Subgroups — #674656

Order 512.

10302 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 423 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×D₄²	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#2867	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#2541	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#2433	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#15258	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#15124	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#14154	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₄×#390	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂⁴×D₄	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂×D₄²	—	2	8	no	—
11	C₂×D₄²	—	2	16	no	—
12	C₂²×#127	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
15	C₂²×#127	C₂²	1	8	yes	complemented
16	C₂²×#127	C₂²	1	4	yes	complemented
17	C₂²×#121	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂²×#121	C₂²	1	8	yes	complemented
19	C₂²×#120	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂²×#120	C₂²	1	16	yes	complemented
21	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
22	#2867	—	2	8	no	—
23	#2541	—	2	16	no	—
24	#2433	—	2	64	no	—
25	C₂×#392	C₂²	1	32	yes	complemented
26	C₂×#392	C₂²	1	8	yes	complemented
27	C₂×#390	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×#390	C₂²	1	4	yes	complemented
29	C₂×#390	C₂²	1	8	yes	complemented
30	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
31	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	8	yes	complemented
32	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
33	#1438	C₂²	1	16	yes	complemented
34	#1438	C₂²	1	4	yes	complemented
35	#1437	C₂²	1	8	yes	complemented
36	C₄⋊#95	C₂²	1	4	yes	complemented
37	C₂⁶	C₂³	1	4	yes	—
38	C₂³×D₄	—	2	16	no	—
39	C₂³×D₄	—	2	16	no	—
40	C₂³×D₄	—	2	32	no	—
41	C₂³×D₄	—	2	16	no	—
42	C₂³×D₄	—	4	16	no	—
43	C₂³×D₄	C₂³	1	4	yes	—
44	C₂³×D₄	C₂³	1	4	yes	—
45	C₂³×D₄	C₂³	1	8	yes	—
46	C₂³×D₄	C₂³	1	16	yes	—
47	C₂³×D₄	C₂³	1	16	yes	—
48	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂⁴×C₄	C₂³	1	4	yes	—
52	D₄²	—	2	128	no	—
53	C₂×#127	—	2	32	no	—
54	C₂×#127	—	2	16	no	—
55	C₂×#127	—	2	32	no	—
56	C₂×#127	—	2	16	no	—
57	C₂×#127	—	2	8	no	—
58	C₂×#127	—	2	4	no	—
59	C₂×#127	—	2	8	no	—
60	C₂×#127	—	2	32	no	—
61	C₂×#127	—	4	16	no	—
62	C₂×#127	—	4	16	no	—
63	C₂×#127	D₄	1	8	yes	complemented
64	C₂×#121	—	2	16	no	—
65	C₂×#121	—	2	16	no	—
66	C₂×#121	—	2	32	no	—
67	C₂×#121	—	2	16	no	—
68	C₂×#121	—	2	32	no	—
69	C₂×#121	—	4	16	no	—
70	C₂×#120	—	2	16	no	—
71	C₂×#120	—	2	32	no	—
72	C₂×#120	—	2	128	no	—
73	C₂×#120	—	4	32	no	—
74	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
75	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
76	C₂×C₄×D₄	D₄	1	16	yes	complemented
77	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
79	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
80	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
81	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
82	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
83	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
84	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
85	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
87	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	#392	—	2	32	no	—
89	#392	—	2	128	no	—
90	#390	—	2	16	no	—
91	#390	—	2	32	no	—
92	#390	D₄	1	32	yes	complemented
93	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
94	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
95	C₂×#95	C₂³	1	16	yes	—
96	C₂×#95	C₂³	1	4	yes	—
97	C₄³	—	2	4	no	—
98	C₂⁵	—	2	8	no	—
99	C₂⁵	—	2	16	no	—
100	C₂⁵	—	2	32	no	—
101	C₂⁵	—	4	16	no	—
