Subgroups — #681049

Order 512.

7362 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 372 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×D₄²	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2858	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#2563	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#15259	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#15219	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#14154	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#13902	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
8	C₄×#390	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂⁴×D₄	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂×D₄²	—	2	8	no	—
11	C₂×D₄²	—	2	16	no	—
12	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
13	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×#124	C₂²	1	4	yes	complemented
15	C₂²×#121	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂²×#120	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
18	#2858	—	2	8	no	—
19	#2563	—	2	16	no	—
20	C₂×#393	C₂²	1	8	yes	complemented
21	C₂×#390	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×#390	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#390	C₂²	1	8	yes	complemented
24	C₂×#390	C₂²	1	8	yes	complemented
25	C₂×#382	C₂²	1	4	yes	complemented
26	C₂×#380	C₂²	1	8	yes	complemented
27	C₂×#379	C₂²	1	16	yes	complemented
28	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
29	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	8	yes	complemented
30	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
31	#1440	C₂²	1	16	yes	complemented
32	#1438	C₂²	1	4	yes	complemented
33	#1438	C₂²	1	32	yes	complemented
34	#1437	C₂²	1	8	yes	complemented
35	C₄⋊#95	C₂²	1	4	yes	complemented
36	C₂⁶	C₂³	1	4	yes	—
37	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂³×D₄	—	2	16	no	—
39	C₂³×D₄	—	2	16	no	—
40	C₂³×D₄	—	2	32	no	—
41	C₂³×D₄	—	2	16	no	—
42	C₂³×D₄	—	4	16	no	—
43	C₂³×D₄	C₂³	1	4	yes	—
44	C₂³×D₄	C₂³	1	8	yes	—
45	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂⁴×C₄	C₂³	1	4	yes	—
48	D₄²	—	2	128	no	—
49	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
50	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
51	C₂×#127	—	2	8	no	—
52	C₂×#127	D₄	1	8	yes	—
53	C₂×#124	—	2	16	no	—
54	C₂×#124	—	4	16	no	—
55	C₂×#121	—	2	16	no	—
56	C₂×#121	—	2	16	no	—
57	C₂×#121	—	2	16	no	—
58	C₂×#120	—	2	16	no	—
59	C₂×#120	—	2	32	no	—
60	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
61	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
62	C₂×C₄×D₄	D₄	1	16	yes	—
63	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
65	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
68	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
69	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
70	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
71	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
72	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
74	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
75	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	#393	—	2	32	no	—
77	#390	—	2	16	no	—
78	#390	—	2	32	no	—
79	#390	—	2	16	no	—
80	#390	—	4	16	no	—
81	#382	—	2	16	no	—
82	#380	—	2	32	no	—
83	#379	—	4	32	no	—
84	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
85	C₄×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
86	C₂×#95	C₂³	1	4	yes	—
87	C₂×#95	C₂³	1	16	yes	—
88	C₂×#95	C₂³	1	16	yes	—
89	C₄³	—	2	4	no	—
90	C₂⁵	—	2	8	no	—
91	C₂⁵	—	2	16	no	—
92	C₂⁵	—	2	32	no	—
93	C₂⁵	—	4	16	no	—
94	C₂⁵	—	4	16	no	—
95	C₂⁵	C₂⁴	1	4	yes	—
96	C₂⁵	C₂⁴	1	4	yes	—
97	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
98	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
99	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
100	C₂²×D₄	—	2	128	no	—
