Subgroups — #6630134

Order 512.

2162 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 367 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3162	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×#405	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#34634	C₂	1	2	yes	maximal
4	#33219	C₂	1	16	yes	maximal, complemented
5	#21318	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#21154	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#21151	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#20799	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#20660	C₂	1	2	yes	maximal
10	#20658	C₂	1	2	yes	maximal
11	C₂³×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂⁴×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#533	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#3162	—	2	8	no	—
16	C₂×#501	C₂²	1	8	yes	complemented
17	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#405	—	2	8	no	—
22	C₂×#405	C₂²	1	8	yes	—
23	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#2629	C₂²	1	8	yes	—
28	#2628	C₂²	1	8	yes	—
29	#2627	—	2	4	no	—
30	#2626	—	2	4	no	—
31	#2396	—	2	8	no	—
32	#2296	C₂²	1	4	yes	—
33	#2285	C₂²	1	2	yes	—
34	#2280	C₂²	1	4	yes	—
35	#1991	C₂²	1	8	yes	complemented
36	#1990	C₂²	1	8	yes	complemented
37	#1944	C₂²	1	8	yes	complemented
38	#1943	C₂²	1	8	yes	complemented
39	#1942	C₂²	1	8	yes	complemented
40	#1941	C₂²	1	8	yes	complemented
41	#1847	C₂²	1	8	yes	complemented
42	#1809	C₂²	1	8	yes	—
43	#1809	C₂²	1	8	yes	—
44	#1808	C₂²	1	8	yes	—
45	#1807	C₂²	1	8	yes	—
46	#1735	C₂²	1	4	yes	—
47	#1735	C₂²	1	4	yes	—
48	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
50	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
51	C₂²×M₁₆	Q₈	1	8	yes	complemented
52	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
53	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
54	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
55	C₂³×C₈	Q₈	1	8	yes	complemented
56	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
57	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	#533	—	2	8	no	—
62	#533	—	2	8	no	—
63	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂×#125	C₂³	1	4	yes	—
65	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
66	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
67	C₂×#117	—	2	4	no	—
68	C₂×#117	—	2	4	no	—
69	C₂×#117	D₄	1	4	yes	—
70	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
71	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
72	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
73	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
74	C₂²×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
75	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	#501	—	2	32	no	—
78	#427	—	2	8	no	—
79	#427	—	2	8	no	—
80	#427	—	2	8	no	—
81	#427	—	2	8	no	—
82	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
83	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
84	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
85	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
86	C₂×#106	C₂³	1	4	yes	—
87	C₂×#106	C₂³	1	4	yes	—
88	C₂×#106	C₂³	1	4	yes	—
89	C₂×#106	C₂³	1	4	yes	—
90	#405	—	2	32	no	—
91	C₂×#97	—	2	4	no	—
92	C₂×#97	D₄	1	8	yes	—
93	C₂×#97	C₂³	1	4	yes	—
94	C₂×#97	C₂³	1	4	yes	—
95	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
96	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
97	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
98	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
99	#400	—	2	8	no	—
100	#399	—	2	8	no	—
101	#398	—	2	16	no	—
102	#396	—	2	16	no	—
103	#395	—	2	8	no	—
104	#393	—	2	8	no	—
105	#389	C₂³	1	16	yes	—
106	#385	—	2	8	no	—
107	#384	C₂³	1	4	yes	—
108	#382	C₂³	1	4	yes	—
109	#381	—	2	4	no	—
110	#380	—	2	4	no	—
111	#380	C₂³	1	16	yes	—
112	#379	—	2	4	no	—
113	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
114	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
115	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
116	#340	C₂³	1	16	yes	—
117	#340	C₂³	1	16	yes	—
118	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
120	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
121	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
122	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
123	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
124	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
126	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
127	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
128	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
129	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
130	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
131	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
132	C₂×M₁₆	—	2	32	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
135	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	16	yes	—
136	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
137	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
138	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	32	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
143	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
144	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
145	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
146	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	16	yes	—
147	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
148	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
149	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
150	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
151	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
152	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
153	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
154	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
155	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
156	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
157	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
158	#125	—	2	8	no	—
159	#125	—	2	8	no	—
