Subgroups — #6814976

Order 512.

2030 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 438 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3303	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#39491	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#33242	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#31193	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#31060	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#29828	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#28598	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#25758	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#25704	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#25113	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
11	C₈×#127	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#21275	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	C₂×#555	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#547	C₂²	1	2	yes	—
15	#3303	—	2	16	no	—
16	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#487	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#485	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#476	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#465	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×#461	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#452	C₂²	1	8	yes	—
24	C₂×#449	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×#416	C₂²	1	4	yes	—
29	#2862	C₂²	1	2	yes	—
30	#2710	—	2	8	no	—
31	#2619	—	2	2	no	—
32	#2563	C₂²	1	2	yes	—
33	#2542	C₂²	1	2	yes	—
34	#2504	—	2	2	no	—
35	#2500	—	2	2	no	—
36	#2415	C₂²	1	8	yes	—
37	#2407	C₂²	1	8	yes	—
38	#2317	—	2	2	no	—
39	C₄×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#2293	C₂²	1	2	yes	—
41	#2066	C₂²	1	8	yes	—
42	#2055	C₂²	1	8	yes	—
43	#2036	C₂²	1	8	yes	—
44	#2033	C₂²	1	8	yes	—
45	#2001	C₂²	1	8	yes	—
46	#1987	C₂²	1	2	yes	—
47	#1981	C₂²	1	2	yes	—
48	#1970	C₂²	1	2	yes	—
49	#1969	C₂²	1	4	yes	—
50	#1969	C₂²	1	4	yes	—
51	#1954	C₂²	1	4	yes	—
52	#1954	C₂²	1	2	yes	—
53	#1942	C₂²	1	2	yes	—
54	#1934	C₂²	1	4	yes	—
55	#1892	C₂²	1	8	yes	—
56	#1854	C₂²	1	8	yes	—
57	#1842	C₂²	1	1	yes	characteristic
58	C₄×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
59	C₄×#102	C₂²	1	2	yes	—
60	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×#41	C₂³	1	4	yes	—
62	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
63	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂²×D₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
66	#555	—	2	8	no	—
67	#555	—	4	4	no	—
68	#547	—	2	8	no	—
69	#547	—	4	4	no	—
70	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×#127	D₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂×#124	—	2	4	no	—
74	C₂×#123	—	2	4	no	—
75	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
76	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	8	yes	—
77	C₂×#121	—	2	2	no	—
78	C₂×#121	—	2	2	no	—
79	C₂×#121	C₂³	1	4	yes	—
80	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
83	C₂×#117	—	2	2	no	—
84	C₂×#117	—	2	2	no	—
85	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
86	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
87	#500	—	4	2	no	—
88	#494	—	4	2	no	—
89	#487	—	2	8	no	—
90	#485	—	2	16	no	—
91	#476	—	2	8	no	—
92	#465	—	2	16	no	—
93	#461	—	2	8	no	—
94	#452	—	4	16	no	—
95	#449	—	2	16	no	—
96	C₄×D₈	D₄	1	8	yes	complemented
97	C₈×D₄	—	2	8	no	—
98	C₈×D₄	—	4	8	no	—
99	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
100	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
101	C₂×#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	C₂×#106	C₂³	1	4	yes	—
103	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
104	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
105	#416	—	2	16	no	—
106	C₂×#103	C₂³	1	4	yes	—
107	C₂×#103	C₂³	1	4	yes	—
108	C₂×#103	C₂³	1	4	yes	—
109	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
110	C₂×#102	C₂³	1	4	yes	—
111	C₂×#102	C₂³	1	4	yes	—
112	C₂×#102	C₂³	1	2	yes	—
113	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
114	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
115	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
116	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
117	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
118	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
119	#399	—	2	4	no	—
120	#397	—	2	8	no	—
121	#394	—	2	8	no	—
122	#394	—	2	8	no	—
123	#393	—	2	4	no	—
124	#392	—	2	8	no	—
125	#391	—	2	4	no	—
126	#391	C₂³	1	8	yes	—
127	#390	—	2	2	no	—
128	#390	—	2	2	no	—
129	#390	D₄	1	4	yes	—
130	#390	D₄	1	2	yes	—
131	#390	C₂³	1	4	yes	—
132	#389	—	2	8	no	—
133	#389	C₂³	1	4	yes	—
134	#388	—	2	8	no	—
135	#388	—	2	4	no	—
136	#386	—	2	8	no	—
137	#385	—	2	8	no	—
138	#384	—	2	2	no	—
139	#384	D₄	1	1	yes	characteristic
140	#382	—	2	2	no	—
141	#382	—	2	2	no	—
142	#382	—	2	2	no	—
143	#380	C₂³	1	8	yes	—
144	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
145	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
146	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
147	#340	C₂³	1	8	yes	—
148	#340	C₂³	1	4	yes	—
149	#340	C₂³	1	2	yes	—
150	C₂×#41	—	2	8	no	—
151	C₂×#41	—	4	4	no	—
152	C₂×#41	—	4	8	no	—
153	C₂×#41	—	4	8	no	—
154	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
155	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
156	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
157	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
158	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
