Subgroups — #6814978

Order 512.

2106 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 447 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3304	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#39747	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#33241	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#31192	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#31060	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#29826	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#28597	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#25759	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#25705	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#25115	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
11	C₈×#127	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#21276	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	C₂×#556	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#550	C₂²	1	2	yes	—
15	#3304	—	2	16	no	—
16	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#482	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#475	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#465	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×#460	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#452	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#449	C₂²	1	8	yes	—
25	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×#416	C₂²	1	4	yes	—
29	#2858	C₂²	1	2	yes	—
30	#2714	—	2	8	no	—
31	#2657	—	2	2	no	—
32	#2548	—	2	2	no	—
33	#2547	C₂²	1	2	yes	—
34	#2544	—	2	2	no	—
35	#2541	C₂²	1	2	yes	—
36	#2414	C₂²	1	8	yes	—
37	#2407	C₂²	1	8	yes	—
38	#2326	—	2	2	no	—
39	C₄×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#2295	C₂²	1	2	yes	—
41	#2065	C₂²	1	8	yes	—
42	#2055	C₂²	1	8	yes	—
43	#2036	C₂²	1	8	yes	—
44	#2033	C₂²	1	8	yes	—
45	#1999	C₂²	1	8	yes	—
46	#1988	C₂²	1	2	yes	—
47	#1982	C₂²	1	2	yes	—
48	#1970	C₂²	1	4	yes	—
49	#1970	C₂²	1	4	yes	—
50	#1969	C₂²	1	2	yes	—
51	#1954	C₂²	1	4	yes	—
52	#1954	C₂²	1	2	yes	—
53	#1942	C₂²	1	2	yes	—
54	#1933	C₂²	1	4	yes	—
55	#1893	C₂²	1	8	yes	—
56	#1854	C₂²	1	8	yes	—
57	#1842	C₂²	1	1	yes	characteristic
58	C₄×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
59	C₄×#103	C₂²	1	2	yes	—
60	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×#41	C₂³	1	4	yes	—
62	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂²×D₈	C₂³	1	4	yes	—
65	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
66	#556	—	2	8	no	—
67	#556	—	4	4	no	—
68	#550	—	2	8	no	—
69	#550	—	4	4	no	—
70	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×#127	—	2	2	no	—
72	C₂×#127	—	2	2	no	—
73	C₂×#127	D₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂×#126	—	2	4	no	—
76	C₂×#124	—	2	2	no	—
77	C₂×#124	—	2	2	no	—
78	C₂×#124	—	2	2	no	—
79	C₂×#124	—	2	2	no	—
80	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
81	C₂×#121	—	2	4	no	—
82	C₂×#121	C₂³	1	4	yes	—
83	C₂×#121	C₂³	1	8	yes	—
84	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
85	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
87	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
89	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
90	#500	—	4	2	no	—
91	#493	—	4	2	no	—
92	#486	—	2	8	no	—
93	#482	—	2	16	no	—
94	#475	—	2	8	no	—
95	#465	—	2	16	no	—
96	#460	—	2	8	no	—
97	#452	—	2	16	no	—
98	#449	—	4	16	no	—
99	C₄×Q₁₆	D₄	1	8	yes	complemented
100	C₈×D₄	—	2	8	no	—
101	C₈×D₄	—	4	8	no	—
102	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
103	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
104	C₂×#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
105	C₂×#106	C₂³	1	4	yes	—
106	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
107	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
108	#416	—	2	16	no	—
109	C₂×#103	C₂³	1	4	yes	—
110	C₂×#103	C₂³	1	4	yes	—
111	C₂×#103	C₂³	1	2	yes	—
112	C₂×#102	C₂³	1	4	yes	—
113	C₂×#102	C₂³	1	4	yes	—
114	C₂×#102	C₂³	1	4	yes	—
115	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
116	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
117	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
118	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
119	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
120	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
121	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
122	#397	—	2	4	no	—
123	#394	—	2	8	no	—
124	#394	—	2	8	no	—
125	#392	—	2	8	no	—
126	#392	—	2	8	no	—
127	#392	—	2	4	no	—
128	#391	—	2	2	no	—
129	#391	C₂³	1	4	yes	—
130	#390	—	2	2	no	—
131	#390	—	2	8	no	—
132	#390	—	2	4	no	—
133	#390	D₄	1	4	yes	—
134	#390	D₄	1	2	yes	—
135	#390	C₂³	1	8	yes	—
136	#389	C₂³	1	4	yes	—
137	#388	—	2	8	no	—
138	#387	—	2	4	no	—
139	#386	—	2	8	no	—
140	#385	—	2	8	no	—
141	#384	D₄	1	1	yes	characteristic
142	#380	C₂³	1	8	yes	—
143	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
144	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
145	#376	—	2	2	no	—
146	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
147	#340	C₂³	1	8	yes	—
148	#340	C₂³	1	4	yes	—
149	#340	C₂³	1	2	yes	—
150	C₂×#41	—	2	8	no	—
151	C₂×#41	—	4	4	no	—
152	C₂×#41	—	4	8	no	—
153	C₂×#41	—	4	8	no	—
154	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
155	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
156	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
157	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
158	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
