Subgroups — #6631489

Order 512.

1868 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 369 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#34637	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2642	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#32816	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#32815	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#32813	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#23547	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#23455	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#23453	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#23432	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#23429	C₂	1	2	yes	maximal
11	#20753	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×#137	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#417	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#419	C₂²	1	4	yes	—
20	#2642	—	2	4	no	—
21	#2642	C₂²	1	4	yes	—
22	#2642	C₂²	1	4	yes	—
23	#2642	C₂²	1	2	yes	—
24	#2641	C₂²	1	2	yes	—
25	#2640	C₂²	1	4	yes	—
26	#2639	—	2	4	no	—
27	#2398	—	2	4	no	—
28	C₂×#400	—	2	4	no	—
29	#2297	C₂²	1	2	yes	—
30	#2297	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#391	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#391	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#376	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#2056	C₂²	1	16	yes	—
35	#2055	C₂²	1	16	yes	—
36	#2026	C₂²	1	8	yes	—
37	#2026	C₂²	1	8	yes	—
38	#2025	C₂²	1	8	yes	—
39	#2024	C₂²	1	8	yes	—
40	#2016	C₂²	1	8	yes	—
41	#2016	C₂²	1	4	yes	—
42	#2015	C₂²	1	8	yes	—
43	#2014	C₂²	1	4	yes	—
44	#2013	C₂²	1	8	yes	—
45	#1832	C₂²	1	4	yes	—
46	#1832	C₂²	1	4	yes	—
47	#1736	C₂²	1	4	yes	—
48	#1728	C₂²	1	2	yes	—
49	#1728	C₂²	1	2	yes	—
50	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂×#137	—	4	8	no	—
53	C₂×#137	—	4	8	no	—
54	C₂×#137	—	4	8	no	—
55	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	8	yes	—
56	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	8	yes	—
57	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
58	#533	—	4	4	no	—
59	#532	—	4	4	no	—
60	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
61	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
62	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
63	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂×#125	—	2	2	no	—
67	C₂×#125	—	4	4	no	—
68	C₂×#125	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂×#125	C₂³	1	4	yes	—
70	C₂×#124	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
72	C₂×#121	—	2	2	no	—
73	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
74	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
75	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
77	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
78	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	#423	—	4	4	no	—
83	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
84	#419	—	4	8	no	—
85	#417	—	4	8	no	—
86	C₂×#103	C₂³	1	16	yes	—
87	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
88	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
89	#400	—	2	8	no	—
90	#400	—	2	16	no	—
91	#400	—	2	16	no	—
92	#397	—	2	8	no	—
93	#394	—	2	8	no	—
94	#393	—	2	8	no	—
95	#391	—	2	4	no	—
96	#391	—	2	4	no	—
97	#391	C₂³	1	8	yes	—
98	#391	C₂³	1	4	yes	—
99	#391	C₂³	1	4	yes	—
100	#391	C₂³	1	4	yes	—
101	#391	C₂³	1	4	yes	—
102	#390	C₂³	1	4	yes	—
103	#390	C₂³	1	4	yes	—
104	#386	—	2	4	no	—
105	#386	—	2	4	no	—
106	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
107	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
108	#376	D₄	1	4	yes	—
109	#376	C₂³	1	2	yes	—
110	#376	C₂³	1	2	yes	—
111	C₂×#95	—	2	4	no	—
112	C₂×#95	—	2	4	no	—
113	C₂×#95	D₄	1	4	yes	—
114	#340	C₂³	1	16	yes	—
115	#336	C₂³	1	8	yes	—
116	#336	C₂³	1	4	yes	—
117	#336	C₂³	1	4	yes	—
118	C₂×#41	—	2	8	no	—
119	C₂×#41	—	2	4	no	—
120	C₂×#41	—	2	8	no	—
121	C₂×#41	—	2	4	no	—
122	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
123	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
124	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
125	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
126	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
127	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
128	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
129	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
130	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
131	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
132	C₂²×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
133	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
134	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
135	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
136	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
137	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
138	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
139	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
140	#137	—	4	64	no	—
141	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
142	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
143	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
144	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
145	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
146	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
147	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
148	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
149	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
150	C₂²×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
151	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
152	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
153	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
154	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
155	#127	—	4	2	no	—
156	#125	—	4	8	no	—
157	#125	—	4	4	no	—