102	C₂⁵	—	4	16	no	—
103	C₂⁵	C₂⁴	1	4	yes	—
104	C₂⁵	C₂⁴	1	4	yes	—
105	C₂⁵	C₂⁴	1	4	yes	—
106	C₂²×D₄	—	2	128	no	—
107	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
108	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
109	C₂²×D₄	—	2	32	no	—
110	C₂²×D₄	—	2	32	no	—
111	C₂²×D₄	—	2	64	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	32	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
118	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
119	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
120	C₂²×D₄	—	2	32	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
122	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
123	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
124	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
125	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
126	C₂²×D₄	—	2	64	no	—
127	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
128	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
129	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
130	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
131	C₂²×D₄	—	2	32	no	—
132	C₂²×D₄	—	4	128	no	—
133	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
134	C₂²×D₄	—	4	32	no	—
135	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
136	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
137	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
138	C₂²×D₄	—	4	32	no	—
139	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
140	C₂²×D₄	—	4	128	no	—
141	C₂²×D₄	—	4	64	no	—
142	C₂²×D₄	—	4	64	no	—
143	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
144	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
145	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
146	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
147	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
148	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
149	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
150	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
151	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
152	C₂³×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
153	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
154	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
155	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
156	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
157	#127	—	2	32	no	—
158	#127	—	4	128	no	—
159	#127	—	4	64	no	—
160	#127	—	4	64	no	—
161	#127	—	4	16	no	—
162	#121	—	2	128	no	—
163	#121	—	4	128	no	—
164	#120	—	2	128	no	—
165	#120	—	4	256	no	—
166	C₄×D₄	—	2	64	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
172	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	16	yes	complemented
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	64	yes	complemented
186	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
187	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
188	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
189	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
190	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
191	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
192	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
193	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
194	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	16	yes	complemented
195	#95	—	2	32	no	—
196	#95	—	2	8	no	—
197	C₂⁴	—	2	8	no	—
198	C₂⁴	—	2	4	no	—
199	C₂⁴	—	2	4	no	—
200	C₂⁴	—	2	16	no	—
201	C₂⁴	—	2	8	no	—
202	C₂⁴	—	2	8	no	—
203	C₂⁴	—	2	32	no	—
204	C₂⁴	—	2	16	no	—
205	C₂⁴	—	2	8	no	—
206	C₂⁴	—	2	16	no	—
207	C₂⁴	—	2	16	no	—
208	C₂⁴	—	2	8	no	—
209	C₂⁴	—	2	16	no	—