159	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
160	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
161	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
162	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
163	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
164	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
165	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
166	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
167	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
168	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
169	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
170	C₂×D₈	—	2	8	no	—
171	C₂×D₈	—	4	4	no	—
172	C₂×D₈	—	4	4	no	—
173	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
174	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
175	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
176	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
177	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
178	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
179	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
180	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
181	#127	—	2	4	no	—
182	#127	—	2	4	no	—
183	#127	—	2	4	no	—
184	#127	—	4	8	no	—
185	#127	—	8	4	no	—
186	#126	—	4	16	no	—
187	#124	—	4	8	no	—
188	#124	—	4	8	no	—
189	#124	—	8	4	no	—
190	#124	—	8	4	no	—
191	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
192	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
193	#121	—	2	8	no	—
194	#121	—	4	16	no	—
195	#121	—	4	4	no	—
196	#121	—	4	8	no	—
197	#121	—	4	8	no	—
198	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
199	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
200	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
201	C₄×D₄	—	2	4	no	—
202	C₄×D₄	—	2	4	no	—
203	C₄×D₄	—	4	8	no	—
204	C₄×D₄	—	4	4	no	—
205	C₄×D₄	—	4	4	no	—
206	#117	—	2	8	no	—
207	#117	—	4	4	no	—
208	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
209	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
210	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
211	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
212	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
213	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
214	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
215	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
216	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
217	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
218	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
219	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
220	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
221	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
222	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
223	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
224	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
225	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
226	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
227	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
228	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
229	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
230	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
231	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
232	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
233	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
234	#107	—	4	2	no	—
235	#107	—	4	4	no	—
236	#107	C₂×D₄	1	4	yes	—
237	#106	—	2	8	no	—
238	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
239	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
240	#103	—	2	8	no	—
241	#103	—	2	8	no	—
242	#103	C₂×D₄	1	8	yes	—
243	#102	—	2	8	no	—
244	#102	—	2	8	no	—
245	#102	—	2	8	no	—
246	#102	—	4	8	no	—
247	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
248	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
249	C₄×C₈	—	2	4	no	—
250	C₄×C₈	—	2	2	no	—
251	C₄×C₈	—	4	2	no	—
252	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
253	#95	—	2	4	no	—
254	#95	—	2	4	no	—
255	#95	—	2	4	no	—
256	#95	—	2	2	no	—
257	#95	—	2	8	no	—
258	C₂⁴	—	2	4	no	—
259	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
260	#41	—	4	16	no	—
261	#41	—	8	8	no	—
262	#41	—	8	16	no	—
263	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
264	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
265	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
266	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
267	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
268	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
269	C₂×Q₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
270	C₂×D₄	—	2	4	no	—
271	C₂×D₄	—	2	8	no	—
272	C₂×D₄	—	2	4	no	—
273	C₂×D₄	—	2	4	no	—
274	C₂×D₄	—	2	4	no	—
275	C₂×D₄	—	2	8	no	—
276	C₂×D₄	—	2	4	no	—
277	C₂×D₄	—	2	8	no	—
278	C₂×D₄	—	4	4	no	—
279	C₂×D₄	—	4	4	no	—
280	C₂×D₄	—	4	8	no	—
281	C₂×D₄	—	4	8	no	—
282	C₂×D₄	—	4	4	no	—
283	C₂×D₄	—	4	4	no	—
284	C₂×D₄	—	4	4	no	—
285	C₂×D₄	—	4	4	no	—
286	C₂×D₄	—	8	4	no	—
287	C₂×D₄	—	8	8	no	—
288	C₂×D₄	—	8	8	no	—
289	C₂×D₄	—	8	8	no	—
290	C₂×D₄	—	8	8	no	—
291	C₂×D₄	—	8	8	no	—
292	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
295	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
296	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
297	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
