Subgroups — #6630149

Order 512.

2278 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 359 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#498	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×C₄×#131	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#35279	C₂	1	2	yes	maximal
4	#33213	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#33210	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#33207	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#21324	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#21155	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#20797	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#20662	C₂	1	4	yes	maximal
11	C₂²×#131	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#498	—	2	8	no	—
15	C₂×#498	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#498	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#498	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#427	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂²×#106	C₂²	1	4	yes	—
20	C₄×#131	—	2	8	no	—
21	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#405	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#2857	C₂²	1	8	yes	—
28	#2628	C₂²	1	8	yes	—
29	#2568	—	2	2	no	—
30	#2567	—	2	2	no	—
31	#2563	—	2	2	no	—
32	#2542	—	2	2	no	—
33	#2487	—	2	4	no	—
34	#2409	—	2	4	no	—
35	#2317	C₂²	1	4	yes	—
36	#2311	C₂²	1	4	yes	—
37	#2285	C₂²	1	2	yes	—
38	#1993	C₂²	1	8	yes	—
39	#1990	C₂²	1	8	yes	—
40	#1943	C₂²	1	16	yes	—
41	#1941	C₂²	1	16	yes	—
42	#1846	C₂²	1	4	yes	—
43	#1845	C₂²	1	2	yes	—
44	#1844	C₂²	1	2	yes	—
45	#1809	C₂²	1	16	yes	—
46	#1807	C₂²	1	16	yes	—
47	#1736	C₂²	1	8	yes	—
48	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂³×Q₈	—	2	2	no	—
50	C₂×#131	—	2	8	no	—
51	C₂×#131	—	2	8	no	—
52	C₂×#131	Q₈	1	16	yes	complemented
53	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
55	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
56	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
58	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
60	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
61	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
62	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
63	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
64	C₄×#41	—	2	4	no	—
65	C₄×#41	—	2	4	no	—
66	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
67	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
68	C₂×C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
69	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
70	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
73	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
74	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	#498	—	2	8	no	—
77	#498	—	2	8	no	—
78	#498	—	2	16	no	—
79	#427	—	2	16	no	—
80	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	—
81	C₂×#106	—	2	16	no	—
82	C₂×#106	C₂³	1	8	yes	—
83	C₂×#106	C₂³	1	8	yes	—
84	C₂×#106	C₂³	1	8	yes	—
85	#405	—	2	8	no	—
86	#405	—	2	16	no	—
87	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
88	C₄×M₁₆	—	2	8	no	—
89	C₂×#97	C₂³	1	4	yes	—
90	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂×C₄×C₈	—	2	8	no	—
92	C₂×C₄×C₈	D₄	1	8	yes	—
93	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
94	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
95	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
98	#400	—	2	8	no	—
99	#399	—	2	8	no	—
100	#395	—	2	8	no	—
101	#393	—	2	8	no	—
102	#391	—	2	4	no	—
103	#391	—	2	8	no	—
104	#390	—	2	4	no	—
105	#389	—	2	8	no	—
106	#389	C₂³	1	16	yes	—
107	#386	—	2	8	no	—
108	#385	—	2	8	no	—
109	#384	—	2	4	no	—
110	#384	C₂³	1	4	yes	—
111	#382	—	2	4	no	—
112	#382	C₂³	1	4	yes	—
113	#380	—	2	8	no	—
114	#380	—	2	2	no	—
115	#380	—	2	2	no	—
116	#380	C₂³	1	16	yes	—
117	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
118	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
119	#340	C₂³	1	32	yes	—
120	C₂×#41	—	2	2	no	—
121	C₂×#41	—	2	2	no	—
122	C₂×#41	—	2	4	no	—
123	C₂×#41	C₂×Q₈	1	8	yes	—
124	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
125	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
126	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
127	C₂²×Q₈	—	8	8	no	—
128	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
130	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
132	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
133	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
134	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
135	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
136	#131	—	2	64	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
141	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	8	yes	—
142	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	16	yes	complemented
143	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
144	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
145	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
146	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	8	yes	—
147	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	16	yes	complemented
148	C₂²×C₈	#41	1	8	yes	—
149	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
150	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
151	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
152	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
153	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
154	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
155	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
156	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
157	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
158	C₂²⋊Q₈	—	8	16	no	—
159	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
160	C₄×D₄	—	2	16	no	—
161	C₄×D₄	—	2	8	no	—
162	#117	—	2	2	no	—
163	#117	—	2	2	no	—
164	#117	—	2	4	no	—
165	#117	—	2	4	no	—
166	#117	—	2	16	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
177	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
