Subgroups — #6814999

Order 512.

1956 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 424 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3328	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#39167	C₂	1	2	yes	maximal
3	#33242	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#31193	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#31062	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#29831	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#28606	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#25760	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#25705	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#25134	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
11	#21681	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	#21276	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	C₂×#556	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×D₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
15	#3328	—	2	16	no	—
16	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#487	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#485	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#475	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#470	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×#462	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#451	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#451	C₂²	1	8	yes	—
25	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#436	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#436	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×#419	C₂²	1	4	yes	—
29	#2862	C₂²	1	2	yes	—
30	#2723	—	2	8	no	—
31	#2640	—	2	2	no	—
32	#2567	—	2	2	no	—
33	#2547	C₂²	1	2	yes	—
34	#2544	—	2	2	no	—
35	#2542	C₂²	1	2	yes	—
36	#2415	C₂²	1	8	yes	—
37	#2409	C₂²	1	8	yes	—
38	#2326	—	2	2	no	—
39	C₄×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#2295	C₂²	1	2	yes	—
41	#2066	C₂²	1	8	yes	—
42	#2056	C₂²	1	8	yes	—
43	#2036	C₂²	1	8	yes	—
44	#2036	C₂²	1	8	yes	—
45	#2001	C₂²	1	8	yes	—
46	#1988	C₂²	1	2	yes	—
47	#1981	C₂²	1	2	yes	—
48	#1969	C₂²	1	2	yes	—
49	#1969	C₂²	1	4	yes	—
50	#1969	C₂²	1	4	yes	—
51	#1954	C₂²	1	4	yes	—
52	#1954	C₂²	1	2	yes	—
53	#1942	C₂²	1	2	yes	—
54	#1933	C₂²	1	4	yes	—
55	#1894	C₂²	1	8	yes	—
56	#1854	C₂²	1	8	yes	—
57	#1842	C₂²	1	1	yes	characteristic
58	C₄×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
59	C₄×#103	C₂²	1	2	yes	—
60	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
61	C₂³×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
62	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
63	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
66	#556	—	2	8	no	—
67	#556	—	4	4	no	—
68	D₄×Q₈	—	2	8	no	—
69	D₄×Q₈	—	4	4	no	—
70	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
71	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂×#127	D₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂×#126	—	2	4	no	—
75	C₂×#124	—	2	2	no	—
76	C₂×#124	—	2	2	no	—
77	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
78	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
79	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
80	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	8	yes	—
81	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
82	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
84	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
86	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
87	#500	—	4	2	no	—
88	#494	—	4	2	no	—
89	#487	—	2	8	no	—
90	#485	—	2	16	no	—
91	#475	—	2	8	no	—
92	#470	—	2	16	no	—
93	#462	—	2	8	no	—
94	#451	—	2	16	no	—
95	#451	—	4	16	no	—
96	C₄×Q₁₆	D₄	1	8	yes	complemented
97	#436	—	2	8	no	—
98	#436	—	4	8	no	—
99	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
100	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
101	C₂×#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	C₂×#106	C₂³	1	4	yes	—
103	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
104	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
105	#419	—	2	16	no	—
106	C₂×#103	C₂³	1	4	yes	—
107	C₂×#103	C₂³	1	4	yes	—
108	C₂×#103	C₂³	1	4	yes	—
109	C₂×#103	C₂³	1	4	yes	—
110	C₂×#103	C₂³	1	4	yes	—
111	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
112	C₂×#103	C₂³	1	2	yes	—
113	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
114	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
115	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
116	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
117	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
118	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
119	#399	—	2	4	no	—
120	#397	—	2	8	no	—
121	#397	—	2	4	no	—
122	#395	—	2	8	no	—
123	#394	—	2	8	no	—
124	#393	—	2	8	no	—
125	#391	—	2	2	no	—
126	#391	—	2	2	no	—
127	#391	—	2	2	no	—
128	#391	C₂³	1	4	yes	—
129	#391	C₂³	1	8	yes	—
130	#390	—	2	2	no	—
131	#390	D₄	1	2	yes	—
132	#390	D₄	1	4	yes	—
133	#389	—	2	8	no	—
134	#389	C₂³	1	4	yes	—
135	#388	—	2	8	no	—
136	#387	—	2	4	no	—
137	#386	—	2	8	no	—
138	#385	—	2	8	no	—
139	#384	—	2	2	no	—
140	#384	D₄	1	1	yes	characteristic
141	#382	—	2	4	no	—
142	#380	C₂³	1	8	yes	—
143	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
144	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
145	#376	—	2	2	no	—
146	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
147	#340	C₂³	1	8	yes	—
148	#340	C₂³	1	4	yes	—
149	#340	C₂³	1	2	yes	—
150	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
151	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
152	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
153	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