160	C₂²×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
161	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
162	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
163	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
164	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
165	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
166	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
167	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
168	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
169	C₂×D₈	—	4	2	no	—
170	C₂×D₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
171	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
172	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
173	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
174	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
175	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
176	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
177	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
178	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
179	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
180	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
181	#127	—	2	4	no	—
182	#124	—	4	16	no	—
183	#123	—	4	16	no	—
184	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
185	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
186	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
187	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
188	#121	—	2	8	no	—
189	#121	—	4	4	no	—
190	#121	—	4	8	no	—
191	#121	—	4	8	no	—
192	C₄×D₄	—	2	4	no	—
193	C₄×D₄	—	2	4	no	—
194	C₄×D₄	—	2	4	no	—
195	C₄×D₄	—	4	4	no	—
196	C₄×D₄	—	4	4	no	—
197	C₄×D₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
198	#117	—	2	8	no	—
199	#117	—	4	4	no	—
200	#117	—	4	8	no	—
201	#117	—	4	8	no	—
202	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
203	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
204	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
205	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
206	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
207	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
208	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
209	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
210	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
211	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
212	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
213	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
214	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
215	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
216	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
217	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
218	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
219	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
220	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
221	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
222	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
223	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
224	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
225	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
226	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
227	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
228	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
229	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
230	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
231	#107	—	4	2	no	—
232	#107	—	4	4	no	—
233	#107	C₂×D₄	1	4	yes	—
234	#106	—	2	8	no	—
235	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
236	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
237	#103	—	2	8	no	—
238	#103	—	2	8	no	—
239	#103	—	2	8	no	—
240	#103	—	4	8	no	—
241	#102	—	2	8	no	—
242	#102	—	2	8	no	—
243	#102	C₂×D₄	1	8	yes	—
244	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
245	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
246	C₄×C₈	—	2	4	no	—
247	C₄×C₈	—	2	2	no	—
248	C₄×C₈	—	4	2	no	—
249	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
250	#95	—	2	4	no	—
251	#95	—	2	2	no	—
252	#95	—	2	8	no	—
253	#95	—	2	8	no	—
254	#95	—	2	8	no	—
255	C₂⁴	—	2	2	no	—
256	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
257	#41	—	4	16	no	—
258	#41	—	8	8	no	—
259	#41	—	8	16	no	—
260	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
261	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
262	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
263	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
264	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
265	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
266	C₂×D₄	—	2	4	no	—
267	C₂×D₄	—	2	8	no	—
268	C₂×D₄	—	2	4	no	—
269	C₂×D₄	—	2	4	no	—
270	C₂×D₄	—	2	4	no	—
271	C₂×D₄	—	2	2	no	—
272	C₂×D₄	—	2	4	no	—
273	C₂×D₄	—	4	4	no	—
274	C₂×D₄	—	4	4	no	—
275	C₂×D₄	—	4	8	no	—
276	C₂×D₄	—	4	8	no	—
277	C₂×D₄	—	8	8	no	—
278	C₂×D₄	—	8	8	no	—
279	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
280	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
282	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
283	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
284	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
285	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
286	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
288	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