298	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
299	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
300	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
301	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
302	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
303	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
304	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
305	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
306	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
307	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
308	Q₁₆	—	4	4	no	—
309	SD₁₆	—	8	8	no	—
310	D₈	—	8	8	no	—
311	C₂×C₈	—	2	2	no	—
312	C₂×C₈	—	2	2	no	—
313	C₂×C₈	—	2	2	no	—
314	C₂×C₈	—	2	2	no	—
315	C₂×C₈	—	2	4	no	—
316	C₂×C₈	—	2	8	no	—
317	C₂×C₈	—	8	8	no	—
318	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
319	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
320	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
321	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
322	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
323	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
324	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
325	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
326	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
327	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
328	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
329	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
330	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
331	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
332	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
333	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
334	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
335	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
336	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
337	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
338	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
339	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
340	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
341	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
342	C₄²	—	2	8	no	—
343	C₄²	—	2	2	no	—
344	C₄²	—	2	2	no	—
345	C₄²	—	2	2	no	—
346	C₄²	—	4	2	no	—
347	C₄²	—	4	8	no	—
348	C₄²	—	4	4	no	—
349	C₄²	#135	1	4	yes	—
350	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
351	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
352	C₂³	—	2	8	no	—
353	C₂³	—	2	4	no	—
354	C₂³	—	2	8	no	—
355	C₂³	—	2	4	no	—
356	C₂³	—	2	4	no	—
357	C₂³	—	4	8	no	—
358	C₂³	—	4	4	no	—
359	C₂³	—	4	8	no	—
360	C₂³	—	4	4	no	—
361	C₂³	—	4	4	no	—
362	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
363	Q₈	—	2	4	no	—
364	Q₈	—	2	4	no	—
365	Q₈	—	4	4	no	—
366	Q₈	—	8	8	no	—
367	D₄	—	4	16	no	—
368	D₄	—	4	4	no	—
369	D₄	—	4	4	no	—
370	D₄	—	4	8	no	—
371	D₄	—	4	8	no	—
372	D₄	—	8	16	no	—
373	D₄	—	8	8	no	—
374	D₄	—	16	4	no	—
375	D₄	—	16	8	no	—
376	D₄	—	16	16	no	—
377	C₂×C₄	—	2	2	no	—
378	C₂×C₄	—	2	2	no	—
379	C₂×C₄	—	2	2	no	—
380	C₂×C₄	—	2	2	no	—
381	C₂×C₄	—	2	4	no	—
382	C₂×C₄	—	2	4	no	—
383	C₂×C₄	—	2	4	no	—
384	C₂×C₄	—	2	2	no	—
385	C₂×C₄	—	2	8	no	—
386	C₂×C₄	—	2	2	no	—
387	C₂×C₄	—	4	4	no	—
388	C₂×C₄	—	4	4	no	—
389	C₂×C₄	—	4	4	no	—
390	C₂×C₄	—	4	4	no	—
391	C₂×C₄	—	4	8	no	—
392	C₂×C₄	—	4	4	no	—
393	C₂×C₄	—	4	4	no	—
394	C₂×C₄	—	4	4	no	—
395	C₂×C₄	—	4	4	no	—
396	C₂×C₄	—	4	4	no	—
397	C₂×C₄	—	4	4	no	—
398	C₂×C₄	—	8	16	no	—
399	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
400	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
401	C₂×C₄	C₂×#135	1	4	yes	—
402	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
403	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
404	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
405	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
406	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
407	C₂×C₄	#585	1	2	yes	—
408	C₈	—	2	2	no	—
409	C₈	—	2	2	no	—
410	C₈	—	2	4	no	—
411	C₈	—	4	4	no	—
412	C₂²	—	4	8	no	—
413	C₂²	—	4	4	no	—
414	C₂²	—	4	8	no	—
415	C₂²	—	4	4	no	—
416	C₂²	—	4	4	no	—
417	C₂²	—	8	8	no	—
418	C₂²	—	8	4	no	—
419	C₂²	—	8	8	no	—
420	C₂²	—	8	4	no	—
421	C₂²	—	8	4	no	—
422	C₂²	C₂×D₄²	1	1	yes	characteristic
423	C₂²	#3496	1	2	yes	—
424	C₂²	C₂²×#135	1	1	yes	characteristic
425	C₂²	C₂×#576	1	1	yes	characteristic
426	C₂²	#3584	1	2	yes	—
427	C₄	—	2	4	no	—
428	C₄	—	2	2	no	—
429	C₄	—	4	2	no	—
430	C₄	—	4	4	no	—
431	C₄	—	4	4	no	—
432	C₄	—	4	4	no	—
433	C₄	—	8	4	no	—
434	C₄	—	8	4	no	—
435	C₄	#3287	1	4	yes	—
436	C₄	#3449	1	1	yes	characteristic
437	C₄	#3498	1	1	yes	characteristic
438	C₄	#3558	1	2	yes	—
439	C₂	—	8	4	no	—
440	C₂	—	16	4	no	—
441	C₂	#39355	1	1	yes	characteristic
442	C₂	C₂×#3287	1	1	yes	characteristic
443	C₂	#61088	1	1	yes	characteristic
444	C₂	#62249	1	2	yes	—
445	C₂	#62340	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×#127 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3304	C₂	semidirect
2. #39747	C₂	semidirect
3. #33241	C₂	semidirect
4. #31192	C₂	semidirect
5. #31060	C₂	semidirect
6. #29826	C₂	semidirect
7. #28597	C₂	semidirect
8. #25759	C₂	semidirect
9. #25705	C₂	semidirect
10. #25115	C₂	semidirect
11. C₈×#127	C₂	semidirect
12. #21276	C₂	semidirect
99. C₄×Q₁₆	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3304	2
#39747	2
#33241	2
#31192	2
#31060	2
#29826	2
#28597	2
#25759	2
#25705	2
#25115	2
C₈×#127	2
#21276	2