101	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
102	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
103	C₂²×D₄	—	2	32	no	—
104	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
105	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
106	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
107	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
108	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
109	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
110	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
111	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
113	C₂²×D₄	—	4	128	no	—
114	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
115	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
116	C₂²×D₄	—	4	128	no	—
117	C₂²×D₄	—	4	64	no	—
118	C₂²×D₄	—	4	64	no	—
119	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
120	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
121	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
122	C₂²×D₄	#41	1	16	yes	—
123	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
124	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
125	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
126	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
127	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
128	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
129	C₂³×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
130	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
131	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
132	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
133	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
134	C₄⋊Q₈	—	4	16	no	—
135	#127	—	2	32	no	—
136	#124	—	4	64	no	—
137	#121	—	2	128	no	—
138	#120	—	2	128	no	—
139	C₄×D₄	—	2	64	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
154	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
155	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
164	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
165	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
166	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
167	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
168	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
169	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
171	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
173	#95	—	2	8	no	—
174	#95	—	2	32	no	—
175	#95	—	4	16	no	—
176	C₂⁴	—	2	4	no	—
177	C₂⁴	—	2	4	no	—
178	C₂⁴	—	2	8	no	—
179	C₂⁴	—	2	16	no	—
180	C₂⁴	—	2	8	no	—
181	C₂⁴	—	2	8	no	—
182	C₂⁴	—	2	32	no	—
183	C₂⁴	—	2	8	no	—
184	C₂⁴	—	2	16	no	—
185	C₂⁴	—	2	16	no	—
186	C₂⁴	—	2	16	no	—
187	C₂⁴	—	4	64	no	—
188	C₂⁴	—	4	64	no	—
189	C₂⁴	—	4	64	no	—
190	C₂⁴	—	4	32	no	—
191	C₂⁴	—	4	32	no	—
192	C₂⁴	—	8	32	no	—
193	C₂⁴	—	8	64	no	—
194	C₂⁴	—	8	16	no	—
195	C₂⁴	—	8	32	no	—
196	C₂⁴	C₂²×D₄	1	8	yes	—
197	C₂⁴	C₂²×D₄	1	8	yes	—
198	C₂⁴	C₂×#41	1	16	yes	—
199	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
200	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
201	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
202	C₂×Q₈	—	8	16	no	—
203	C₂×D₄	—	2	64	no	—
204	C₂×D₄	—	2	16	no	—
205	C₂×D₄	—	2	32	no	—
206	C₂×D₄	—	2	16	no	—
207	C₂×D₄	—	2	16	no	—
208	C₂×D₄	—	2	32	no	—
209	C₂×D₄	—	2	32	no	—
210	C₂×D₄	—	2	64	no	—
211	C₂×D₄	—	4	64	no	—
212	C₂×D₄	—	4	16	no	—
213	C₂×D₄	—	4	512	no	—
214	C₂×D₄	—	4	64	no	—
215	C₂×D₄	—	4	32	no	—
216	C₂×D₄	—	4	32	no	—
217	C₂×D₄	—	4	16	no	—
218	C₂×D₄	—	4	16	no	—
219	C₂×D₄	—	4	32	no	—
220	C₂×D₄	—	8	16	no	—
221	C₂×D₄	#124	1	32	yes	complemented
222	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
244	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
251	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
252	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
253	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