289	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
290	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
291	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
292	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
293	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
294	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
295	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
296	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
297	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
298	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
299	Q₁₆	—	8	8	no	—
300	SD₁₆	—	8	8	no	—
301	D₈	—	4	4	no	—
302	C₂×C₈	—	2	2	no	—
303	C₂×C₈	—	2	2	no	—
304	C₂×C₈	—	2	2	no	—
305	C₂×C₈	—	2	2	no	—
306	C₂×C₈	—	2	4	no	—
307	C₂×C₈	—	2	8	no	—
308	C₂×C₈	—	8	8	no	—
309	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
310	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
311	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
312	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
313	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
314	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
315	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
316	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
317	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
318	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
319	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
320	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
321	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
322	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
323	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
324	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
325	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
326	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
327	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
328	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
329	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
330	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
331	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
332	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
333	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
334	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
335	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
336	C₄²	—	2	2	no	—
337	C₄²	—	2	2	no	—
338	C₄²	—	2	2	no	—
339	C₄²	—	4	2	no	—
340	C₄²	—	4	8	no	—
341	C₄²	—	4	4	no	—
342	C₄²	#135	1	4	yes	—
343	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
344	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
345	C₂³	—	2	8	no	—
346	C₂³	—	2	4	no	—
347	C₂³	—	2	4	no	—
348	C₂³	—	2	8	no	—
349	C₂³	—	2	4	no	—
350	C₂³	—	2	4	no	—
351	C₂³	—	4	4	no	—
352	C₂³	—	4	4	no	—
353	C₂³	—	4	2	no	—
354	C₂³	—	4	2	no	—
355	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
356	Q₈	—	4	4	no	—
357	Q₈	—	4	4	no	—
358	Q₈	—	4	8	no	—
359	Q₈	—	16	4	no	—
360	D₄	—	2	4	no	—
361	D₄	—	2	4	no	—
362	D₄	—	4	16	no	—
363	D₄	—	4	8	no	—
364	D₄	—	4	4	no	—
365	D₄	—	8	16	no	—
366	D₄	—	16	8	no	—
367	C₂×C₄	—	2	2	no	—
368	C₂×C₄	—	2	2	no	—
369	C₂×C₄	—	2	2	no	—
370	C₂×C₄	—	2	2	no	—
371	C₂×C₄	—	2	4	no	—
372	C₂×C₄	—	2	4	no	—
373	C₂×C₄	—	2	2	no	—
374	C₂×C₄	—	2	8	no	—
375	C₂×C₄	—	2	2	no	—
376	C₂×C₄	—	4	2	no	—
377	C₂×C₄	—	4	2	no	—
378	C₂×C₄	—	4	4	no	—
379	C₂×C₄	—	4	4	no	—
380	C₂×C₄	—	4	16	no	—
381	C₂×C₄	—	4	8	no	—
382	C₂×C₄	—	4	4	no	—
383	C₂×C₄	—	4	8	no	—
384	C₂×C₄	—	4	4	no	—
385	C₂×C₄	—	4	4	no	—
386	C₂×C₄	—	4	4	no	—
387	C₂×C₄	—	4	8	no	—
388	C₂×C₄	—	4	4	no	—
389	C₂×C₄	—	8	16	no	—
390	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
391	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
392	C₂×C₄	C₂×#135	1	4	yes	—
393	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
394	C₂×C₄	#578	1	2	yes	—
395	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
396	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
397	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
398	C₂×C₄	#585	1	2	yes	—
399	C₈	—	2	2	no	—
400	C₈	—	2	2	no	—
401	C₈	—	2	4	no	—
402	C₈	—	4	4	no	—
403	C₂²	—	4	8	no	—
404	C₂²	—	4	4	no	—
405	C₂²	—	4	4	no	—
406	C₂²	—	4	8	no	—
407	C₂²	—	4	4	no	—
408	C₂²	—	4	4	no	—
409	C₂²	—	4	4	no	—
410	C₂²	—	4	4	no	—
411	C₂²	—	8	4	no	—
412	C₂²	—	8	4	no	—
413	C₂²	C₂×D₄²	1	1	yes	characteristic
414	C₂²	#3496	1	2	yes	—
415	C₂²	C₂²×#135	1	1	yes	characteristic
416	C₂²	C₂×#578	1	1	yes	characteristic
417	C₂²	#3584	1	2	yes	—
418	C₄	—	2	4	no	—
419	C₄	—	2	2	no	—
420	C₄	—	4	4	no	—
421	C₄	—	4	2	no	—
422	C₄	—	4	4	no	—
423	C₄	—	8	4	no	—
424	C₄	—	8	4	no	—
425	C₄	—	8	4	no	—
426	C₄	#3283	1	4	yes	—
427	C₄	#3449	1	1	yes	characteristic
428	C₄	#3498	1	1	yes	characteristic
429	C₄	#3558	1	2	yes	—
430	C₂	—	8	4	no	—
431	C₂	—	8	4	no	—
432	C₂	#39355	1	1	yes	characteristic
433	C₂	C₂×#3283	1	1	yes	characteristic
434	C₂	#61088	1	1	yes	characteristic
435	C₂	#62249	1	2	yes	—
436	C₂	#62341	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×#127 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3303	C₂	semidirect
2. #39491	C₂	semidirect
3. #33242	C₂	semidirect
4. #31193	C₂	semidirect
5. #31060	C₂	semidirect
6. #29828	C₂	semidirect
7. #28598	C₂	semidirect
8. #25758	C₂	semidirect
9. #25704	C₂	semidirect
10. #25113	C₂	semidirect
11. C₈×#127	C₂	semidirect
12. #21275	C₂	semidirect
96. C₄×D₈	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3303	2
#39491	2
#33242	2
#31193	2
#31060	2
#29828	2
#28598	2
#25758	2
#25704	2
#25113	2
C₈×#127	2
#21275	2