×#127	—	2	12	no	—
54	C₂×#127	—	2	3	no	—
55	C₂×#127	—	2	3	no	—
56	C₂×#127	—	2	12	no	—
57	C₂×#127	C₂³	1	12	yes	—
58	C₂×#124	—	2	3	no	—
59	C₂×#124	—	2	3	no	—
60	C₂×#124	—	2	12	no	—
61	C₂×#124	—	2	12	no	—
62	C₂×#124	C₂³	1	12	yes	—
63	C₄×#41	—	2	12	no	—
64	C₄×#41	D₄	1	24	yes	complemented
65	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	6	yes	—
66	C₂×C₄×D₄	—	2	6	no	—
67	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	6	yes	—
68	C₂×#117	—	2	3	no	—
69	C₂×#117	C₂³	1	3	yes	—
70	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
71	C₂²×C₄²	—	2	3	no	—
72	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
73	#464	—	2	48	no	—
74	#463	—	2	48	no	—
75	#460	—	2	48	no	—
76	#459	—	2	48	no	—
77	#423	—	2	12	no	—
78	#423	—	2	12	no	—
79	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	12	yes	—
80	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	12	yes	—
81	#419	—	2	12	no	—
82	#418	—	2	24	no	—
83	#418	—	2	12	no	—
84	C₂×#103	C₂³	1	12	yes	—
85	C₂×#102	C₂³	1	12	yes	—
86	C₂×#102	C₂³	1	24	yes	—
87	#392	—	2	8	no	—
88	#392	—	2	24	no	—
89	C₄×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
90	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
91	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
92	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
93	#376	—	2	3	no	—
94	#376	—	2	4	no	—
95	#376	D₄	1	1	yes	characteristic
96	#376	D₄	1	3	yes	—
97	#376	C₂³	1	4	yes	—
98	C₂×#95	—	2	4	no	—
99	C₂×#95	D₄	1	4	yes	—
100	C₄³	—	2	3	no	—
101	C₂⁵	—	2	3	no	—
102	C₂×#41	—	2	6	no	—
103	C₂×#41	C₂×D₄	1	12	yes	—
104	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
105	C₂²×Q₈	—	2	6	no	—
106	C₂²×Q₈	—	2	6	no	—
107	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
108	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
109	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
110	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
111	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	3	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
117	C₂²×D₄	—	4	24	no	—
118	C₂²×D₄	—	8	24	no	—
119	C₂²×D₄	C₂⁴	1	6	yes	—
120	C₂²×D₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
121	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
122	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
123	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
124	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
125	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
126	#137	—	4	16	no	—
127	AGL(1,ℤ/8)	—	4	48	no	—
128	C₂×Q₁₆	—	2	12	no	—
129	C₂×SD₁₆	—	2	24	no	—
130	C₂×SD₁₆	—	2	12	no	—
131	C₂×SD₁₆	—	2	12	no	—
132	C₂×D₈	—	2	24	no	—
133	C₂×D₈	—	2	12	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	12	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	6	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	6	no	—
137	C₂²×C₈	C₂⁴	1	6	yes	—
138	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
139	#127	—	2	24	no	—
140	#127	—	2	24	no	—
141	#127	—	4	12	no	—
142	#127	—	4	12	no	—
143	#124	—	2	24	no	—
144	#124	—	2	24	no	—
145	#124	—	4	12	no	—
146	#124	—	4	12	no	—
147	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
148	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	24	yes	complemented
149	C₄×D₄	—	2	48	no	—
150	C₄×D₄	—	2	12	no	—
151	C₄×D₄	C₂×D₄	1	24	yes	complemented
152	#117	—	2	6	no	—
153	#117	—	2	24	no	—
154	#117	C₂×D₄	1	12	yes	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	24	no	—
162	C₂×C₄²	—	2	3	no	—
163	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
164	C₂×C₄²	—	2	24	no	—
165	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
166	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
167	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
168	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	12	yes	—
169	C₂×C₄²	#41	1	12	yes	—
170	C₂×C₄²	C₂⁴	1	6	yes	—
171	C₄⋊C₈	—	2	24	no	—
172	C₄⋊C₈	—	2	24	no	—
173	#103	—	2	24	no	—
174	#102	—	2	48	no	—
175	#102	—	2	24	no	—
176	#95	—	2	12	no	—
177	#95	C₂×D₄	1	4	yes	—
178	#95	C₂×D₄	1	12	yes	—
179	C₂⁴	—	2	1	no	—
180	C₂⁴	—	2	6	no	—
181	C₂⁴	—	4	24	no	—
182	C₂⁴	—	4	6	no	—
183	C₂⁴	—	4	12	no	—