254	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
255	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	4	64	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	4	64	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	8	32	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	8	32	no	—
262	C₄²	—	2	16	no	—
263	C₄²	—	4	16	no	—
264	C₄²	—	4	16	no	—
265	C₄²	#120	1	16	yes	—
266	C₂³	—	2	8	no	—
267	C₂³	—	2	8	no	—
268	C₂³	—	2	16	no	—
269	C₂³	—	2	16	no	—
270	C₂³	—	2	16	no	—
271	C₂³	—	2	32	no	—
272	C₂³	—	2	16	no	—
273	C₂³	—	2	32	no	—
274	C₂³	—	2	8	no	—
275	C₂³	—	2	32	no	—
276	C₂³	—	2	16	no	—
277	C₂³	—	4	128	no	—
278	C₂³	—	4	4	no	—
279	C₂³	—	4	4	no	—
280	C₂³	—	4	8	no	—
281	C₂³	—	4	8	no	—
282	C₂³	—	4	8	no	—
283	C₂³	—	4	16	no	—
284	C₂³	—	4	16	no	—
285	C₂³	—	4	8	no	—
286	C₂³	—	4	8	no	—
287	C₂³	—	4	16	no	—
288	C₂³	—	4	16	no	—
289	C₂³	—	4	16	no	—
290	C₂³	—	4	32	no	—
291	C₂³	—	4	16	no	—
292	C₂³	—	8	128	no	—
293	C₂³	—	8	32	no	—
294	C₂³	—	8	128	no	—
295	C₂³	—	8	128	no	—
296	C₂³	C₂×#124	1	16	yes	—
297	C₂³	C₂³×D₄	1	2	yes	—
298	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
299	C₂³	C₂²×#41	1	4	yes	—
300	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
301	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
302	Q₈	—	8	16	no	—
303	D₄	—	2	64	no	—
304	D₄	—	4	128	no	—
305	D₄	—	4	64	no	—
306	D₄	—	8	16	no	—
307	C₂×C₄	—	2	4	no	—
308	C₂×C₄	—	2	8	no	—
309	C₂×C₄	—	2	8	no	—
310	C₂×C₄	—	2	16	no	—
311	C₂×C₄	—	2	8	no	—
312	C₂×C₄	—	2	16	no	—
313	C₂×C₄	—	4	4	no	—
314	C₂×C₄	—	4	4	no	—
315	C₂×C₄	—	4	8	no	—
316	C₂×C₄	—	4	8	no	—
317	C₂×C₄	—	4	4	no	—
318	C₂×C₄	—	4	4	no	—
319	C₂×C₄	—	4	64	no	—
320	C₂×C₄	—	4	4	no	—
321	C₂×C₄	—	4	8	no	—
322	C₂×C₄	—	4	8	no	—
323	C₂×C₄	—	4	8	no	—
324	C₂×C₄	—	4	8	no	—
325	C₂×C₄	—	4	16	no	—
326	C₂×C₄	—	4	16	no	—
327	C₂×C₄	—	4	16	no	—
328	C₂×C₄	C₂×#120	1	4	yes	—
329	C₂×C₄	C₂×#120	1	8	yes	—
330	C₂×C₄	C₂×#124	1	8	yes	—
331	C₂×C₄	#535	1	8	yes	—
332	C₂×C₄	#546	1	16	yes	—
333	C₂×C₄	#546	1	16	yes	—
334	C₂²	—	2	16	no	—
335	C₂²	—	2	32	no	—
336	C₂²	—	4	16	no	—
337	C₂²	—	4	16	no	—
338	C₂²	—	4	8	no	—
339	C₂²	—	4	32	no	—
340	C₂²	—	4	16	no	—
341	C₂²	—	4	8	no	—
342	C₂²	—	4	16	no	—
343	C₂²	—	4	32	no	—
344	C₂²	—	4	8	no	—
345	C₂²	—	8	128	no	—
346	C₂²	—	8	16	no	—
347	C₂²	—	8	16	no	—
348	C₂²	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	C₂²×#124	1	2	yes	—
350	C₂²	C₂×#535	1	2	yes	—
351	C₂²	C₂×#546	1	4	yes	—
352	C₂²	C₂×#546	1	4	yes	—
353	C₂²	#3481	1	4	yes	—
354	C₂²	#3484	1	2	yes	—
355	C₂²	#3498	1	4	yes	—
356	C₂²	#3519	1	8	yes	—
357	C₂²	#3549	1	4	yes	—
358	C₄	—	2	4	no	—
359	C₄	—	4	8	no	—
360	C₄	—	4	8	no	—
361	C₄	—	8	8	no	—
362	C₄	—	8	4	no	—
363	C₄	#2435	1	16	yes	—
364	C₂	—	4	16	no	—
365	C₂	—	8	8	no	—
366	C₂	C₂×#2435	1	2	yes	—
367	C₂	#35527	1	1	yes	characteristic
368	C₂	#36289	1	4	yes	—
369	C₂	#38953	1	4	yes	—
370	C₂	#59041	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁵
prime radical	C₂²×D₄²	C₂
LCS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2858	C₂	semidirect
3. C₂×#2563	C₂	semidirect
4. #15259	C₂	semidirect
5. #15219	C₂	semidirect
6. #14154	C₂	semidirect
7. #13902	C₂	semidirect
8. C₄×#390	C₂	semidirect
12. C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	semidirect
14. C₂²×#124	C₂²	semidirect
20. C₂×#393	C₂²	semidirect
23. C₂×#390	C₂²	semidirect
24. C₂×#390	C₂²	semidirect
25. C₂×#382	C₂²	semidirect
26. C₂×#380	C₂²	semidirect
27. C₂×#379	C₂²	semidirect
28. C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
29. C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
30. C₂×C₄³	C₂²	semidirect
31. #1440	C₂²	semidirect
32. #1438	C₂²	semidirect
33. #1438	C₂²	semidirect
34. #1437	C₂²	semidirect
35. C₄⋊#95	C₂²	semidirect
221. C₂×D₄	#124	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×D₄²	2
C₂×#2858	2
C₂×#2563	2
#15259	2
#15219	2
#14154	2
#13902	2
C₄×#390	2