210	C₂⁴	—	2	4	no	—
211	C₂⁴	—	2	16	no	—
212	C₂⁴	—	2	16	no	—
213	C₂⁴	—	4	64	no	—
214	C₂⁴	—	4	64	no	—
215	C₂⁴	—	4	64	no	—
216	C₂⁴	—	4	32	no	—
217	C₂⁴	—	4	32	no	—
218	C₂⁴	—	8	32	no	—
219	C₂⁴	—	8	64	no	—
220	C₂⁴	—	8	16	no	—
221	C₂⁴	—	8	32	no	—
222	C₂⁴	C₂²×D₄	1	8	yes	—
223	C₂⁴	C₂²×D₄	1	8	yes	—
224	C₂⁴	C₂²×D₄	1	16	yes	—
225	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
226	C₂×D₄	—	2	64	no	—
227	C₂×D₄	—	2	16	no	—
228	C₂×D₄	—	2	32	no	—
229	C₂×D₄	—	2	16	no	—
230	C₂×D₄	—	2	16	no	—
231	C₂×D₄	—	2	32	no	—
232	C₂×D₄	—	2	32	no	—
233	C₂×D₄	—	2	64	no	—
234	C₂×D₄	—	4	64	no	—
235	C₂×D₄	—	4	16	no	—
236	C₂×D₄	—	4	128	no	—
237	C₂×D₄	—	4	64	no	—
238	C₂×D₄	—	4	128	no	—
239	C₂×D₄	—	4	64	no	—
240	C₂×D₄	—	4	16	no	—
241	C₂×D₄	—	4	512	no	—
242	C₂×D₄	—	4	64	no	—
243	C₂×D₄	—	4	32	no	—
244	C₂×D₄	—	4	32	no	—
245	C₂×D₄	—	4	64	no	—
246	C₂×D₄	—	4	8	no	—
247	C₂×D₄	—	4	16	no	—
248	C₂×D₄	—	4	16	no	—
249	C₂×D₄	—	4	16	no	—
250	C₂×D₄	—	4	16	no	—
251	C₂×D₄	—	4	16	no	—
252	C₂×D₄	—	4	32	no	—
253	C₂×D₄	—	4	32	no	—
254	C₂×D₄	—	4	32	no	—
255	C₂×D₄	—	4	64	no	—
256	C₂×D₄	—	8	16	no	—
257	C₂×D₄	—	8	64	no	—
258	C₂×D₄	—	8	16	no	—
259	C₂×D₄	—	8	32	no	—
260	C₂×D₄	—	8	64	no	—
261	C₂×D₄	—	8	32	no	—
262	C₂×D₄	#127	1	32	yes	complemented
263	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
264	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
265	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
266	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
267	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
268	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
269	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
270	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
271	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
272	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
273	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
274	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
275	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
276	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
277	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
278	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
279	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
280	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
281	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	16	yes	—
282	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
283	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
284	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	16	yes	—
285	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
286	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
287	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
288	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
289	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
290	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
291	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
293	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
294	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
295	C₂²⋊C₄	—	2	128	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	4	64	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	4	64	no	—
298	C₄²	—	2	16	no	—
299	C₄²	—	2	32	no	—
300	C₄²	—	4	16	no	—
301	C₄²	#120	1	16	yes	complemented
302	C₂³	—	2	8	no	—
303	C₂³	—	2	8	no	—
304	C₂³	—	2	32	no	—
305	C₂³	—	2	16	no	—
306	C₂³	—	2	16	no	—
307	C₂³	—	2	16	no	—
308	C₂³	—	2	16	no	—
309	C₂³	—	2	32	no	—
310	C₂³	—	2	8	no	—
311	C₂³	—	2	32	no	—
312	C₂³	—	2	16	no	—
313	C₂³	—	4	128	no	—
314	C₂³	—	4	4	no	—
315	C₂³	—	4	4	no	—
316	C₂³	—	4	8	no	—
317	C₂³	—	4	8	no	—
318	C₂³	—	4	8	no	—