184	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
185	#41	—	2	24	no	—
186	#41	#127	1	16	yes	—
187	C₂×Q₈	—	2	3	no	—
188	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
189	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
190	C₂×Q₈	—	4	6	no	—
191	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
192	C₂×Q₈	—	4	12	no	—
193	C₂×Q₈	C₂²×D₄	1	6	yes	—
194	C₂×D₄	—	2	12	no	—
195	C₂×D₄	—	2	6	no	—
196	C₂×D₄	—	2	12	no	—
197	C₂×D₄	—	2	3	no	—
198	C₂×D₄	—	2	6	no	—
199	C₂×D₄	—	2	12	no	—
200	C₂×D₄	—	4	6	no	—
201	C₂×D₄	—	4	24	no	—
202	C₂×D₄	—	4	24	no	—
203	C₂×D₄	—	4	12	no	—
204	C₂×D₄	—	4	12	no	—
205	C₂×D₄	—	4	12	no	—
206	C₂×D₄	—	4	24	no	—
207	C₂×D₄	—	8	24	no	—
208	C₂×D₄	—	8	24	no	—
209	C₂×D₄	—	8	96	no	—
210	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
211	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
218	C₂²×C₄	—	8	12	no	—
219	C₂²×C₄	#121	1	24	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂×#41	1	6	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
226	Q₁₆	—	4	8	no	—
227	SD₁₆	—	4	24	no	—
228	SD₁₆	—	4	8	no	—
229	D₈	—	4	24	no	—
230	M₁₆	—	4	12	no	—
231	M₁₆	—	4	4	no	—
232	C₂×C₈	—	2	12	no	—
233	C₂×C₈	—	2	6	no	—
234	C₂×C₈	—	2	6	no	—
235	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
236	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
237	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
238	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
239	C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
240	C₂²⋊C₄	—	4	24	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	4	24	no	—
242	C₄²	—	2	12	no	—
243	C₄²	—	2	24	no	—
244	C₄²	—	8	12	no	—
245	C₄²	#121	1	12	yes	—
246	C₄²	#121	1	12	yes	—
247	C₄²	C₂²×D₄	1	12	yes	—
248	C₄²	C₂×#41	1	12	yes	—
249	C₂³	—	2	4	no	—
250	C₂³	—	2	6	no	—
251	C₂³	—	4	4	no	—
252	C₂³	—	4	24	no	—
253	C₂³	—	4	6	no	—
254	C₂³	—	4	12	no	—
255	C₂³	—	8	48	no	—
256	C₂³	—	8	24	no	—
257	C₂³	—	8	12	no	—
258	C₂³	C₂×#121	1	6	yes	—
259	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
260	Q₈	—	2	6	no	—
261	Q₈	—	4	2	no	—
262	Q₈	—	4	6	no	—
263	Q₈	—	8	4	no	—
264	Q₈	C₂×#127	1	4	yes	—
265	D₄	—	2	16	no	—
266	D₄	—	2	6	no	—
267	D₄	—	4	6	no	—
268	D₄	—	4	6	no	—
269	D₄	—	4	12	no	—
270	D₄	—	8	48	no	—
271	D₄	—	8	48	no	—
272	D₄	—	8	12	no	—
273	D₄	C₂×#127	1	4	yes	—
274	C₂×C₄	—	2	12	no	—
275	C₂×C₄	—	2	12	no	—
276	C₂×C₄	—	2	6	no	—
277	C₂×C₄	—	2	16	no	—
278	C₂×C₄	—	2	12	no	—
279	C₂×C₄	—	4	24	no	—
280	C₂×C₄	—	4	12	no	—
281	C₂×C₄	—	4	6	no	—
282	C₂×C₄	—	8	24	no	—
283	C₂×C₄	—	8	4	no	—
284	C₂×C₄	C₂×#121	1	12	yes	—
285	C₂×C₄	C₂×#121	1	12	yes	—
286	C₂×C₄	C₂×#121	1	6	yes	—
287	C₂×C₄	C₂×#127	1	4	yes	—
288	C₂×C₄	#532	1	12	yes	—
289	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	3	yes	—
290	C₂×C₄	C₂²×#41	1	3	yes	—
291	C₈	—	4	6	no	—
292	C₈	—	4	2	no	—
293	C₂²	—	2	12	no	—
294	C₂²	—	2	4	no	—
295	C₂²	—	4	12	no	—
296	C₂²	—	8	24	no	—
297	C₂²	—	8	12	no	—
298	C₂²	—	8	6	no	—
299	C₂²	—	16	24	no	—
300	C₂²	#2856	1	4	yes	—
301	C₂²	C₂²×#121	1	3	yes	—
302	C₂²	#3585	1	4	yes	—
303	C₄	—	2	12	no	—
304	C₄	—	2	12	no	—
305	C₄	—	2	4	no	—
306	C₄	—	4	12	no	—
307	C₄	—	8	2	no	—
308	C₄	#2856	1	4	yes	—
309	C₄	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
310	C₄	C₂×#532	1	3	yes	—
311	C₂	—	2	4	no	—
312	C₂	—	4	4	no	—
313	C₂	—	16	6	no	—
314	C₂	C₂×#2856	1	1	yes	characteristic
315	C₂	#60426	1	6	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×#376 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3040	C₂	semidirect
2. C₂×#3038	C₂	semidirect
3. C₂×#2657	C₂	semidirect
4. #33999	C₂	semidirect
5. #33167	C₂	semidirect
6. #33166	C₂	semidirect
7. #21261	C₂	semidirect
8. #21260	C₂	semidirect
9. #20792	C₂	semidirect
17. C₂×#464	C₂²	semidirect
18. C₂×#460	C₂²	semidirect
19. C₂×#463	C₂²	semidirect
20. C₂×#459	C₂²	semidirect
30. #2276	C₂²	semidirect
32. #2275	C₂²	semidirect
37. #1983	C₂²	semidirect
38. #1982	C₂²	semidirect
39. #1843	C₂²	semidirect
64. C₄×#41	D₄	semidirect
148. C₄×Q₈	C₂×D₄	semidirect
151. C₄×D₄	C₂×D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3040	2
C₂×#3038	2
C₂×#2657	2
#33999	2
#33167	2
#33166	2
#21261	2
#21260	2
#20792	2