160	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
161	C₄×Q₈	—	4	16	no	—
162	#117	—	2	16	no	—
163	#117	—	2	8	no	—
164	#117	—	2	8	no	—
165	#117	—	2	8	no	—
166	#117	—	2	8	no	—
167	#117	—	2	8	no	—
168	#117	—	2	8	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
175	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
176	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
182	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
184	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
185	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
186	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
187	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
188	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
189	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
190	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
191	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
192	#107	—	2	8	no	—
193	#107	—	2	8	no	—
194	#107	—	2	8	no	—
195	#107	—	2	8	no	—
196	#106	—	2	8	no	—
197	#106	—	2	8	no	—
198	#106	—	2	8	no	—
199	#106	—	2	8	no	—
200	#97	—	2	8	no	—
201	#97	C₂×D₄	1	16	yes	—
202	C₄×C₈	—	2	8	no	—
203	C₄×C₈	—	2	8	no	—
204	#95	—	2	16	no	—
205	#95	—	2	8	no	—
206	#95	—	2	16	no	—
207	C₂⁴	—	2	2	no	—
208	C₂⁴	—	2	2	no	—
209	C₂⁴	—	4	4	no	—
210	C₂⁴	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
211	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
212	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
213	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
214	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
232	C₂²×C₄	#121	1	8	yes	—
233	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
234	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
248	M₁₆	—	2	32	no	—
249	C₂×C₈	—	2	8	no	—
250	C₂×C₈	—	2	8	no	—
251	C₂×C₈	—	2	2	no	—
252	C₂×C₈	—	2	2	no	—
253	C₂×C₈	—	2	2	no	—
254	C₂×C₈	—	2	2	no	—
255	C₂×C₈	—	2	32	no	—
256	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	16	yes	—
257	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	16	yes	—
258	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
259	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
260	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
261	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
262	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
263	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
264	C₂×C₈	C₂×#41	1	4	yes	—
265	C₂×C₈	C₂×#41	1	4	yes	—
266	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
267	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
268	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
269	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
270	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
271	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
272	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
273	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
274	C₄⋊C₄	—	8	16	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
279	C₄²	—	2	4	no	—
280	C₄²	—	2	2	no	—
281	C₄²	—	2	2	no	—
282	C₄²	—	4	8	no	—
283	C₄²	—	4	8	no	—
284	C₄²	#121	1	8	yes	—
285	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
286	C₄²	C₂×#41	1	4	yes	—
287	C₂³	—	2	4	no	—
288	C₂³	—	2	8	no	—
289	C₂³	—	2	8	no	—
290	C₂³	—	2	2	no	—
291	C₂³	—	2	2	no	—
292	C₂³	—	4	8	no	—
293	C₂³	—	4	8	no	—
294	C₂³	—	4	8	no	—
295	C₂³	C₂×#121	1	2	yes	—
296	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
297	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
298	C₂³	#532	1	2	yes	—
299	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
300	Q₈	—	8	16	no	—
301	C₂×C₄	—	2	8	no	—
302	C₂×C₄	—	2	8	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	16	no	—
306	C₂×C₄	—	2	4	no	—
307	C₂×C₄	—	2	4	no	—
308	C₂×C₄	—	2	4	no	—
309	C₂×C₄	—	2	4	no	—
310	C₂×C₄	—	2	8	no	—
311	C₂×C₄	—	2	4	no	—
312	C₂×C₄	—	4	8	no	—
313	C₂×C₄	—	4	8	no	—
314	C₂×C₄	—	4	16	no	—
315	C₂×C₄	—	4	16	no	—
316	C₂×C₄	—	4	8	no	—
317	C₂×C₄	—	4	8	no	—
318	C₂×C₄	C₂×#121	1	8	yes	—
319	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
321	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
322	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
323	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	#533	1	4	yes	—
326	C₂×C₄	#533	1	4	yes	—
327	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
333	C₈	—	2	4	no	—
334	C₈	—	2	4	no	—
335	C₈	C₂×C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
336	C₈	C₂×C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
337	C₂²	—	2	4	no	—
338	C₂²	—	2	4	no	—
339	C₂²	—	2	4	no	—
340	C₂²	—	2	4	no	—
341	C₂²	—	2	8	no	—
342	C₂²	—	4	16	no	—
343	C₂²	—	4	4	no	—
344	C₂²	—	4	4	no	—
345	C₂²	#2857	1	4	yes	—
346	C₂²	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
347	C₂²	C₂²×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
348	C₂²	C₂×#532	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	#3584	1	4	yes	—
350	C₄	—	2	4	no	—
351	C₄	—	2	8	no	—
352	C₄	—	4	4	no	—
353	C₄	—	8	8	no	—
354	C₄	—	8	8	no	—
355	C₄	#2857	1	4	yes	—
356	C₄	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
357	C₄	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
358	C₄	C₂×#533	1	1	yes	characteristic
359	C₄	C₂×#533	1	1	yes	characteristic
360	C₂	—	2	4	no	—
361	C₂	—	4	4	no	—
362	C₂	C₂×#2857	1	1	yes	characteristic
363	C₂	#60453	1	2	yes	—
364	C₂	#60660	1	2	yes	—
365	C₂	#60685	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
socle	C₂³	C₂³×D₄
prime radical	C₂⁵	C₂×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3162	C₂	semidirect
4. #33219	C₂	semidirect
5. #21318	C₂	semidirect
6. #21154	C₂	semidirect
7. #21151	C₂	semidirect
8. #20799	C₂	semidirect
16. C₂×#501	C₂²	semidirect
35. #1991	C₂²	semidirect
36. #1990	C₂²	semidirect
37. #1944	C₂²	semidirect
38. #1943	C₂²	semidirect
39. #1942	C₂²	semidirect
40. #1941	C₂²	semidirect
41. #1847	C₂²	semidirect
51. C₂²×M₁₆	Q₈	semidirect
55. C₂³×C₈	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3162	2
C₂²×#405	2
#34634	2
#33219	2
#21318	2
#21154	2
#21151	2
#20799	2
#20660	2
#20658	2