319	C₂³	—	4	16	no	—
320	C₂³	—	4	16	no	—
321	C₂³	—	4	8	no	—
322	C₂³	—	4	8	no	—
323	C₂³	—	4	16	no	—
324	C₂³	—	4	16	no	—
325	C₂³	—	4	16	no	—
326	C₂³	—	4	32	no	—
327	C₂³	—	4	16	no	—
328	C₂³	—	4	4	no	—
329	C₂³	—	4	8	no	—
330	C₂³	—	4	8	no	—
331	C₂³	—	4	16	no	—
332	C₂³	—	4	16	no	—
333	C₂³	—	4	16	no	—
334	C₂³	—	4	8	no	—
335	C₂³	—	4	16	no	—
336	C₂³	—	4	32	no	—
337	C₂³	—	4	16	no	—
338	C₂³	—	8	128	no	—
339	C₂³	—	8	32	no	—
340	C₂³	—	8	128	no	—
341	C₂³	—	8	128	no	—
342	C₂³	C₂×#127	1	16	yes	—
343	C₂³	C₂³×D₄	1	2	yes	—
344	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
345	C₂³	C₂³×D₄	1	4	yes	—
346	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
347	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
348	D₄	—	2	64	no	—
349	D₄	—	4	128	no	—
350	D₄	—	4	64	no	—
351	D₄	—	8	16	no	—
352	D₄	—	8	128	no	—
353	D₄	—	8	16	no	—
354	D₄	—	8	128	no	—
355	D₄	—	8	32	no	—
356	C₂×C₄	—	2	16	no	—
357	C₂×C₄	—	2	4	no	—
358	C₂×C₄	—	2	8	no	—
359	C₂×C₄	—	2	8	no	—
360	C₂×C₄	—	2	16	no	—
361	C₂×C₄	—	2	8	no	—
362	C₂×C₄	—	2	8	no	—
363	C₂×C₄	—	2	32	no	—
364	C₂×C₄	—	2	16	no	—
365	C₂×C₄	—	2	16	no	—
366	C₂×C₄	—	4	8	no	—
367	C₂×C₄	—	4	4	no	—
368	C₂×C₄	—	4	4	no	—
369	C₂×C₄	—	4	8	no	—
370	C₂×C₄	—	4	8	no	—
371	C₂×C₄	—	4	16	no	—
372	C₂×C₄	—	4	64	no	—
373	C₂×C₄	C₂×#120	1	4	yes	—
374	C₂×C₄	C₂×#120	1	8	yes	—
375	C₂×C₄	C₂×#127	1	8	yes	—
376	C₂×C₄	#535	1	8	yes	—
377	C₂×C₄	D₄²	1	16	yes	—
378	C₂×C₄	D₄²	1	16	yes	—
379	C₂×C₄	D₄²	1	16	yes	complemented
380	C₂²	—	2	32	no	—
381	C₂²	—	2	16	no	—
382	C₂²	—	4	16	no	—
383	C₂²	—	4	8	no	—
384	C₂²	—	4	16	no	—
385	C₂²	—	4	16	no	—
386	C₂²	—	4	8	no	—
387	C₂²	—	4	32	no	—
388	C₂²	—	4	16	no	—
389	C₂²	—	4	8	no	—
390	C₂²	—	4	32	no	—
391	C₂²	—	8	128	no	—
392	C₂²	—	8	16	no	—
393	C₂²	—	8	16	no	—
394	C₂²	—	8	16	no	—
395	C₂²	—	8	8	no	—
396	C₂²	—	8	16	no	—
397	C₂²	—	8	4	no	—
398	C₂²	—	8	16	no	—
399	C₂²	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
400	C₂²	C₂²×#127	1	2	yes	—
401	C₂²	C₂×#535	1	2	yes	—
402	C₂²	C₂×D₄²	1	4	yes	—
403	C₂²	C₂×D₄²	1	4	yes	—
404	C₂²	C₂×D₄²	1	4	yes	—
405	C₂²	#3484	1	2	yes	—
406	C₂²	#3498	1	4	yes	—
407	C₂²	#3498	1	8	yes	—
408	C₂²	#3543	1	4	yes	—
409	C₄	—	2	4	no	—
410	C₄	—	2	16	no	—
411	C₄	—	4	16	no	—
412	C₄	—	4	8	no	—
413	C₄	#2433	1	16	yes	complemented
414	C₂	—	4	16	no	—
415	C₂	—	8	8	no	—
416	C₂	—	16	4	no	—
417	C₂	C₂×#2433	1	2	yes	—
418	C₂	#35527	1	1	yes	characteristic
419	C₂	D₄×#127	1	4	yes	—
420	C₂	#39361	1	4	yes	—
421	C₂	#59126	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×D₄²	C₂	semidirect
2. C₂×#2867	C₂	semidirect
3. C₂×#2541	C₂	semidirect
4. C₂×#2433	C₂	semidirect
5. #15258	C₂	semidirect
6. #15124	C₂	semidirect
7. #14154	C₂	semidirect
8. C₄×#390	C₂	semidirect
14. C₂²×#127	C₂²	semidirect
15. C₂²×#127	C₂²	semidirect
16. C₂²×#127	C₂²	semidirect
18. C₂²×#121	C₂²	semidirect
20. C₂²×#120	C₂²	semidirect
25. C₂×#392	C₂²	semidirect
26. C₂×#392	C₂²	semidirect
28. C₂×#390	C₂²	semidirect
29. C₂×#390	C₂²	semidirect
30. C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
31. C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
32. C₂×C₄³	C₂²	semidirect
33. #1438	C₂²	semidirect
34. #1438	C₂²	semidirect
35. #1437	C₂²	semidirect
36. C₄⋊#95	C₂²	semidirect
63. C₂×#127	D₄	semidirect
76. C₂×C₄×D₄	D₄	semidirect
92. #390	D₄	semidirect
172. C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	semidirect
185. C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	semidirect
194. C₂×C₄²	C₂×D₄	semidirect
262. C₂×D₄	#127	semidirect
301. C₄²	#120	semidirect
379. C₂×C₄	D₄²	semidirect
413. C₄	#2433	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×D₄²	2
C₂×#2867	2
C₂×#2541	2
C₂×#2433	2
#15258	2
#15124	2
#14154	2
C₄×#390	2