158	#125	—	4	8	no	—
159	#124	—	4	4	no	—
160	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
161	#121	—	4	8	no	—
162	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
163	C₄×D₄	—	4	8	no	—
164	#117	—	2	8	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
175	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
180	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
181	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
182	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
184	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
185	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
186	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
187	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
188	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
191	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
192	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
193	#103	—	4	8	no	—
194	#103	—	4	16	no	—
195	#102	—	4	8	no	—
196	#95	—	2	16	no	—
197	#95	—	2	8	no	—
198	#95	—	2	8	no	—
199	#95	—	2	8	no	—
200	#95	—	2	8	no	—
201	#95	C₂×D₄	1	8	yes	—
202	#95	C₂×D₄	1	8	yes	—
203	C₂⁴	—	2	2	no	—
204	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
205	#41	—	4	16	no	—
206	#41	—	4	16	no	—
207	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
208	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
209	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
210	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
211	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
212	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
213	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
214	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
215	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
216	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
217	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
218	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
219	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
220	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
221	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
222	C₂×D₄	—	2	4	no	—
223	C₂×D₄	—	2	4	no	—
224	C₂×D₄	—	2	2	no	—
225	C₂×D₄	—	2	2	no	—
226	C₂×D₄	—	4	4	no	—
227	C₂×D₄	—	4	4	no	—
228	C₂×D₄	—	4	4	no	—
229	C₂×D₄	—	4	4	no	—
230	C₂×D₄	—	8	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
245	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
249	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
254	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
255	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
256	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
257	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
259	Q₁₆	—	4	32	no	—
260	SD₁₆	—	4	32	no	—
261	M₁₆	—	4	16	no	—
262	C₂×C₈	—	2	8	no	—
263	C₂×C₈	—	2	8	no	—
264	C₂×C₈	—	2	8	no	—
265	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
266	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
267	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
268	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
269	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
270	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
271	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
272	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
277	C₄²	—	2	4	no	—
278	C₄²	—	2	4	no	—
279	C₄²	—	2	4	no	—
280	C₄²	—	2	2	no	—
281	C₄²	—	2	2	no	—
282	C₄²	—	2	2	no	—
283	C₄²	—	2	4	no	—
284	C₄²	—	2	2	no	—
285	C₄²	—	4	4	no	—
286	C₂³	—	2	4	no	—
287	C₂³	—	4	8	no	—
288	C₂³	—	4	2	no	—
289	C₂³	—	4	2	no	—
290	C₂³	—	4	2	no	—
291	C₂³	#535	1	2	yes	—
292	C₂³	#535	1	2	yes	—
293	C₂³	#537	1	2	yes	—
294	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
295	Q₈	—	4	8	no	—
296	Q₈	—	4	4	no	—
297	Q₈	—	4	8	no	—
298	Q₈	—	4	4	no	—
299	Q₈	—	8	8	no	—
300	Q₈	—	8	8	no	—
301	D₄	—	4	4	no	—
302	D₄	—	4	4	no	—
303	D₄	—	8	8	no	—
304	D₄	—	8	8	no	—
305	C₂×C₄	—	2	8	no	—
306	C₂×C₄	—	2	8	no	—
307	C₂×C₄	—	2	4	no	—
308	C₂×C₄	—	2	4	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	4	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	4	no	—
313	C₂×C₄	—	4	8	no	—
314	C₂×C₄	—	4	8	no	—
315	C₂×C₄	—	4	8	no	—
316	C₂×C₄	—	4	4	no	—
317	C₂×C₄	—	4	2	no	—
318	C₂×C₄	—	4	4	no	—
319	C₂×C₄	—	4	4	no	—
320	C₂×C₄	—	4	2	no	—
321	C₂×C₄	—	4	4	no	—
322	C₂×C₄	—	4	2	no	—
323	C₂×C₄	—	4	4	no	—
324	C₂×C₄	—	8	4	no	—
325	C₂×C₄	—	8	4	no	—
326	C₂×C₄	—	8	8	no	—
327	C₂×C₄	—	8	8	no	—
328	C₂×C₄	—	8	8	no	—
329	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	#537	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	H(3,𝔽₄)	1	8	yes	—
333	C₂×C₄	#562	1	8	yes	—
334	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
338	C₈	—	4	8	no	—
339	C₂²	—	2	4	no	—
340	C₂²	—	2	4	no	—
341	C₂²	—	2	4	no	—
342	C₂²	—	8	2	no	—
343	C₂²	—	8	4	no	—
344	C₂²	—	8	4	no	—
345	C₂²	—	8	4	no	—
346	C₂²	#2819	1	4	yes	—
347	C₂²	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
348	C₂²	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	C₂×#537	1	1	yes	characteristic
350	C₂²	#3586	1	4	yes	—
351	C₄	—	4	4	no	—
352	C₄	—	4	2	no	—
353	C₄	—	4	2	no	—
354	C₄	—	4	4	no	—
355	C₄	—	8	2	no	—
356	C₄	—	8	4	no	—
357	C₄	—	8	4	no	—
358	C₄	—	8	4	no	—
359	C₄	#2819	1	4	yes	—
360	C₄	C₂×H(3,𝔽₄)	1	2	yes	—
361	C₄	C₂×#562	1	2	yes	—
362	C₂	—	2	4	no	—
363	C₂	—	16	2	no	—
364	C₂	C₂×#2819	1	1	yes	characteristic
365	C₂	#60807	1	2	yes	—
366	C₂	#60809	1	2	yes	—
367	C₂	#60921	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×#376 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2642	C₂	semidirect
3. #32816	C₂	semidirect
4. #32815	C₂	semidirect
5. #32813	C₂	semidirect
6. #23547	C₂	semidirect
7. #23455	C₂	semidirect
8. #23453	C₂	semidirect
9. #23432	C₂	semidirect
11. #20753	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#34637	2
C₂×#2642	2
#32816	2
#32815	2
#32813	2
#23547	2
#23455	2
#23453	2
#23432	2
#23429	2
#20753	2