154	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
155	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
156	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
157	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
158	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
160	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
161	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
162	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
163	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
164	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
165	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
166	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
167	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
168	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
169	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
170	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
171	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
172	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
173	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
174	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
175	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
176	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
177	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
178	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
179	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
180	#127	—	4	2	no	—
181	#126	—	4	16	no	—
182	#124	—	4	8	no	—
183	#124	—	4	8	no	—
184	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
185	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
186	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
187	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
188	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
189	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
190	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
191	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
192	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
193	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
194	C₄×D₄	—	2	4	no	—
195	C₄×D₄	—	2	4	no	—
196	C₄×D₄	—	4	4	no	—
197	C₄×D₄	—	4	4	no	—
198	C₄×D₄	—	4	8	no	—
199	#117	—	2	8	no	—
200	#117	—	4	4	no	—
201	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
202	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
203	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
204	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
205	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
206	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
207	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
208	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
209	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
210	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
211	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
212	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
213	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
214	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
215	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
216	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
217	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
218	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
219	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
220	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
221	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
222	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
223	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
224	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
226	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
227	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
228	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
229	#107	—	4	2	no	—
230	#107	—	4	4	no	—
231	#107	C₂×D₄	1	4	yes	—
232	#106	—	2	8	no	—
233	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
234	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
235	#103	—	2	8	no	—
236	#103	—	2	8	no	—
237	#103	—	2	8	no	—
238	#103	—	2	8	no	—
239	#103	—	2	8	no	—
240	#103	—	4	8	no	—
241	#103	C₂×D₄	1	8	yes	—
242	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
243	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
244	C₄×C₈	—	2	4	no	—
245	C₄×C₈	—	2	2	no	—
246	C₄×C₈	—	4	2	no	—
247	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
248	#95	—	2	4	no	—
249	#95	—	2	4	no	—
250	#95	—	2	4	no	—
251	#95	—	2	2	no	—
252	#95	—	2	8	no	—
253	#95	—	2	8	no	—
254	#95	—	2	8	no	—
255	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
256	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
257	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
258	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
259	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
260	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
261	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
262	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
263	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
264	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
265	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
266	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
267	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
268	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
269	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
270	C₂×Q₈	—	8	16	no	—
271	C₂×Q₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
272	C₂×D₄	—	2	4	no	—