178	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
179	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
184	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
185	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
186	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
187	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
188	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
189	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
190	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
191	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
192	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
194	#107	—	2	16	no	—
195	#106	—	2	16	no	—
196	#106	—	2	16	no	—
197	#106	—	2	16	no	—
198	#97	—	2	8	no	—
199	#97	—	2	4	no	—
200	C₄×C₈	—	2	8	no	—
201	C₄×C₈	—	2	4	no	—
202	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
203	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
204	C₄×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
205	#95	—	2	4	no	—
206	#95	—	2	4	no	—
207	#95	—	2	16	no	—
208	#95	—	2	16	no	—
209	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
210	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
211	#41	—	2	16	no	—
212	#41	—	2	16	no	—
213	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
214	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
215	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
216	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
217	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
218	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
219	C₂×Q₈	—	8	32	no	—
220	C₂×Q₈	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
221	C₂×D₄	—	2	4	no	—
222	C₂×D₄	—	2	4	no	—
223	C₂×D₄	—	2	2	no	—
224	C₂×D₄	—	2	2	no	—
225	C₂×D₄	C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
226	C₂×D₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
227	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
236	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
237	C₂²×C₄	#121	1	8	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
249	M₁₆	—	2	16	no	—
250	M₁₆	—	2	32	no	—
251	C₂×C₈	—	2	4	no	—
252	C₂×C₈	—	2	4	no	—
253	C₂×C₈	—	2	32	no	—
254	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	32	yes	complemented
255	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
256	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
257	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
258	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
259	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
260	C₂×C₈	C₂×#41	1	4	yes	—
261	C₂×C₈	C₂×#41	1	4	yes	—
262	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
263	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
264	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
265	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
266	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
267	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
268	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
269	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
270	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
271	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
272	C₄⋊C₄	—	8	16	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
277	C₄²	—	2	8	no	—
278	C₄²	—	2	2	no	—
279	C₄²	—	2	2	no	—
280	C₄²	—	4	8	no	—
281	C₄²	#121	1	8	yes	—
282	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
283	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
284	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
285	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
286	C₂³	—	2	4	no	—
287	C₂³	—	2	2	no	—
288	C₂³	—	2	2	no	—
289	C₂³	—	2	8	no	—
290	C₂³	C₂×#121	1	2	yes	—
291	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
292	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
293	C₂³	#532	1	2	yes	—
294	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
295	Q₈	—	2	8	no	—
296	Q₈	—	8	16	no	—
297	Q₈	—	8	16	no	—
298	D₄	—	2	16	no	—
299	D₄	—	2	8	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	4	no	—
303	C₂×C₄	—	2	8	no	—
304	C₂×C₄	—	2	8	no	—
305	C₂×C₄	—	2	16	no	—
306	C₂×C₄	—	2	4	no	—
307	C₂×C₄	—	2	8	no	—
308	C₂×C₄	—	4	16	no	—
309	C₂×C₄	—	4	8	no	—
310	C₂×C₄	—	4	8	no	—
311	C₂×C₄	—	4	8	no	—
312	C₂×C₄	—	4	16	no	—
313	C₂×C₄	—	4	8	no	—
314	C₂×C₄	—	8	16	no	—
315	C₂×C₄	C₂×#121	1	4	yes	—
316	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	C₂×#121	1	4	yes	—
318	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
319	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
320	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	#533	1	8	yes	—
323	C₂×C₄	#577	1	8	yes	—
324	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
328	C₈	—	2	8	no	—
329	C₈	C₂×C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
330	C₈	C₂×C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
331	C₂²	—	2	4	no	—
332	C₂²	—	2	4	no	—
333	C₂²	—	2	4	no	—
334	C₂²	—	2	4	no	—
335	C₂²	—	2	8	no	—
336	C₂²	—	4	4	no	—
337	C₂²	—	4	4	no	—
338	C₂²	#2857	1	4	yes	—
339	C₂²	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
340	C₂²	C₂²×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
341	C₂²	C₂×#532	1	1	yes	characteristic
342	C₂²	C₂×#577	1	4	yes	—
343	C₄	—	2	4	no	—
344	C₄	—	2	4	no	—
345	C₄	—	4	4	no	—
346	C₄	—	8	8	no	—
347	C₄	—	8	8	no	—
348	C₄	#2857	1	4	yes	—
349	C₄	#3057	1	8	yes	—
350	C₄	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
351	C₄	C₂×#533	1	2	yes	—
352	C₂	—	2	4	no	—
353	C₂	—	4	4	no	—
354	C₂	C₂×#2857	1	1	yes	characteristic
355	C₂	C₂×#3057	1	2	yes	—
356	C₂	#60665	1	2	yes	—
357	C₂	#60716	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#498	C₂	semidirect
4. #33213	C₂	semidirect
5. #33210	C₂	semidirect
6. #33207	C₂	semidirect
7. #21324	C₂	semidirect
8. #21155	C₂	semidirect
9. #20797	C₂	semidirect
52. C₂×#131	Q₈	semidirect
142. C₂×M₁₆	C₂×Q₈	semidirect
147. C₂²×C₈	C₂×Q₈	semidirect
254. C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#498	2
C₂×C₄×#131	2
#35279	2
#33213	2
#33210	2
#33207	2
#21324	2
#21155	2
#20797	2
#20662	2