273	C₂×D₄	—	2	4	no	—
274	C₂×D₄	—	2	4	no	—
275	C₂×D₄	—	2	8	no	—
276	C₂×D₄	—	4	4	no	—
277	C₂×D₄	—	4	4	no	—
278	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
281	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
282	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
283	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
284	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
285	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
286	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
288	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
289	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
290	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
291	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
292	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
293	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
294	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
295	Q₁₆	—	4	4	no	—
296	Q₁₆	—	8	8	no	—
297	Q₁₆	—	8	8	no	—
298	M₁₆	—	8	8	no	—
299	C₂×C₈	—	2	2	no	—
300	C₂×C₈	—	2	2	no	—
301	C₂×C₈	—	2	2	no	—
302	C₂×C₈	—	2	2	no	—
303	C₂×C₈	—	2	4	no	—
304	C₂×C₈	—	2	8	no	—
305	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
306	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
307	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
308	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
309	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
310	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
311	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
312	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
313	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
314	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
315	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
316	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
317	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
318	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
319	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
320	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
321	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
322	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
323	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
324	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
325	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
326	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
327	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
328	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
329	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
330	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
331	C₄²	—	2	8	no	—
332	C₄²	—	2	2	no	—
333	C₄²	—	2	4	no	—
334	C₄²	—	2	2	no	—
335	C₄²	—	2	2	no	—
336	C₄²	—	2	2	no	—
337	C₄²	—	4	8	no	—
338	C₄²	—	4	4	no	—
339	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
340	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
341	C₂³	—	2	4	no	—
342	C₂³	—	2	8	no	—
343	C₂³	—	2	4	no	—
344	C₂³	—	2	8	no	—
345	C₂³	—	2	4	no	—
346	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
347	Q₈	—	2	4	no	—
348	Q₈	—	2	4	no	—
349	Q₈	—	4	4	no	—
350	Q₈	—	4	4	no	—
351	Q₈	—	4	4	no	—
352	Q₈	—	4	8	no	—
353	Q₈	—	8	16	no	—
354	Q₈	—	8	8	no	—
355	D₄	—	4	8	no	—
356	D₄	—	8	8	no	—
357	C₂×C₄	—	2	2	no	—
358	C₂×C₄	—	2	2	no	—
359	C₂×C₄	—	2	2	no	—
360	C₂×C₄	—	2	4	no	—
361	C₂×C₄	—	2	4	no	—
362	C₂×C₄	—	2	4	no	—
363	C₂×C₄	—	2	2	no	—
364	C₂×C₄	—	2	8	no	—
365	C₂×C₄	—	2	2	no	—
366	C₂×C₄	—	2	2	no	—
367	C₂×C₄	—	4	4	no	—
368	C₂×C₄	—	4	4	no	—
369	C₂×C₄	—	4	4	no	—
370	C₂×C₄	—	4	4	no	—
371	C₂×C₄	—	4	8	no	—
372	C₂×C₄	—	4	4	no	—
373	C₂×C₄	—	4	4	no	—
374	C₂×C₄	—	4	4	no	—
375	C₂×C₄	—	4	8	no	—
376	C₂×C₄	—	4	4	no	—
377	C₂×C₄	—	4	4	no	—
378	C₂×C₄	—	4	4	no	—
379	C₂×C₄	—	4	4	no	—
380	C₂×C₄	—	8	16	no	—
381	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
382	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
383	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
384	C₂×C₄	#578	1	4	yes	—
385	C₂×C₄	#578	1	2	yes	—
386	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
387	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
388	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
389	C₂×C₄	#585	1	2	yes	—
390	C₈	—	2	2	no	—
391	C₈	—	2	2	no	—
392	C₈	—	2	4	no	—
393	C₈	—	4	4	no	—
394	C₂²	—	4	8	no	—
395	C₂²	—	4	4	no	—
396	C₂²	—	4	8	no	—
397	C₂²	—	4	4	no	—
398	C₂²	—	4	4	no	—
399	C₂²	C₂×D₄²	1	1	yes	characteristic
400	C₂²	#3496	1	2	yes	—
401	C₂²	C₂×#575	1	1	yes	characteristic
402	C₂²	C₂×#578	1	2	yes	—
403	C₂²	C₂×#578	1	1	yes	characteristic
404	C₄	—	2	4	no	—
405	C₄	—	2	2	no	—
406	C₄	—	4	2	no	—
407	C₄	—	4	4	no	—
408	C₄	—	4	4	no	—
409	C₄	—	4	4	no	—
410	C₄	—	8	4	no	—
411	C₄	—	8	4	no	—
412	C₄	—	8	4	no	—
413	C₄	#3277	1	4	yes	—
414	C₄	#3449	1	1	yes	characteristic
415	C₄	#3498	1	1	yes	characteristic
416	C₄	#3558	1	2	yes	—
417	C₂	—	8	4	no	—
418	C₂	#39355	1	1	yes	characteristic
419	C₂	C₂×#3277	1	1	yes	characteristic
420	C₂	#61091	1	1	yes	characteristic
421	C₂	#62264	1	2	yes	—
422	C₂	#62329	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂×#127	D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×#127 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3328	C₂	semidirect
3. #33242	C₂	semidirect
4. #31193	C₂	semidirect
5. #31062	C₂	semidirect
6. #29831	C₂	semidirect
7. #28606	C₂	semidirect
8. #25760	C₂	semidirect
9. #25705	C₂	semidirect
10. #25134	C₂	semidirect
12. #21276	C₂	semidirect
96. C₄×Q₁₆	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3328	2
#39167	2
#33242	2
#31193	2
#31062	2
#29831	2
#28606	2
#25760	2
#25705	2
#25134	2
#21681	2
#21276	2